Explorador da dívida pública

Toda a gente já ouviu falar do valor da dívida, mas quase ninguém o consegue contextualizar. Outros quatro indicadores determinam o seu significado: a taxa de juro que se paga, a velocidade a que a economia cresce, o saldo primário e o que é efetivamente amortizado. Mova-os e observe.

Exemplo resolvido — Explorador da dívida pública

Dívida por pessoa	$117.130
Produção por pessoa e por ano	$90.027
Anos de produção por pessoa	1,30
Dívida sobre PIB	130,1%
Juros por ano	$1,38T
Pagamento que só cobre os juros	$1,38T
Saldo primário que mantém o rácio parado	−0,94%
Rácio no horizonte	158,8%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Abaixo de 1,38 biliões por ano, nunca é amortizada 🖖

Os juros são o produto da taxa pelo saldo em dívida: 3,447% sobre $40,03 biliões equivalem a $1,38 biliões por ano, antes de se amortizar um único cêntimo de capital. Qualquer pagamento anual inferior a esse valor faz com que o saldo do próximo ano seja maior do que o deste ano; um pagamento exatamente igual mantém o saldo inalterado. Assim, a pergunta «quanto tempo?» não tem como resposta um número elevado: a dívida nunca é liquidada. Pouco acima desse limiar, os resultados continuam quase tão estranhos: $1,40 biliões exigem 125 anos, $1,50 biliões exigem 74,5 e $2 biliões exigem 34,6. Arraste o controlo do pagamento através da linha vermelha e verá a curva tornar-se vertical.

O crescimento altera o rácio; o controlo do reembolso não intervém 🖖

A evolução do rácio é dada por d(1+r)/(1+g) − pb, portanto o sinal de r − g determina se um excedente é sequer necessário. A 3,447 % contra 4,2 % de crescimento nominal, um défice primário de 0,94 % do PIB mantém o rácio estritamente inalterado — para sempre, sem amortizar nada. Inverta os dois e a aritmética inverte-se com eles: 5,5 % contra 3 % exige 3,16 % de excedente para não se alterar, e um orçamento equilibrado leva o rácio a 267,1 % em trinta anos. Nenhum dos casos implica o pagamento da dívida.

Uma parte por pessoa não é um fardo enquanto não for dividida por um rendimento 🖖

117 130 $ por pessoa é o valor que circula. 90 027 $ é o que cada pessoa produz num ano, e a razão entre os dois é 1,30 — outra vez o rácio dívida/PIB, obtido por outra via. É a isto que a perspetiva por pessoa se resume: o rácio multiplicado pela produção por pessoa. Citá-lo sem o rendimento é citar um numerador. Saber se 130 % é um nível confortável é outra questão, e esta página não lhe responde.

Problemas resolvidos na íntegra

Onde se fixa o rácio da dívida, finda a projeção a trinta anos 8 passos
Deixando todos os seletores onde o predefinido hoje os coloca: taxa de juro a 3,447%, crescimento nominal a 4,2%, um défice primário de 2% do PIB e nenhuma alteração de políticas no futuro. O painel indica que o rácio passa de 130,1% atualmente para 158,8% em trinta anos. Deixando o tempo continuar a correr, o rácio continua a subir?
1. Um ano de evolução do rácio corresponde a uma linha, cuja forma é essencial: o rácio deste ano multiplicado por um número, menos o saldo primário. Trata-se de uma aplicação afim, não linear, e é o termo constante que lhe dá um ponto onde pode estabilizar. Dê um nome ao multiplicador, pois tudo o que se segue depende de ele ser maior ou menor do que um.
  
  $d_{n + 1} = d_{n} \frac{1 + r}{1 + g} - p b = φ d_{n} - p b, φ = \frac{1 + r}{1 + g}$
2. Introduzindo as duas taxas. O crescimento está acima da taxa de juro, pelo que φ resulta num valor ligeiramente inferior a 1. A cada ano, a dívida existente encolhe ligeiramente em comparação com uma economia maior; o défice empurra no sentido oposto, e estes dois efeitos são o que a aplicação equilibra.
  
  $φ = \frac{1.03447}{1.042} = 0.992774 < 1$
3. Uma aplicação afim cujo multiplicador seja diferente de um tem exatamente um ponto fixo. Iguale o rácio do próximo ano ao deste ano e resolva a equação.
  
  $d^{*} = φ d^{*} - p b ⟹ d^{*} = \frac{- p b}{1 - φ}$
4. Um défice primário de 2% significa pb = −0,02, logo −pb é +0,02, e 1 − φ é 0,007226. Dividindo. O rácio não dispara: converge para um valor ligeiramente superior a 276% do PIB e estabiliza.
  
  $d^{*} = \frac{0.02}{0.0072265} = 2.7676 = 276.8% of GDP$
5. Obtém-se assim toda a trajetória em forma fechada, sem recorrer a simulação. O desvio entre a posição atual e a posição de destino diminui por um fator φ a cada ano, pelo que o rácio é o ponto fixo acrescido de um resto decrescente.
  
  $d_{n} = d^{*} + (d_{0} - d^{*}) φ^{n}$
6. Verifique-se no painel antes de assumir o resultado. d₀ é 40,033 sobre 30,77, e n é 30.
  
  $d_{30} = 2.7676 + (1.30104 - 2.7676) (0.992774)^{30} = 1.5878 = 158.8%$
7. Afinal, quanto tempo demora a «convergir»? O desvio reduz-se a metade a cada ln(½)/ln φ anos. Trinta anos reduzem 19,6% do desvio. A projeção traçada pela ferramenta cobre um quinto da distância; metade da distância só é reduzida no ano 96, e uma exponencial nunca a reduz na totalidade.
  
  $t_{1/2} = \frac{ln \frac{1}{2}}{ln 0.992774} = 95.6 years$
8. Altere agora o fator decisivo. Clique em taxa superior ao crescimento: juros de 5,5% face a um crescimento de 3%, com o orçamento primário exatamente equilibrado. φ passa a ser maior do que um. Com o orçamento primário equilibrado, o ponto fixo é zero; quando φ é maior do que um, esse ponto repele em vez de atrair, e o rácio cresce geometricamente a partir de qualquer valor inicial.
  
  $φ = \frac{1.055}{1.03} = 1.024272 > 1, t_{2} = \frac{ln 2}{ln φ} = 28.9 years$
Resposta

Converge — para 276,8% do PIB — e o valor de 158,8% que o painel apresenta aos trinta anos corresponde a um quinto do caminho. Tudo depende de φ = (1+r)/(1+g) ser superior ou inferior a um, o que corresponde apenas ao sinal de r − g. O cartão do painel relativo ao saldo estabilizador é essa mesma comparação expressa sob a forma de um excedente necessário.

O contraste entre os dois predefinidos constitui todo o tema. Um défice primário permanente de 2% com o crescimento a superar a taxa de juro estabiliza em 277% e aí permanece. Um orçamento primário em perfeito equilíbrio com a taxa de juro a superar o crescimento não estabiliza em ponto algum: 130% passa para 267% em trinta anos e duplica a cada 28,9 anos subsequentes. Destes dois países, aquele que nunca equilibra o seu orçamento é o que se revela estável. A amortização não entra em nenhum dos cálculos, pois trata-se da aritmética de um rácio e o numerador é apenas metade da questão.
O endividamento que deixa o rácio da dívida exatamente onde estava 7 passos
Carregue na predefinição crescimento acima da taxa: 3% de juro, 5% de crescimento nominal, um défice primário de 1,5% do PIB. O cartão do saldo estabilizador indica −2,48%. Calcule quanto é isso em dólares e decida depois a qual dos dois relógios do painel pertence um título de jornal sobre a dívida.
1. O cartão é uma parte do PIB, e uma parte do PIB é um quociente entre duas coisas que se movem ambas. Comece pela sua origem: o saldo que deixa o rácio do próximo ano igual ao deste. Com uma taxa de 3% contra um crescimento de 5%, é negativo, pelo que este país pode manter um défice primário permanente de 2,48% do PIB sem nunca mexer no seu rácio da dívida.
  
  $p b^{*} = d \frac{r - g}{1 + g} = 1.30104 \times \frac{0.03 - 0.05}{1.05} = - 0.02478 = - 2.48%$
2. Ponha-o agora em dinheiro. O saldo primário é medido contra o PIB do ano seguinte, portanto multiplique por ele e veja o PIB cancelar-se. O que sobra é a dívida vezes a diferença entre as duas taxas, e não lhe interessa o tamanho da economia. Um défice permanente de 801 mil milhões de dólares.
  
  $p b^{*} G (1 + g) = \frac{D}{G} \cdot \frac{r - g}{1 + g} \cdot G (1 + g) = D (r - g) = 40.033 \times (- 0.02) = - 0.801$
3. Este é o saldo primário, que é o orçamento antes dos juros. Some a fatura de juros que o painel apresenta, 1,20 biliões, e tem aquilo que o Tesouro pede efetivamente emprestado num ano para ficar parado. Dá 2,00 biliões, e é exatamente 5% da dívida.
  
  $r D - p b^{*} G (1 + g) = 1.201 + 0.801 = 2.002 = g D = 0.05 \times 40.033$
4. Não é um acaso destes números. Se o rácio não muda, a dívida e a economia cresceram pelo mesmo fator, pelo que o novo endividamento é a taxa de crescimento vezes a dívida. A taxa de juro desapareceu, e o saldo primário também; sejam eles quais forem, só conseguem reorganizar de que bolso sai o dinheiro.
  
  $\frac{D ^{'}}{G ^{'}} = \frac{D}{G} ⟺ D^{'} = D (1 + g) ⟺ D^{'} - D = g D$
5. Olhe agora para a outra metade da página. O seletor do pagamento está em 2,00 biliões e o cartão da amortização diz 31,0 anos. São os mesmos 2,00 biliões. Um painel chama-lhe dinheiro que sai do Tesouro todos os anos e o outro chama-lhe dinheiro que entra, e ambos são apresentados nesta página ao mesmo tempo.
  
  $n = \frac{ln ( P / ( P - r D ) )}{ln ( 1 + r )} = \frac{ln ( 2/0.799 )}{ln 1.03} = 31.0, g D = 2.002$
6. A predefinição não está a correr o défice estabilizador, mas um menor, 1,5% em vez de 2,48%, pelo que o rácio desce. Aos trinta anos o cartão indica 107,6%, partindo de 130,1%.
  
  $d_{30} = 1.0759 = 107.6%, G_{30} = 30.77 \times 1.0 5^{30} = 132.99$
7. E a dívida em si, em dólares, ao longo desses mesmos trinta anos. A economia capitaliza a 5% e fica 4,32 vezes maior; multiplique pelo rácio e a dívida é de 143 biliões. Mais do que triplicou enquanto o número que mede se isso é um problema descia.
  
  $D_{30} = 1.0759 \times 132.99 = 143.1, \frac{143.1}{40.033} = 3.57$
Resposta

2,00 biliões de dólares de dívida nova por ano, que é justamente o valor em que o seletor do pagamento está colocado. Peça emprestado isso e o rácio não se mexe; peça menos, como esta predefinição faz, e ele desce para 107,6% enquanto a dívida trepa para 143 biliões.

Duas identidades valem em todas as configurações. O endividamento que mantém o rácio parado é g·D, e o excedente primário que o sustenta é D(r − g). Ambas perdem o PIB, e é isso que as torna utilizáveis: na predefinição taxa acima do crescimento, o excedente dá 1,00 biliões por ano contra uma fatura de juros de 2,20 biliões, pelo que o endividamento fica limitado a 1,20 biliões, que são 3% da dívida, a taxa de crescimento outra vez. A uma dívida é permitido crescer à velocidade da economia e não mais depressa. O que faz do aumento anual em dólares, o número que todos os títulos noticiam, uma grandeza que é suposto subir e que ninguém consegue ler sem que lhe digam ao lado qual é a taxa de crescimento.

$borrowing = g D, surplus needed = D (r - g) : 40.033 \times 0.025 = 1.00$

Referências (4)

The debt outstanding, its split between public and intragovernmental holdings, and the date it was true U.S. Department of the Treasury, Fiscal Data, "Debt to the Penny", record date 2026-08-20.
The average interest rate the debt actually carries, which sets the interest bill and the repayment threshold U.S. Department of the Treasury, Fiscal Data, "Average Interest Rates on U.S. Treasury Securities", Total Interest-bearing Debt, 2026-07-31: 3.447%.
Nominal GDP and population, the two denominators the tool argues about World Bank Open Data, NY.GDP.MKTP.CD and SP.POP.TOTL, United States, 2025. Licensed CC BY 4.0.
The debt-ratio recurrence d(1+r)/(1+g) - pb and the stabilising primary balance Escolano, J. (2010). A Practical Guide to Public Debt Dynamics, Fiscal Sustainability, and Cyclical Adjustment of Budgetary Aggregates. IMF Technical Notes and Manuals 10/02.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-09-03

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

Todas as lições de Estatística e Finanças →

Problemas de exemplo

hoje - 40,03 biliões de $ são 130,1 % do PIB; só os juros custam 1,38 biliões por ano, e 2,00 biliões por ano amortizam a dívida em 34,6 anos.
um pagamento que nunca acaba - 1,35 biliões por ano ficam abaixo da fatura de juros de 1,38 biliões, por isso a resposta é nunca — o saldo cresce enquanto se paga.
crescimento acima da taxa - Com um crescimento de 5% e uma taxa de 3%, manter o rácio constante exigiria um défice primário de 2,48% do PIB. Este cenário usa um défice menor, e em trinta anos o rácio desce de 130,1% para 107,6%.
taxa acima do crescimento - Uma taxa de 5,5 % contra 3 % de crescimento exige um excedente de 3,16 % do PIB só para não se mover; um orçamento equilibrado chega a 267,1 % em trinta anos.