Explorador de Autovetores 2D

ação da matriz sobre os vetores de base e o círculo unitário transformado

Exemplo resolvido — Explorador de Autovetores 2D

Regra do autovetor	0resolvemos para λ
Escala de área \|det\|	3

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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o traço e o determinante determinam, em conjunto, os autovalores 🖖

Dois dos quatro números introduzidos determinam os autovalores. A equação característica é λ² − (traço)λ + det = 0; portanto, o traço e o determinante fixam ambas as raízes. O sinal de tr² − 4det indica então em qual de três mundos vive a transformação: duas autodireções reais, uma ou nenhuma. O painel apresenta os três números. Reflexão e Trocar eixos têm o mesmo traço, 0, e o mesmo determinante, −1. Por isso, têm também os mesmos autovalores, 1 e −1 — mas continuam a ser transformações diferentes, pois todas as restantes diferenças estão nos autovetores.

as setas que se recusam a girar 🖖

Ao aplicar a matriz, a maioria dos vetores muda por completo de direção. Os autovetores são especiais: permanecem sobre a sua própria reta. A transformação limita-se a alongá-los ou contraí-los por um número, o autovalor, podendo ainda invertê-los em 180°. Coloque um vetor sobre uma reta verde de autovetores: esta matriz manterá o vetor nessa reta, por mais vezes que seja aplicada. Essas retas formam o esqueleto fixo da transformação.

O Google foi construído sobre um autovetor gigante 🖖

A mesma ideia está na base do PageRank original da Google. Imagine toda a Web como uma imensa matriz de ligações. O vetor que reúne a classificação de todas as páginas é o autovetor dominante — a única direção invariante que resiste a uma sequência interminável de cliques aleatórios. O que aqui se ajusta em 2D é uma versão elementar de um cálculo que chegou a abranger milhares de milhões de páginas.

AUTOVETORES — QUE DIREÇÕES SOBREVIVEM À TRANSFORMAÇÃO?

Em que caso de autovetores você está?

Um autovetor é uma direção que a matriz se recusa a girar: ela apenas a estica, pelo autovalor λ. Se tais direções existem é decidido por um único número, o discriminante Δ = tr(A)² − 4·det(A). Positivo dá duas, zero dá uma, negativo não dá nenhuma no plano real. Ortogonalidade, espelhamento e rotação saem todos de onde a sua matriz cai nessa classificação.

Δ > 0 — duas direções reais, e a simetria as põe perpendiculares Δ > 0 ⇒ λ₁, λ₂ ∈ ℝ

Um autovalor negativo — a direção sobrevive, mas aponta ao contrário det < 0 ⇒ λ = ±1

Δ = 0 — um autovalor duas vezes, e só uma direção para mostrar Δ = 0 ⇒ λ₁ = λ₂

Δ < 0 — uma rotação, e nenhum autovetor real Δ < 0 ⇒ λ ∈ ℂ

Δ > 0 — duas direções reais, e a simetria as põe perpendiculares

O que você sabe: O discriminante é positivo, então há dois autovalores reais distintos e duas direções próprias independentes. Quando a matriz é simétrica, ou seja a₁₂ = a₂₁, essas direções formam sempre um ângulo reto.

Teste: Δ > 0 ⇒ λ₁, λ₂ ∈ ℝ

Exemplo resolvido: A = [[2, 1], [1, 2]]: tr = 4, det = 3, Δ = 16 − 12 = 4 → λ = 3 ao longo de (1, 1) e λ = 1 ao longo de (1, −1)

Abrir este caso: esticamento simétrico

Δ > 0 — duas direções reais, e a simetria as põe perpendiculares. Duas direções perpendiculares sobrevivem, e todo o resto é arrastado para a mais forte. O discriminante é positivo, então há dois autovalores reais distintos e duas direções próprias independentes. Quando a matriz é simétrica, ou seja a₁₂ = a₂₁, essas direções formam sempre um ângulo reto. — Duas direções perpendiculares sobrevivem, e todo o resto é arrastado para a mais forte.

Um autovalor negativo — a direção sobrevive, mas aponta ao contrário

O que você sabe: De novo dois autovalores reais, mas um deles é negativo, então det < 0. Vetores naquela direção voltam invertidos e o plano inteiro é virado.

Teste: det < 0 ⇒ λ = ±1

Exemplo resolvido: A = [[1, 0], [0, −1]]: tr = 0, det = −1, Δ = 4 → λ = 1 ao longo de (1, 0) e λ = −1 ao longo de (0, 1)

Abrir este caso: reflexão

Um autovalor negativo — a direção sobrevive, mas aponta ao contrário. Um eixo fica intocado, o outro é devolvido sobre si mesmo: um espelho. De novo dois autovalores reais, mas um deles é negativo, então det < 0. Vetores naquela direção voltam invertidos e o plano inteiro é virado. — Um eixo fica intocado, o outro é devolvido sobre si mesmo: um espelho.

Δ = 0 — um autovalor duas vezes, e só uma direção para mostrar

O que você sabe: O discriminante é exatamente zero, então os dois autovalores coincidem. Um autovalor repetido não promete duas direções: aqui há só uma, e a matriz não pode ser diagonalizada.

Teste: Δ = 0 ⇒ λ₁ = λ₂

Exemplo resolvido: A = [[1, 1], [0, 1]]: tr = 2, det = 1, Δ = 4 − 4 = 0 → λ = 1 duas vezes, com (1, 0) como única direção própria

Abrir este caso: apenas cisalhamento

Δ = 0 — um autovalor duas vezes, e só uma direção para mostrar. O eixo horizontal fica fixo enquanto toda outra direção se inclina, então não existe um segundo autovetor. O discriminante é exatamente zero, então os dois autovalores coincidem. Um autovalor repetido não promete duas direções: aqui há só uma, e a matriz não pode ser diagonalizada. — O eixo horizontal fica fixo enquanto toda outra direção se inclina, então não existe um segundo autovetor.

Δ < 0 — uma rotação, e nenhum autovetor real

O que você sabe: Um discriminante negativo significa que os autovalores são um par complexo conjugado. Geometricamente a matriz gira o plano, e um giro não deixa direção nenhuma apontando para onde começou.

Teste: Δ < 0 ⇒ λ ∈ ℂ

Exemplo resolvido: A = [[0, −1], [1, 0]]: tr = 0, det = 1, Δ = −4 → λ = ±i, um quarto de volta sem autovetor real

Abrir este caso: rotação

Δ < 0 — uma rotação, e nenhum autovetor real. Cada seta sai da própria reta, então não sobra nada que um autovetor real possa ser. Um discriminante negativo significa que os autovalores são um par complexo conjugado. Geometricamente a matriz gira o plano, e um giro não deixa direção nenhuma apontando para onde começou. — Cada seta sai da própria reta, então não sobra nada que um autovetor real possa ser.

Referências (1)

Insight block 3 — the dominant eigenvector Google was built on: S. Brin and L. Page, "The anatomy of a large-scale hypertextual Web search engine." Computer Networks and ISDN Systems 30(1–7), 107–117, 1998.

Problema resolvido na íntegra

Aplicar uma transformação dez vezes usando os vetores próprios derivados 7 passos
O painel deduz os valores próprios por si: traço, determinante, discriminante, e saem 3 e 1. Salte esse caminho por completo. Encontre primeiro os vetores próprios olhando para a matriz, e use-os depois para algo que a ferramenta não consegue fazer: aplicar a transformação dez vezes.
1. A matriz é simétrica, e a simetria diz onde procurar. Experimente a diagonal: A leva (1, 1) a (3, 3), a mesma seta três vezes mais comprida. Portanto (1, 1) é uma direção própria e 3 é o seu valor próprio. Uma multiplicação, nenhum polinómio característico.
  
  $A (11) = (2 + 1 1 + 2) = (33) = 3 (11)$
2. Experimente a outra diagonal. A deixa (1, −1) exatamente onde estava, por isso essa é a segunda direção própria, com valor próprio 1. Duas direções independentes é tudo o que uma matriz 2×2 tem, portanto a busca terminou — e o par coincide com o que o painel imprime.
  
  $A (1 - 1) = (2 - 1 1 - 2) = (1 - 1) = 1 \cdot (1 - 1)$
3. São perpendiculares, e não por sorte: uma matriz simétrica tem sempre direções próprias ortogonais. É esse o facto que o passo seguinte gasta, porque permite desfazer a mudança de base com uma transposta em vez de uma inversa.
  
  $(11) \cdot (1 - 1) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) = 0$
4. Reduza ambas ao comprimento 1 e coloque-as nas colunas de Q. Colunas ortonormais fazem de Qᵀ a inversa de Q, portanto A fatoriza-se numa rotação, num esticamento ao longo dos eixos e na rotação desfeita.
  
  $Q = \frac{1}{2} (11 1 - 1), Λ = (3001), A = Q Λ Q^{T}, Q^{T} = Q^{- 1}$
5. Agora o lucro. Multiplique essa fatorização por si própria: cada QᵀQ interior colapsa na identidade e sobram Q, a n-ésima potência de uma matriz diagonal e Qᵀ. Elevar uma matriz diagonal a uma potência é elevar cada entrada — é essa a razão de ser da diagonalização.
  
  $A^{n} = (Q Λ Q^{T})^{n} = Q Λ^{n} Q^{T} = \frac{1}{2} (3^{n} + 1 3^{n} - 1 3^{n} - 1 3^{n} + 1)$
6. Faça n = 10. Só 3¹⁰ dá trabalho; o outro valor próprio é 1, e 1 elevado a seja o que for continua 1, portanto contribui tanto como no início.
  
  $n = 10 : 3^{10} = 59049 ⟹ A^{10} = \frac{1}{2} (59050590485904859050) = (29525295242952429525)$
7. A mesma fatorização diz o que acontece a uma seta qualquer, não só à matriz. Decomponha-a nas duas direções próprias: cada aplicação multiplica uma parte por 3 e deixa a outra intacta, de modo que a razão entre elas muda por um fator 3 de cada vez.
  
  $v = c_{1} (11) + c_{2} (1 - 1) ⟹ \frac{c _{2} \cdot 1 ^{n}}{c _{1} \cdot 3 ^{n}} = \frac{c _{2}}{c _{1}} 3^{- n}, 3^{- 10} = \frac{1}{59 049}$
Resposta

A¹⁰ tem 29.525 na diagonal e 29.524 fora dela — uma diferença de 1 em 29.525. Essa quase igualdade é a imagem acima contada para a frente. A componente (1, −1) de qualquer seta inicial é dividida por 3 em cada aplicação, portanto ao fim de dez vale 1/59.049 do que era, e tudo acaba deitado ao longo de (1, 1). A ferramenta mostra uma aplicação. Os valores próprios transformam-na em todas, e dizem a que velocidade.

$A^{n} = \frac{1}{2} (3^{n} + 1 3^{n} - 1 3^{n} - 1 3^{n} + 1); A^{10} = (29525295242952429525), 3^{- 10} = \frac{1}{59 049}$

Percurso de aprendizagem

Matrizes que movem coisas

Conduz a Decomposição em valores singulares as direções que a transformação não roda e o fator de escala de cada uma delas.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-27

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

esticamento simétrico - Autovalores 3 e 1, nas direções (1, 1) e (1, -1). Uma matriz simétrica tem sempre autodireções perpendiculares; no problema resolvido abaixo, esta matriz é elevada à décima potência.
apenas cisalhamento - O discriminante é 0, logo ambos os autovalores são 1 e existe apenas uma autodireção, a do eixo x. Uma transformação de cisalhamento não é diagonalizável.
rotação - Um quarto de volta: tr² - 4det = -4, os autovalores são ±i e nenhuma seta real termina a apontar na direção inicial.
reflexão - Traço 0, determinante -1 e autovalores 1 e -1, nas direções dos dois eixos. O determinante negativo revela a reflexão: a área conserva-se, mas a orientação inverte-se.
esticamento anisotrópico - Autovalores 3 e 0,5: o alongamento segundo x é seis vezes maior do que segundo y. Como o determinante é 1,5, cada área aumenta para uma vez e meia o seu valor.
trocar eixos - O traço 0 e o determinante -1 são os mesmos da Reflexão, tal como os autovalores 1 e -1. Trocar os eixos também é uma reflexão, desta vez na reta y = x.

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3Blue1Brown·Eigenvectors and eigenvalues | Chapter 14, Essence of linear algebra