Calculadora de Vetores

Calcule e visualize operações vetoriais: produto escalar, produto vetorial, projeção e ângulo.

Exemplo resolvido — Calculadora de Vetores

\|A\|	2.2361
\|B\|	2.2361
Spanned Line Eq.	0

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Calculadora de Vetores

O produto escalar de dois vetores pode ser escrito de duas formas que parecem não ter nada em comum: multiplicar as componentes correspondentes e somar, ou multiplicar os dois módulos pelo cosseno do ângulo entre eles. Os dois métodos dão sempre o mesmo resultado, e essa concordância é o que torna o produto escalar útil — converte a geometria em aritmética.

O que significa cada símbolo

A · B: o produto escalar: um número, não um vetor. Com os valores por omissão, 2·−1 + 1·2 = 0.
|A|: o módulo (comprimento) de um vetor, a partir de Pitágoras: √(2² + 1²) = 2.2361.
θ: o ângulo entre os dois vetores, que a página apresenta em radianos e graus ao mesmo tempo — 1.5708 rad = 90° para os valores por omissão.
comp: a projeção escalar — quanto de um vetor se projeta ao longo do outro. É o produto escalar dividido pelo módulo do vetor sobre o qual se está a projetar.

De onde vem a fórmula

Considere o triângulo formado por A, B e pelo vetor A − B que une as suas extremidades. A lei dos cossenos relaciona os seus lados: |A − B|² = |A|² + |B|² − 2|A||B|cos θ.
Agora, expanda o mesmo |A − B|² componente a componente. Cada termo ao quadrado volta a agrupar-se em |A|² e |B|², e o que resta é −2(A_xB_x + A_yB_y).
Igualando as duas expressões, |A|² e |B|² cancelam-se, restando A_xB_x + A_yB_y = |A||B|cos θ. Reorganizando, obtém-se exatamente a fórmula do ângulo na página: θ = arccos(A·B / (|A||B|)).

Como ler o que vê

Cada linha mostra a substituição e não apenas a resposta: o produto escalar como A·B = A_xB_x + A_yB_y = 2·−1 + 1·2 = 0, ambos os módulos a partir de Pitágoras, e depois o ângulo como arccos(0) = 1.5708 rad = 90°. Deixe ambas as caixas do z a 0 e os vetores são apresentados como colunas de duas componentes; dê um valor a z em qualquer um deles e a visualização passa a ser tridimensional.

Pressupõe: Coordenadas cartesianas com eixos perpendiculares e a mesma unidade em cada um. As fórmulas acima aplicam-se a esse caso; numa projeção cartográfica, ou em qualquer sistema de coordenadas cujos eixos não formem ângulos retos, a fórmula componente a componente deixa de ser o produto escalar.
Falha quando: Um produto escalar exatamente igual a 0 significa que os vetores são perpendiculares — mas isso é verdade para qualquer par de vetores perpendiculares, independentemente do seu comprimento, pelo que não nos diz nada sobre o tamanho. E o ângulo obtido é sempre o ângulo não orientado entre 0 e 180°: trocar A e B dá exatamente o mesmo resultado, pelo que o produto escalar, por si só, nunca indica o sentido da rotação.

Os dois produtos respondem com zero, e o zero significa coisas opostas 🖖

As duas primeiras predefinições são a mesma descoberta por dois lados. Em perp2d o produto escalar marca exatamente 0 enquanto o vetorial vale 1; em parallel o vetorial marca exatamente 0 enquanto o escalar vale 26. Um produto escalar nulo significa então que os vetores estão em ângulo reto, e um produto vetorial nulo que estão alinhados: os dois testes não são intercambiáveis, são complementares. A linha da área gerada torna o segundo concreto: vetores paralelos não encerram nada, e o par 3 por 4 de area encerra exatamente 12.

Dois produtos, duas respostas bem diferentes 🖖

Esta ferramenta calcula as duas maneiras de multiplicar vetores. O produto escalar devolve um único número que mede o quanto dois vetores apontam na mesma direção: zero significa que são perpendiculares. O produto vetorial (3D) devolve um vetor totalmente novo, perpendicular a ambos, cujo comprimento é igual à área do paralelogramo que eles formam. Para achar o ângulo, basta rearranjar o produto escalar: cos θ = (a·b)/(|a| |b|).

O produto vetorial só existe em 3D e 7D 🖖

O produto escalar funciona em qualquer número de dimensões, mas um verdadeiro produto vetorial — dois vetores na entrada, um vetor perpendicular a ambos na saída — só existe em três e sete dimensões. Essa singularidade está diretamente ligada às álgebras dos quatérnios e dos octônios, as únicas álgebras de divisão normadas além dos números reais e complexos. Ou seja, o familiar produto vetorial 3D é bem menos universal do que parece.

Problemas resolvidos na íntegra

A área gerada por A = (2, 1) e B = (−1, 2) 6 passos
A = (2, 1) e B = (−1, 2). O produto escalar é zero e a área gerada é 5. Mostre que ambos os factos são o mesmo facto.
1. Dois vetores, e o produto escalar é a soma dos produtos coordenada a coordenada. O resultado é zero, o que responde desde logo à geometria.
  
  $A = (21), B = (- 1 2); A \cdot B = 2 (- 1) + 1 (2) = 0$
2. Ambos os comprimentos são iguais, e são-no por uma razão que surgirá no passo 5.
  
  $∣ A ∣ = 2^{2} + 1^{2} = 5 = 2.2361 = ∣ B ∣$
3. O cosseno do ângulo é o produto escalar a dividir pelo produto dos comprimentos. Zero a dividir por qualquer valor é zero, e o arco-cosseno de zero é um ângulo reto.
  
  $cos θ = \frac{0}{5 5} = 0 ⟹ θ = \frac{π}{2} = 1.5708 rad = 9 0^{\circ}$
4. A área gerada é o determinante, que para vetores perpendiculares é simplesmente o produto dos comprimentos — √5 × √5.
  
  $area = ∣ A_{x} B_{y} - A_{y} B_{x} ∣ = ∣2 (2) - 1 (- 1) ∣ = 5 = ∣ A ∣∣ B ∣ sin θ = 5 \cdot 5 \cdot 1$
5. Eis a razão pela qual os comprimentos coincidem. Uma rotação de um quarto de volta troca as coordenadas e inverte um sinal, e aplicá-la a A produz exatamente B.
  
  $R_{9 0^{\circ}} (x y) = (- y x) : (21) \mapsto (- 1 2) = B$
6. A projeção confirma-o pelo outro lado: nada de A se encontra ao longo de B, pelo que subtrair a projeção deixa A inalterado.
  
  $proj_{B} A = \frac{0}{5} B = 0 ⟹ A is entirely its own perpendicular component$
Resposta

Porque B é A rodado um quarto de volta. A rotação (x, y) → (−y, x) envia (2, 1) exatamente para (−1, 2), o que força o ângulo a ser 90° e, portanto, o produto escalar a ser zero. Também preserva o comprimento, pelo que ambos os vetores têm norma √5, e o paralelogramo que geram é um quadrado de lado √5 — área 5, que é o que o painel apresenta. Os produtos escalar e vetorial são as duas metades de um único produto: |A||B| cos θ e |A||B| sin θ. A 90°, o primeiro é nulo e o segundo é tudo, e a projeção de A sobre B é o vetor nulo, o que significa que A não tem qualquer componente ao longo de B. Rode qualquer um dos vetores alguns graus e ambos os números alteram-se, mantendo sempre a soma dos seus quadrados igual a |A|²|B|² = 25.

$A \cdot B = 0, θ = 9 0^{\circ}, area = 5; B = R_{9 0^{\circ}} A$
Produto escalar de 32 e módulo do produto vetorial de 7,3485 6 passos
A = (1, 2, 3), B = (4, 5, 6). O painel apresenta um produto escalar de 32 e uma norma do produto vetorial de 7,3485. Mostre que esses dois números não são independentes. Este é o estado ângulo 3D.
1. Produto escalar e ambos os comprimentos, diretamente das definições. Nenhuma das raízes quadradas é simples, o que é o estado normal das coisas em três dimensões.
  
  $A \cdot B = 1 (4) + 2 (5) + 3 (6) = 32; ∣ A ∣ = 14 = 3.7417, ∣ B ∣ = 77 = 8.775$
2. O ângulo vem a seguir. A 12,9°, estes dois vetores são quase paralelos, o que vale a pena notar antes do passo seguinte: o produto vetorial vai ser pequeno.
  
  $cos θ = \frac{32}{14 77} = \frac{32}{1078} = 0.9746 ⟹ θ = 0.2257 rad = 12.933 2^{\circ}$
3. O produto vetorial é o determinante de uma matriz 3×3 com os vetores unitários na primeira linha. A sua norma é a área do paralelogramo.
  
  $A \times B = 2 (6) - 3 (5) 3 (4) - 1 (6) 1 (5) - 2 (4) = - 3 6 - 3, ∣ A \times B ∣ = 54 = 7.3485$
4. Agora junte os dois produtos. Eleve cada um ao quadrado, some e compare com o produto dos quadrados dos comprimentos.
  
  $∣ A ∣^{2} ∣ B ∣^{2} = 14 \times 77 = 1078; (A \cdot B)^{2} + ∣ A \times B ∣^{2} = 1024 + 54 = 1078$
5. Divida a identidade por |A|²|B|² e a trigonometria surge — a mesma identidade, nas coordenadas de partida.
  
  $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1 re-derived : \frac{1024}{1078} + \frac{54}{1078} = 1$
6. Mais uma linha confirma que o produto vetorial cumpre o que promete: é ortogonal a A e, por simetria, a B.
  
  $A \cdot (A \times B) = 1 (- 3) + 2 (6) + 3 (- 3) = 0 ⟹ the cross product leaves the plane$
Resposta

32² + 7,3485² = 1078 = 14 × 77 = |A|²|B|². Essa é a identidade de Lagrange, e é a identidade trigonométrica fundamental disfarçada: dividindo por |A|²|B|², lê-se cos²θ + sin²θ = 1. Portanto, os produtos escalar e vetorial não são duas medições separadas de duas coisas distintas — são os catetos adjacente e oposto do mesmo triângulo retângulo, e conhecer um deles juntamente com os dois comprimentos determina o outro a menos de um sinal. A consequência prática é que nunca se deve calcular um ângulo apenas a partir do produto escalar quando este se encontra próximo de zero ou de 180°: o cosseno é plano nessa zona, e o produto vetorial, cujo seno varia rapidamente, é a via numericamente superior.

$(A \cdot B)^{2} + ∣ A \times B ∣^{2} = ∣ A ∣^{2} ∣ B ∣^{2} = 1078$

Percurso de aprendizagem

Ajustar uma reta aos dados

Conduz a Geometria dos mínimos quadrados o produto escalar e, com ele, a ideia de projeção — a quantidade de um vetor que se projeta sobre outro.

Referências (1)

The dot product from both directions, and why the two definitions agree: G. Strang, Introduction to Linear Algebra, 5th ed. Wellesley-Cambridge Press, 2016. ISBN 978-0-9802327-7-6.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-06-28

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

Perpendicular - Perpendicular
Paralelo - (2, 3) e (4, 6), em que o segundo é o dobro do primeiro. O produto vetorial dá exatamente 0 e o escalar 26 — a indicação oposta à de Perpendicular.
Ângulo 3D - (1, 2, 3) e (4, 5, 6): produto escalar 32 a dividir pelas normas √14 e √77, logo cos θ = 0,9746 e o ângulo é 12,93°. Quase alinhados. O produto escalar indica-o logo, antes do cálculo do ângulo.
Área - Um vetor de comprimento 3 em x contra um de comprimento 4 em y: o produto vetorial tem norma exatamente 12, o retângulo definido por ambos. O comprimento do produto vetorial é a área.