Juros Simples vs. Juros Compostos

Comparação lado a lado dos modelos de juros.

Exemplo resolvido — Juros Simples vs. Juros Compostos

Valor com juros simples	24000.00
Valor com juros compostos	40387.39
Composto menos simples	16387.39

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Juros Simples vs. Juros Compostos

Os juros simples são pagos apenas sobre o capital inicial, adicionando assim o mesmo valor todos os anos — uma linha reta. Os juros compostos são pagos sobre o saldo, que inclui os juros já acumulados, pelo que os juros de cada ano são maiores do que os do ano anterior. Um é um crescimento linear; o outro é exponencial.

O que significa cada símbolo

r: a taxa anual, 7% aqui, introduzida como percentagem e utilizada como 0.07.
n: o número de capitalizações por ano, 12. Surge apenas na fórmula dos juros compostos — os juros simples não têm esse controlo, o que é, por si só, a diferença em miniatura.

De onde vem a fórmula

Os juros simples nunca recalculam o seu valor de base: após t anos, obtém-se o capital inicial mais t vezes P·r, pelo que A = P(1 + r·t). Nas predefinições, 10000 × (1 + 0.07 × 20) = 24,000.
Os juros compostos multiplicam em vez de somar. Em cada período, o saldo é multiplicado por (1 + r/n) e, ao longo de t anos, existem n·t esses períodos — portanto A = P(1 + r/n)^n·t.
Com n = 12 e t = 20, são 240 multiplicações, resultando em 40,387.39. A diferença entre os dois, 16,387.39, é maior do que todo o ganho dos juros simples de 14 000 — os juros gerados pelos juros superaram os juros sobre o capital inicial.

Pressupõe: Uma taxa constante, sem depósitos nem levantamentos após o início, sem impostos e sem comissões. Tudo é nominal, pelo que nenhum destes valores está ajustado à inflação.
Falha quando: Se definir o tempo para um único ano, os dois são quase iguais — toda a vantagem da capitalização composta é uma história de duração, não de taxa. A comparação também é ligeiramente injusta por construção: aqui os juros simples nunca capitalizam, enquanto o seu rival capitaliza mensalmente, pelo que parte da diferença se deve à frequência e não ao princípio. Defina as capitalizações por ano para 1 e a verdadeira diferença comparável é menor.

O controle de capitalização fica sem estrada quase imediatamente 🖖

Capitalizar com mais frequência sempre ajuda, mas ajuda cada vez menos, e o próprio controle de frequência da ferramenta mostra onde isso deixa de importar. Pegue o preset longo: 10.000 a 7 % por 20 anos. Capitalizado uma vez por ano você termina com 38.696,84. Mude para mensal e ganha 1.690,54. De mensal para diário, ganha 159,17. De diário para capitalizar infinitas vezes, ganha 5,44. O controle vai até 365, mas tudo o que vale a pena já está ganho por volta do décimo segundo passo, porque a sequência inteira converge para um teto duro: Pe^rt = 40.552,00. É daí que vem o e aqui — não de escolher uma base, mas do limite contra o qual o adensamento vai bater.

Juros sobre juros 🖖

Os juros simples pagam todo ano um valor fixo baseado apenas no seu capital inicial, então o total cresce em linha reta. Os juros compostos pagam também juros sobre os juros já ganhos, de modo que o ganho de cada ano é um pouco maior que o anterior e a curva se dobra para cima. Com capitalização anual, ambos coincidem após o primeiro ano; cada parte da diferença crescente é dinheiro que os juros passados renderam para você.

Um centavo do ano zero 🖖

Em 1772, o atuário Richard Price calculou que um penny emprestado no início da era cristã a 5% de juros simples valeria, após cerca de 1,800 anos, apenas uns sete xelins — menos de uma libra. O mesmo penny a 5% de juros compostos valeria mais ouro do que todo o sistema solar poderia conter. Mesma moeda, mesma taxa: a única diferença é permitir que os juros rendam juros.

Prática

Verifique você mesmo

Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.

Deixa os valores por omissão — 10.000 a 7 %, capitalizados mensalmente. Adivinha quantos anos leva o valor composto a chegar aos 20.000 e depois procura-o com a caixa dos anos.

Mostrar a resposta

Pouco mais de 9.93 anos: em exactamente 9,93 a linha composta mostra 19998.67, a um fio de distância. A regra dos 72 prevê 72 / 7 = 10.3 anos, e em 10.3 já vais em 20521.85. A regra pressupõe juros somados uma vez por ano; esta página soma-os doze vezes, por isso a duplicação chega mais cedo. Capitalizar mais vezes nunca muda a taxa — encurta a espera.
Vinte anos a 7 % capitalizados mensalmente transformam 10.000 em 40387.39. Que taxa simples chegaria ao mesmo número nos mesmos vinte anos? Mexe na caixa da taxa e lê a linha dos juros simples.

Mostrar a resposta

Cerca de 15.19%, onde os juros simples marcam 40380.00 — e 40400.00 assim que subires para 15.2%. Sete por cento, deixados a render sobre si próprios durante vinte anos, valem mais do dobro dessa taxa aplicada apenas à soma inicial. Atenção, as duas linhas só são comparáveis na taxa em que paraste: os juros compostos já fugiram para 205099.01.

Problema resolvido na íntegra

10 000 durante 20 anos a 7% com capitalização mensal 5 passos
10 000 durante 20 anos a 7%. Calcule ambos os regimes de juros e, em seguida, deduza de onde vem a “regra dos 72”. Capitalização mensal.
1. Os juros simples incidem apenas sobre a quantia original, pelo que o saldo cresce ao longo de uma linha reta. Vinte anos a 7% adicionam 140% e nada mais.
  
  $simple = P (1 + r t) = 10000 (1 + 0.07 \times 20) = 24000$
2. Os juros compostos incidem sobre o saldo, incluindo os juros pagos anteriormente. Isso torna o crescimento exponencial, e o expoente conta períodos, não anos — a capitalização mensal ao longo de 20 anos resulta em 240 períodos.
  
  $compound = P (1 + \frac{r}{m})^{m t} = 10000 (1 + \frac{0.07}{12})^{240}$
3. Calcule. A comparação acima exibe ambos os valores, e o segundo não é 40% maior do que o primeiro por acidente.
  
  $= 10000 \times (1.0058 \overline{3})^{240} = 40 387.39$
4. A diferença são os juros que renderam juros sobre si mesmos. Ao longo de 20 anos, essa quantia excede todo o investimento inicial.
  
  $gap = 40 387.39 - 24000 = 16 387.39$
5. Agora deduza o atalho que todos citam. Dobrar significa que o fator de crescimento atinge 2, por isso aplique logaritmos.
  
  $t_{2} = \frac{ln 2}{ln ( 1 + r / m ) m} = \frac{0.6931}{0.06976} = 9.93 yr (rule of 72 : \frac{72}{7} = 10.3)$
Resposta

24 000 contra 40 387.39 — uma diferença de 16 387.39, mais do que o montante com que começou. O tempo de duplicação resulta em 9.93 anos, e a regra dos 72 dá 10.3: a regra é apenas ln 2 ≈ 0.693 reescrito como 69.3, arredondado para 72 porque 72 é divisível de forma exata por 2, 3, 4, 6, 8, 9 e 12. Trata-se de uma conveniência de cálculo mental que esconde um logaritmo, e é precisa até cerca de 1% para taxas entre 5 e 10%.

$compound - simple = 16 387.39 t_{double} \approx \frac{72}{r %}$

Percurso de aprendizagem

Dinheiro ao longo do tempo

Conduz a Valor futuro de rendas o fator de crescimento (1 + r) e o hábito de o aplicar uma vez por período.

Referências (1)

On compounding conventions and why the frequency has to be stated with the rate: C. Attwood, "Compound Interest Functions," in Compound Interest Functions, 1–165. Pergamon, 1967.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-29

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

período curto - Horizonte curto em que os resultados simples e compostos permanecem próximos.
período longo - Horizonte longo em que a diferença da composição se torna pronunciada.
taxa alta - Taxas mais altas e um horizonte maior ampliam a vantagem dos juros compostos.