Problema resolvido na íntegra
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60% de ações dos EUA e 40% de obrigações do Tesouro a 10 anos rebalanceados todos os anos 7 passos
60% em ações dos EUA e 40% em Obrigações do Tesouro a 10 anos, 1928–2025, com reequilíbrio anual versus compradas uma vez e nunca alteradas. Calcule a linha nunca alterada a partir de dois números — e depois mostre por que razão a linha reequilibrada não pode ser calculada de todo.
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Comece com cada componente isoladamente. Defina Primeiro ativo (%) para 100 e ambos os cartões de retorno indicam 10,02%; defina-o para 0 e ambos indicam 4,53%. Têm de coincidir nessas duas configurações, porque com apenas um ativo não há nada para vender de volta ao objetivo — pelo que isto é tanto uma verificação da ferramenta como uma leitura da mesma.
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Noventa e oito anos transformam uma diferença de taxa numa diferença de dinheiro. A diferença é de 5,49 pontos por ano e, capitalizada ao longo desse período, torna-se num fator de cerca de 150 — o número sobre o qual incide verdadeiramente o resto do problema.
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Comprar e manter significa que nada é comprado ou vendido, pelo que cada componente se capitaliza simplesmente por si só. Acompanhe os 60 cêntimos e os 40 cêntimos separadamente e some-os no final.
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Converta o total de volta numa taxa e obtém o cartão Nunca alterado. Note o que nunca entrou no cálculo: a ordem dos anos. Baralhe os 98 retornos de cada componente em qualquer ordem que desejar e a resposta permanece inalterada — mas apenas dentro de uma mesma componente. Junte todos os 196 números e volte a distribuí-los por duas novas componentes e obterá uma carteira diferente.
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Agora pergunte de que é constituída essa carteira quando termina, que é o valor apresentado no veredito. A linha vencedora não foi uma carteira 60/40 deixada sem alterações. Era uma carteira composta exclusivamente por ações que costumava ser 60/40.
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O reequilíbrio não pode de todo ser feito a partir de dois números. O retorno de cada ano é a combinação 0,6rs + 0,4rb, e um produto de 98 combinações não é uma combinação qualquer dos totais das duas componentes — troque o retorno das ações de um ano pelo retorno das obrigações desse mesmo ano e o resultado altera-se. A ordem não é mais relevante aqui do que era acima — a um produto de 98 fatores a ordem não importa — mas o emparelhamento importa: atingir 8,34% exige que todos os 196 números estejam associados aos anos em que realmente ocorreram, razão pela qual a ferramenta o calcula e esta página não consegue.
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Assim, a diferença de 1,11 pontos não é uma penalização pelo reequilíbrio. É a diferença entre uma carteira que terminou com 99,6% em ações e uma mantida nos 60% durante 98 anos, e os cartões de volatilidade refletem essa diferença pelo outro lado: a linha nunca alterada apresenta mais 30% de variação de ano para ano.
Resposta
9,45% ao ano sem intervenção, contra 8,34% com reequilíbrio — e, no final, a carteira não reequilibrada tem 99,6% em ações. Um desvio desta dimensão não é uma peculiaridade da carteira 60/40. Qual seria a ponderação inicial que, passados 98 anos, ainda deixaria metade da carteira em obrigações? w × 150,1 = 1 − w, logo w = 1/151,1 = 0,66%. Qualquer carteira de compra e manutenção que comece com mais de dois terços de um por cento em ações acaba por ter uma maioria de ações. Introduza 0,66 em Primeiro ativo (%): o resultado indica 49,9%, precisamente no limiar esperado. Portanto, «nunca mexer» não é uma estratégia com um nível de risco definido. É uma estratégia que entrega esse nível de risco à componente com melhor desempenho e só revela qual foi 98 anos depois.
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Percurso de aprendizagem
O risco, medido
Referências (2)
- Where the "rebalancing bonus" comes from, and the arithmetic that says when it is there at all: S. Willenbrock, "Diversification Return, Portfolio Rebalancing, and the Commodity Return Puzzle." Financial Analysts Journal 67(4), 42–49, 2011.
- Portfolio variance as wᵀΣw, the quantity a rebalanced portfolio holds still and a drifting one does not: H. Markowitz, "Portfolio Selection." The Journal of Finance 7(1), 77, 1952.