Bilhetes, Notas e Obrigações: O Efeito do Rendimento no Preço

Compre um título do Tesouro ao par num dia de 2026, reavalie-o noutro e observe a alteração do preço. Os números são as próprias curvas diárias do Tesouro, nominais e protegidas da inflação.

Exemplo resolvido — Bilhetes, Notas e Obrigações: O Efeito do Rendimento no Preço

O segmento longo de 2026, medido	4 de setembro
Variação do rendimento	+38 bp
Rendimento real (TIPS)	+33 bp
Inflação de equilíbrio	+5 bp
Preço por 100 de nominal	94,28
Variação desde a compra	−5,72%
Duração modificada	15,70
Pontos base por 1% do preço	6

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Bilhetes, Notas e Obrigações: O Efeito do Rendimento no Preço

Uma obrigação é uma promessa de pagamento de montantes fixos em datas fixas. O seu preço e o seu rendimento são um único facto expresso de duas formas: o rendimento é a única taxa de desconto que faz com que os pagamentos prometidos totalizem esse preço. Ao fixar os pagamentos, os dois apenas se podem mover em direções opostas.

O que significa cada símbolo

P: preço por 100 de nominal
c: o cupão anual, pago em duas metades
y: o rendimento anual
n: o número de pagamentos ainda por realizar
D: duração modificada, a percentagem que o preço desce quando o rendimento sobe um ponto percentual

Pressupõe: Que os pagamentos chegam. Um título do Tesouro dos EUA não acarreta qualquer prémio de incumprimento no seu rendimento, o que faz dele o instrumento limpo para esta lição. Os preços aqui são fixados numa data de cupão, pelo que não existem juros corridos, e cada título é comprado ao par, logo o seu cupão iguala o rendimento na data de compra.
Falha quando: A duração é uma linha reta encostada a uma curva, pelo que sobreavalia uma perda e subavalia um ganho, e o erro cresce com o tamanho da variação: 0,02 pontos percentuais na nota a 2 anos este ano, 0,25 na de 30 anos. Essa curvatura é a convexidade, e o gráfico desenha as duas linhas para que as possa ver separar-se. A duração também assume que toda a curva se desloca em conjunto, o que não aconteceu em 2026, quando a parte curta se moveu mais do dobro do que a parte longa.

O segmento longo foi o que menos subiu em 2026 e o que mais perdeu 🖖

Ao longo dos oito meses até 4 de setembro, o rendimento a 2 anos subiu 90 pontos base e o de 30 anos subiu 38. Compre cada um ao par a 2 de janeiro e reavalie-os na curva de setembro: o de 2 anos vale 98,29 e o de 30 anos 94,28. A obrigação longa perdeu 3,35 vezes mais dinheiro com 0,42 vezes a variação do rendimento. A duração é a única razão, e a ferramenta mostra-o: 1,92 anos contra 15,70. Desça o seletor de títulos na lista e observe a perda aumentar enquanto a variação do rendimento diminui.

Quase nada disto foi inflação 🖖

O Tesouro publica uma segunda curva, destinada a títulos protegidos contra a inflação, e a diferença entre ambas reflete a taxa de inflação precificada pelo mercado. Dos 38 pontos-base acumulados pelo título de 30 anos neste ano, 33 vieram do rendimento real, que saltou de 2,63% para 2,96% e tocou 3,06% em 17 de agosto. Os 5 restantes vieram da inflação esperada. O medo da inflação é a explicação clássica para rendimentos longos elevados, mas aqui o seu papel é praticamente nulo.

A inflação a trinta anos é avaliada abaixo da inflação a dez anos, e assim esteve todo o ano 🖖

A 4 de setembro a inflação de equilíbrio era 2,35% a dez anos e 2,28% a trinta. Isto é o inverso para qualquer pessoa que espere que a inflação se agrave ao longo de décadas, e não se trata da peculiaridade de um dia: manteve-se em 170 das 171 sessões no ficheiro. Selecione a nota a 10 anos, leia a ficha de equilíbrio, e de seguida selecione a de 30 anos.

Um preço de 94 não é uma perda a menos que decida vender 🖖

A obrigação a 30 anos a 94,28 continua a pagar 100 na maturidade, e todos os cupões pelo meio. A perda pertence a um vendedor. É por isso que um banco pode registar a mesma obrigação a 94 e outro a 100, dependendo se é detida até à maturidade, sendo essa a distinção que determinou o destino do Silicon Valley Bank em 2023. O que a ficha de preço mostra é o que outra pessoa lhe pagaria hoje.

Qualquer maturidade na curva custa agora mais do que a dívida já paga 🖖

A taxa de juro média de toda a dívida federal remunerada era 3,447% a 31 de julho. O ponto mais barato na curva de 4 de setembro é a maturidade constante a um mês aos 3,79%, e a de trinta anos está nos 5,24%. À medida que a dívida antiga vence e é reemitida, a média sobe em direção à curva, o que acontece quer algum rendimento volte a mexer ou não.

Problema resolvido na íntegra

Qual perde mais: 90 pontos base numa nota a dois anos ou 38 numa obrigação a trinta anos? 7 passos
Ambas foram compradas ao par a 2 de janeiro de 2026. Ao longo dos oito meses até 4 de setembro, o rendimento da nota a 2 anos subiu 90 pontos base e o da de 30 anos subiu 38, menos de metade da distância. Calcule qual perdeu mais dinheiro, e por quanto, antes de ler as fichas de preço.
1. A duração é uma média ponderada de quando o dinheiro de uma obrigação chega, cada pagamento ponderado pela sua quota no preço. Uma nota a dois anos paga quase tudo num prazo de dois anos. Uma obrigação a trinta anos tem cupões a cair três décadas à frente, e esses pagamentos distantes são aqueles sobre os quais uma taxa de desconto tem mais poder.
  
  $D = \frac{\sum _{t} t \frac{C _{t}}{( 1 + i ) ^{t}}}{\sum _{t} \frac{C _{t}}{( 1 + i ) ^{t}}}$
2. Para uma obrigação comprada ao par existe uma fórmula fechada, pelo que não há necessidade de somar sessenta termos à mão. Sendo i o rendimento por semestre e n o número de semestres, a duração de Macaulay é ((1 + i) / i) × (1 − (1 + i)⁻ⁿ), medida em semestres.
  
  $at par : D = \frac{1 + i}{i} (1 - (1 + i)^{- n}) half-years$
3. A nota a dois anos: i = 3,47 / 200 = 0,01735 e n = 4. Isso resulta em 3,8988 semestres, logo 1,9494 anos.
  
  $i = \frac{3 . 47}{200} = 0.01735, n = 4 : D = 3.8988 \to 1.9494 years$
4. A obrigação a trinta anos: i = 4,86 / 200 = 0,02430 e n = 60. Isso resulta em 32,1709 semestres, logo 16,0854 anos. Oito vezes o valor da nota a dois anos, a partir de quinze vezes a maturidade.
  
  $i = \frac{4 . 86}{200} = 0.02430, n = 60 : D = 32.1709 \to 16.0854 years$
5. A duração modificada divide cada um por (1 + i): 1,9162 e 15,7038. Esse é o número de que a pergunta necessita, porque uma variação de preço é aproximadamente −D vezes a variação do rendimento.
  
  $D_{mod} = \frac{D}{1 + i} : 1.9162 and 15.7038$
6. A nota a dois anos: −1,9162 × 0,90% = −1,725%. A obrigação a trinta anos: −15,7038 × 0,38% = −5,967%.
  
  $\frac{Δ P}{P} \approx - D_{mod} Δ y : - 1.9162 \times 0 . 90% = - 1 . 725%, - 15.7038 \times 0 . 38% = - 5 . 967%$
7. Agora compare com os preços exatos: −1,71% e −5,72%. A duração sobreavaliou ambos, em 0,02 pontos percentuais na de dois anos e 0,25 na de trinta anos.
  
  $2-year 30-year Δ y + 0 . 90% + 0 . 38% duration says - 1 . 725% - 5 . 967% actual - 1 . 71% - 5 . 72% error 0.02 0.25$
Resposta

A obrigação a trinta anos perde 5,72% contra os 1,71% da de dois anos, um rácio de 3,35 a partir de 0,42 vezes a variação do rendimento. Só a duração previu 3,46, e a diferença é a convexidade: a relação preço-rendimento é uma curva, a duração é a linha reta tangente à mesma no ponto de compra, e quanto mais longa a obrigação mais cedo essa linha se afasta da curva. Abra o painel de preço e rendimento para ver ambas desenhadas em conjunto. O erro é unilateral, pois a curva dobra para cima em todo o lado, pelo que a duração sobreavalia sempre uma perda e subavalia sempre um ganho.

$\frac{5 . 72}{1 . 71} = 3.35 from \frac{0 . 38}{0 . 90} = 0.42$

Referências (2)

The two curves this tool is built from, and how they are constructed — which is why its figures are closes rather than intraday quotes: U.S. Department of the Treasury, "Interest Rate Statistics" — Daily Treasury Par Yield Curve Rates and Daily Treasury PAR Real Yield Curve Rates.
The long-end intervention the tool's opening section describes, in Treasury's own words: U.S. Department of the Treasury, "Treasury Announces Increased Sizes of Nominal Long-End Liquidity Support Buybacks Beginning September 9", press release, 19 August 2026.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.