Relógio de aritmética modular
Escolha o módulo n e a operação. Veja o resultado em um relógio modular e examine as tabelas de adição/multiplicação.
Relações de congruência e estruturas de anéis algébricos 🖖
A aritmética modular trata de inteiros sob um módulo cíclico n, escrito como a ≡ b (mod n). Este sistema algébrico forma um anel comutativo Z/nZ. Se o módulo p for primo, o anel torna-se um corpo, significando que cada elemento não nulo tem um inverso multiplicativo.
Por que se chama aritmética do relógio 🖖
Num relógio de 12 horas, 4 horas depois das 11 são 3, não 15 — os números voltam ao início ao passar de 12. É exatamente isso a aritmética modular: a ≡ b (mod n) significa que a e b deixam o mesmo resto quando divididos por n. Assim, 15 ≡ 3 (mod 12). A ideia central: a aritmética modular guarda apenas o resto da divisão, e o relógio desta ferramenta mostra os números girando em círculo.
A regra do 9 é aritmética modular disfarçada 🖖
A velha regra "um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos também for" é pura aritmética modular. Como 10 ≡ 1 (mod 9), toda potência de 10 também é ≡ 1, de modo que um número é congruente à soma dos seus algarismos (mod 9). O mesmo fato sustenta a prova dos nove, um método com séculos de idade para conferir contas à mão.
Problemas de exemplo
- relógio mod 12 - Aritmética do relógio: 13 ≡ 1 (mod 12), então 13+5 dá a volta e resulta em 6.
- primo mod 7 - Módulo primo: as linhas de multiplicação não nulas se comportam como permutações.
- composto mod 6 - Módulo composto mostra linhas repetidas onde gcd(row,n) > 1.
- Fermat mod 13 - Padrão do tipo Fermat: a^(p-1) ≡ 1 mod p para p primo e gcd(a,p)=1.