Lições Interativas de Matemática e Ciências

Retorno Real Após Impostos

Três controlos deslizantes: o que a conta rende, o que os preços fazem, o que as finanças retêm. O imposto incide sobre a totalidade dos juros nominais. Como nada deduz a inflação primeiro, a fatia que o estado lhe subtrai ao ganho real supera a taxa impressa no documento. A dimensão desse agravamento depende mais da conta do que do código fiscal.

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Um imposto de 25% que absorve 62,5% do ganho 🖖

Pressione Depósito tributado. A conta rende 5% e os preços sobem 3%, originando um ganho real de 1,94% ao ano: 1,05 a dividir por 1,03, menos um. As finanças cobram 25% sobre os 5% e não sobre os 1,94%, deixando 3,75% em termos nominais e 0,73% em termos reais. O imposto absorveu 1,21 dos 1,94 pontos. Sem os arredondamentos, essa proporção equivale exatamente a 62,5%. Este resultado não é uma mera coincidência destes três números. Ambas as taxas de retorno real contêm o mesmo 1/(1+i), que se anula no rácio. O que resta é uma fórmula exata e não uma aproximação para taxas baixas: a fatia retida é t·n/(n−i), neste caso 0,25 × 5/2. A sua taxa legal é multiplicada por n/(n−i), a proporção entre o que a conta rende e o que rende acima da inflação. Pressione Mesmo imposto, mais juro e esse multiplicador desce para 12/9, pelo que os mesmos 25% cobram agora 33,3%. A lógica também se aplica no sentido inverso. Com 3% de juros e 2% de deflação, o rácio cai abaixo de um e os mesmos 25% cobram apenas 15%.

Entre 3% e 4% paga imposto sobre um ganho e fica a perder 🖖

Pressione Tributado, mas a perder. A conta rende 3,5% contra 3% de inflação. Antes de impostos tem um avanço de 0,49% no ano. O estado vê um ganho de 3,5% e leva um quarto desse valor. Após impostos, a conta rende 2,63% enquanto os preços sobem 3%, e termina o ano a perder 0,36%. Os extremos da faixa onde este fenómeno ocorre são fáceis de deduzir. A faixa abre em n = i, o ponto de equilíbrio para um aforrador isento. Fecha em n = i/(1−t), o que a ferramenta designa por taxa nominal de equilíbrio: 3 a dividir por 0,75 dá 4,00%. A largura da faixa é de i·t/(1−t). Corresponde a um ponto com 25% de imposto e a três pontos com 50%. Arraste o controlo do imposto e observe a zona sombreada a estender-se para a direita. A linha verde permanece imóvel porque o retorno real antes de impostos não depende da tributação. Dentro dessa faixa, o mesmo ano representa um ganho real antes de impostos e uma perda real após a sua aplicação.

A parcela da inflação na fatura é igual com 1% ou 12% de juros 🖖

Duas predefinições diferem num único parâmetro. Depósito tributado rende 5%; Mesmo imposto, mais juro rende 12%. A inflação é de 3% e o imposto de 25% em ambos os cenários. O retorno real sobe de 0,73% para 5,83% e a fatia do ganho absorvida recua de 62,5% para 33,3%. O terceiro cartão, no entanto, mantém-se imóvel nos 0,73 pontos percentuais para ambos. Este cartão ilustra a diferença entre o imposto em vigor e um imposto aplicado exclusivamente ao ganho real. Esse hiato obedece à fórmula t·i/(1+i), onde a taxa nominal não entra de todo. Seja qual for a remuneração da conta, a tributação da inflação custa sempre 0,73 pontos de rentabilidade real ao ano a um contribuinte escalonado a 25% com os preços a subir 3%. Num escalão de 40% com uma inflação de 7%, este custo salta para 2,62 pontos. No gráfico, isto traduz-se na distância vertical imutável entre a linha âmbar e a azul. São perfeitamente paralelas porque a taxa de imposto dita a inclinação de ambas. Diferem apenas no ponto de interseção, separados exatamente pelo valor t·i/(1+i). Martin Feldstein expôs este mesmo argumento aos aforradores americanos em 1976: se a tabela de impostos não for indexada, a inflação agrava o verdadeiro peso fiscal sobre as poupanças sem que ninguém precise de votar aumentos.

Problema resolvido na íntegra

  1. Retorno real de 10 000 numa conta a pagar 5% ao ano 8 passos

    Tem 10.000 numa conta a render 5% ao ano. A inflação é de 3%. O imposto retira 25% dos juros a cada ano, no momento em que são creditados. Qual é o retorno real após impostos, que proporção do ganho real foi absorvida pela retenção e qual seria a taxa fiscal necessária para manter exatamente o mesmo poder de compra?

    1. Comece pelo retorno real antes de qualquer imposto. Aplique a fórmula de Fisher na íntegra em vez de se limitar a subtrair 3 a 5. O seu capital multiplica-se por um fator de 1,05 enquanto os bens de consumo ficam 1,03 vezes mais caros.

    2. O imposto incide sobre os juros creditados pelo banco, ou seja, sobre a totalidade dos 5%. Não existe qualquer dedução prévia da inflação.

    3. Agora deflacione esse número menor da mesma forma.

    4. Subtraia e calcule a parte removida pelo imposto como uma fatia do ganho inicial.

    5. Efetue a mesma divisão usando variáveis em vez de números. Ambas as taxas reais estão divididas por 1 + i. Este fator anula-se no rácio. O resultado obtido é matematicamente exato e dispensa as aproximações habituais para taxas muito baixas.

    6. Analise agora esta identidade de outra perspetiva. O retorno real após impostos é nulo quando a taxa nominal líquida iguala exatamente a inflação. Resolva então n(1−t) = i em ordem a t.

    7. Confirme os dois valores na ferramenta. Esta apresenta 0,73% e 62,5%, assim como uma taxa nominal de equilíbrio de 4,00%. Este último valor corresponde à identidade resolvida em ordem a n e não a t. Arraste o controlo do imposto para 40% e o cartão do retorno real indicará +0,00%.

    8. Há um pormenor que a ferramenta fixa e que os produtos de poupança não fixam: a data de cobrança do imposto. Neste caso a retenção é anual, o que impede a capitalização do juro. Se, pelo contrário, o imposto for diferido e cobrado de uma só vez aos mesmos 25%, a década termina com 16.288,95 brutos. Fica com 14.716,71 após impostos, equivalentes a 10.950,61 no dinheiro de hoje. É a mesma taxa e a mesma conta. Fica com mais 198,13 graças exclusivamente a esse desfasamento temporal. Esta é a base matemática de qualquer produto financeiro com diferimento fiscal, algo que não tem um controlo deslizante associado.

    Resposta

    0,73% ao ano em termos reais, e o imposto de 25% absorveu 62,5% do ganho real. Uma taxa de imposto de 40% deixaria o poder de compra perfeitamente inalterado. A amplificação é de t·n/(n−i) e a taxa que anula o ganho é 1 − i/n.

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Problemas de exemplo

  • Depósito tributado - Juro de 5%, inflação de 3%, imposto de 25% sobre os rendimentos. O retorno real após impostos é de 0,73% ao ano e a fatia do ganho real retida é de 62,5%. Ao fim de dez anos, um capital de 10.000 sem reforços apresenta 14.450,44 no extrato, mas compra apenas o equivalente a 10.752,48 de bens atuais.
  • Tributado, mas a perder - Meio ponto a mais de juros, chegando aos 3,5%, mantendo o resto inalterado. Antes de impostos a conta supera a inflação em 0,49%. Após impostos fica a perder 0,36%. Dez anos nesta situação transformam 10.000 em 12.957,81 no extrato e num poder de compra de 9.641,83.
  • Mesmo imposto, mais juro - Os mesmos 3% de inflação e 25% de imposto, mas com a conta a render 12% em vez de 5%. A fatia retida do ganho real desce para 33,3% e a rentabilidade real sobe para 5,83%. O valor do custo de tributar a inflação continua a marcar 0,73%.
  • Inflação e imposto altos - Um juro de 9% parece generoso até os preços subirem 7% e 40% do rendimento ir para impostos. A rentabilidade real cai para −1,50% ao ano. Precisaria de 11,67% apenas para manter o valor do dinheiro e tributar a inflação custa 2,62 pontos por ano. Numa década, o valor de 10.000 afunda para 8.601,38 a preços de hoje.