Grelha da multiplicação cruzada

Ponha os quatro números num quadrado, trace a cruz e circunde aquele que procura. O que sobra diz-lhe o que multiplicar e por que dividir.

Exemplo resolvido — Grelha da multiplicação cruzada

Lido na grelha	250 × 20 ÷ 100
Resultado	50

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Não se lembra de quais dois multiplicar — olha 🖖

É este todo o argumento a favor deste método, e não é um argumento matemático. Há aqui quatro perguntas — achar a parte, o todo, a percentagem, o valor novo — e aprendidas como fórmulas são quatro coisas a manter separadas sob pressão. Aprendidas como este quadrado, são uma só: circunde o número que quer; os dois que não lhe estão ligados pela cruz multiplicam-se, e aquele que está divide. Isso nunca muda, seja qual for o canto que circunde. Um desenho que se consegue reconstruir nas costas de um talão vence uma fórmula que é preciso recordar com exactidão, e é por isso que quem o aprendeu assim continua a usá-lo décadas depois.

O quadrado são dois triângulos semelhantes 🖖

Uma vara de 2 m projeta uma sombra de 3 m; a árvore ao lado projeta 18 m. O mesmo sol, o mesmo ângulo, portanto os dois triângulos têm a mesma forma — e em triângulos equiângulos os lados são proporcionais, o que é Euclides, Elementos VI.4. Com os quatro números no quadrado, a árvore tem 2 × 18 ÷ 3 = 12 m, medida sem sair do chão. Este é também o limite honesto do método. Funciona exatamente quando uma grandeza é um múltiplo fixo de outra, porque é então que os dois triângulos existem. Por trás do T² ∝ a³ de Kepler não está nada disso, e nenhuma disposição de uma grelha 2×2 dará um período orbital.

Durante mil anos, a aritmética acabava aqui 🖖

Brahmagupta registou a regra em 628 d.C., e não como uma equação — nela não há incógnita nenhuma. Nomeou três grandezas, pramāṇa, phala e icchā, com a observação de que duas delas são da mesma espécie e a terceira não. É a condição que o quadrado impõe ao pôr o semelhante debaixo do semelhante. A mesma formulação continua reconhecível séculos depois em fontes árabes e depois nos livros de ábaco italianos — a aritmética dos mercadores do Liber abaci de Fibonacci (1202) e das escolas de cálculo que se lhe seguiram. E manteve-se como o fim do programa, não o princípio: quando em dezembro de 1859 lhe pediram que descrevesse a sua própria escolaridade, Abraham Lincoln escreveu que sabia «ler, escrever e calcular até à regra de três; mas era tudo».

A subida para voltar não é a queda que você sofreu 🖖

Uma queda de 20% não é anulada por uma subida de 20%, e a diferença não é um erro de arredondamento — é uma curva que sobe e se torna vertical. Em uma queda de 50%, você precisa de um ganho de 100% para recuperar; numa queda de 80%, precisa de 400%; numa queda de 90%, 900%. A perda escala linearmente, mas o esforço para recuperar foge para o infinito.

Problemas resolvidos na íntegra

Quanto custam 7 quando 3 maçãs custam 2,4 5 passos
3 maçãs custam 2,4. Calcule quanto custam 7 — e depois determine o que teve de assumir para o fazer.
1. Ambas as linhas do quadrado descrevem a mesma taxa, e essa é a totalidade da afirmação feita. A linha superior é o par fornecido, 3 ao lado de 2,4; a linha inferior é o par pretendido, 7 ao lado da incógnita. Assim, a fração 3/2,4 e a fração 7/D representam o mesmo número.
  
  $\frac{3}{2.4} = \frac{7}{D}$
2. Trabalhar com frações é pouco prático, por isso elimine-as. Multiplique ambos os lados por 2,4 e por D de uma só vez e cada denominador cancela-se no seu próprio lado. O que resta é a cruz: as duas diagonais do quadrado multiplicam-se para dar o mesmo resultado.
  
  $\frac{3}{2.4} = \frac{7}{D} \times 2.4 D ⟹ 3 \times D = 2.4 \times 7$
3. Agora a incógnita já não está na fração. Encontra-se multiplicada pelo número diagonalmente oposto, e os dois números de que necessita são os que estão na diagonal que não lhe toca.
  
  $D = \frac{2.4 \times 7}{3}$
4. 2,4 × 7 = 16,8 e 16,8 ÷ 3 = 5,6.
  
  $D = \frac{16.8}{3} = 5.6$
5. Faça-o também uma vez pelo caminho mais longo, porque isso mostra o que a regra da cruz realmente é. 2,4 ÷ 3 = 0,8 é o preço de uma maçã, e 7 × 0,8 = 5,6. A cruz é a taxa unitária com a divisão adiada para o fim, razão pela qual também funciona quando a taxa unitária é um número menos convenientemente redondo.
  
  $\frac{2.4}{3} = 0.8 ⟹ 7 \times 0.8 = 5.6$
Resposta

A grelha apresenta 5,6. A aritmética é a parte fácil; aquilo em que assenta é que não. A multiplicação em cruz assume que o custo é um múltiplo fixo da quantidade — que a taxa é a mesma para 3 e para 7, e que 0 maçãs custam 0. Se definir o preço das mesmas maçãs em 0,6 pelo saco mais 0,6 por cada uma, 3 continuam a custar exatamente 2,4, pelo que a questão parece inalterada, mas 7 custam agora 4,8 e a grelha fica 0,8 acima do valor real. Uma única linha identifica o problema: dobre uma quantidade e verifique se o outro lado também dobra. Os custos fixos estão em todo o lado — uma taxa de entrega, uma tarifa fixa, uma tarifa mínima — e qualquer um deles invalida o quadrado, mantendo o enunciado da questão completamente inalterado.

$c = 0.8 n ⟹ c (7) = 5.6; c = 0.6 + 0.6 n ⟹ c (3) = 2.4, c (7) = 4.8$
Um aumento de 20% e uma diminuição de 20% aplicados a 200 5 passos
200 aumenta 20% e depois diminui 20%. O aumento regista 120 em relação a 100, resultando em 200 × 120 ÷ 100 = 240. Determine qual o resultado após a diminuição e porque motivo a resposta não é 200.
1. A linha inferior é a alteração escrita como uma razão em relação a 100, e é aqui que o canto é preenchido incorretamente. Uma diminuição de 20% é 80 em relação a 100, e não 20, porque o que resta continua a corresponder a 80% do valor que lá estava. Se colocar 20 nesse canto, o quadrado devolve 48, que é o valor da redução e não o novo preço.
  
  $100 - 20 = 80 ⟹ \frac{A}{240} = \frac{80}{100}$
2. Com o 80 no seu lugar, a cruz funciona exatamente como no caso das maçãs: o novo valor vezes 100 é igual a 240 vezes 80.
  
  $A \times 100 = 240 \times 80 = 19200$
3. Divida por 100: 192, que é 8 abaixo do número de onde tudo começou.
  
  $A = \frac{19200}{100} = 192, 200 - 192 = 8$
4. A causa é que as duas percentagens são medidas em relação a quantias diferentes. O aumento adicionou 40, que é 20% de 200. A diminuição retirou 48, que é 20% de 240. Percentagens iguais, quantias desiguais — e a maior seria sempre a subtração, porque foi retirada do número maior.
  
  $240 - 200 = 40 = 0.20 \times 200, 240 - 192 = 48 = 0.20 \times 240$
5. Na forma de multiplicadores é apenas uma linha, e essa linha explica mais do que a grelha. 1,2 × 0,8 = 0,96, e a multiplicação não depende da ordem, pelo que diminuir primeiro e aumentar a seguir também resulta em 192.
  
  $\frac{120}{100} \times \frac{80}{100} = 1.2 \times 0.8 = 0.96, 200 \times 0.96 = 192$
Resposta

A grelha apresenta 192. Por trás disto está um resultado algébrico que vale a pena memorizar: (1 + p)(1 − p) = 1 − p², pelo que um aumento e uma diminuição iguais deixam-nos sempre aquém do original em p², qualquer que seja a ordem em que ocorram. Aqui p = 0,2, a perda é 0,04 × 200 = 8, e é suficientemente pequena para parecer um arredondamento. Para p = 0,5, o mesmo percurso completo custa 25% de tudo. A diminuição que realmente desfaz um aumento de 20% não é de todo 20% — desfazer significa dividir por 1,2, e 1 ÷ 1,2 = 0,8333, uma diminuição de 16,67%. Trata-se do mesmo quadrado com a incógnita deslocada para o canto inicial: 240 × 100 ÷ 120 = 200.

$(1 + p) (1 - p) = 1 - p^{2}; \frac{1}{1.2} = 0.8333 ⟹ - 16.67%$

Percurso de aprendizagem

Um número para muitos: estatísticas de resumo

Conduz a Média ponderada a assimetria das variações percentuais: uma queda de 50% exige um ganho de +100% para recuperar.

Referências (5)

Why the square works: Euclid, Elements, Book VI, Proposition 4 — "In equiangular triangles the sides about the equal angles are proportional." David E. Joyce's edition, Clark University.
Brahmagupta and the transmission: Jens Høyrup, "Sanskrit-Prakrit Interaction in Elementary Mathematics as Reflected in Arabic and Italian Formulations of the Rule of Three — And Something More on the Rule Elsewhere", in Selected Essays on Pre- and Early Modern Mathematical Practice. Springer, 2019, pp. 131–156.
The date of the Brāhmasphuṭasiddhānta: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, "Brahmagupta", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.
Merchant arithmetic in Latin Europe: Laurence Sigler (trans.), Fibonacci's Liber Abaci: Leonardo Pisano's Book of Calculation. Springer, 2002. ISBN 978-0-387-40737-1.
The Lincoln quotation: Abraham Lincoln, autobiography written for Jesse W. Fell, 20 December 1859 — "I could read, write, and cipher to the Rule of Three; but that was all."

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-11

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Problemas de exemplo

7 maçãs - 3 maçãs custam 2,4 — quanto custam 7? Circunde D e a grelha dá-lhe 7 × 2,4 ÷ 3 = 5,6.
20% de 250 - 20% de 250. Circunde A e leia: 250 × 20 ÷ 100 = 50. O 100 no canto é o todo de que 20 é uma parte.
Uma subida de 20% - 200 sobe 20%. A variação passa a 120 contra 100, e A dá 200 × 120 ÷ 100 = 240.
Ao contrário - Um preço é 240 depois de uma subida de 20% — quanto era antes? Circunde B: 240 × 100 ÷ 120 = 200. Tirar 20% a 240 dá 192, que é a resposta a outra pergunta.
E depois −20% - Agora faça esses 240 descer 20%: 240 × 80 ÷ 100 = 192. Uma subida de 20% seguida de uma descida de 20% deixa-o em 192, e não de volta aos 200 do início.
Recuperar de uma queda de 50% - Um preço de 200 cai 50% para 100. Voltar a 200 exige uma subida de 100% (+100,0%), e não 50% — o dobro do percentual perdido.