Laboratório de Média Ponderada

Defina os valores e pesos de cada grupo. Observe como a média ponderada atua como um ponto de equilíbrio físico enquanto a média simples ignora o tamanho dos grupos.

Exemplo resolvido — Laboratório de Média Ponderada

Média ponderada	63,00
Média das médias	75,00
Erro da média simples	-12,00
Quota do maior grupo	90,0 %

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

A média das médias não é a média 🖖

Calcular a média de duas percentagens de grupos dá a mesma importância a ambos os grupos, independentemente de quantas pessoas haja neles. Quando um grupo representa 90% da população e o outro 10%, dar-lhes o mesmo peso é um erro aritmético.

A média é um ponto de equilíbrio físico 🖖

Na mecânica, o centro de massa é o ponto onde as distâncias ponderadas se equilibram em zero: Σ wᵢ(xᵢ − x̄) = 0. A média funciona exatamente como esse ponto de apoio.

Com dois grupos o erro não ultrapassa a metade da amplitude 🖖

Com dois grupos, por mais extremo que seja o desequilíbrio, a diferença entre a média simples e a média ponderada não pode exceder metade da distância entre o menor e o maior valor. Com tamanhos iguais a diferença é nula; numa divisão de 1/99 ela chega a 49% da amplitude, atingindo a metade apenas no limite. Adicione um terceiro grupo e o limite desaparece, algo que vale a pena verificar na ferramenta em vez de aceitar passivamente: 4 grupos em 0 e 1 em 100 colocam a média simples em 20 e a ponderada um pouco abaixo de 100, uma diferença de 4/5 da amplitude. A metade só existia porque a média simples de DOIS números fica exatamente no meio deles.

Problema resolvido na íntegra

Aumento médio para doze pessoas a ganhar 45 000 que recebem 6% e quarenta e oito a ganhar 72 000 7 passos
Doze pessoas ganhando 45.000 recebem um aumento de 6%. Quarenta e oito ganhando 72.000 recebem 2%. Qual foi o aumento médio? Há duas respostas defensáveis e uma errada, e a errada é justamente a que costuma ser repetida.
1. A tentação é fazer a média das duas taxas. Isso dá a um departamento de doze pessoas o mesmo peso de um de quarenta e oito, que é o erro que a ferramenta acima busca evidenciar — mas anote esse valor mesmo assim, porque 4% é o número que vai parar no comunicado.
  
  $\frac{6% + 2%}{2} = 4.00%$
2. Em vez disso, pondere pelo número de pessoas e cada funcionário contará uma vez. Essa é a resposta honesta para "quanto o funcionário médio recebeu", e já fica mais de um ponto abaixo do número do comunicado.
  
  $\frac{12 ( 6% ) + 48 ( 2% )}{12 + 48} = \frac{72 + 96}{60} = 2.80%$
3. O dinheiro, no entanto, não é pago por cabeça. O segundo departamento é quatro vezes maior e cada pessoa ali ganha mais, logo, ele concentra 86% da folha de pagamento. Calcule qual é o custo real de cada grupo antes do aumento.
  
  $12 \times 45, 000 = 540, 00048 \times 72, 000 = 3, 456, 000$
4. Pondere pela folha de pagamento e você obtém o número que o orçamento realmente sente — a porcentagem que a massa salarial de fato cresceu. O valor cai de novo, pois o aumento maior recaiu sobre o montante menor.
  
  $\frac{540 , 000 ( 6% ) + 3 , 456 , 000 ( 2% )}{3 , 996 , 000} = \frac{32 , 400 + 69 , 120}{3 , 996 , 000} = 2.54%$
5. As duas respostas estão corretas. Elas respondem a perguntas diferentes, e saber de qual delas você precisa depende se você está contando pessoas ou dinheiro. O caixa é o mesmo de qualquer jeito, e ele não se importa com qual média alguém resolve citar.
  
  $32, 400 + 69, 120 = 101, 520$
6. Agora vem a parte que esta ferramenta não tem como mostrar. Todas as médias ponderadas acima presumem que as mesmas pessoas estão lá antes e depois. Pegue vinte funcionários: dez ganhando 30.000 e dez ganhando 60.000 — uma média de 45.000.
  
  $10 \times 30, 000 + 10 \times 60, 000 = 900, 000 \Rightarrow \overset{x}{ˉ} = 45, 000$
7. Demita os dez com os menores salários e corte em 10% os vencimentos de quem sobrou. A média passa a ser 54.000. Ela subiu um quinto, enquanto cada pessoa que continuou empregada perdeu um décimo, e outras dez perderam tudo. Não houve erro de ponderação em lugar nenhum; o conjunto mudou por trás da média. É por isso que a afirmação "o salário médio subiu" tem que ser interpretada prestando atenção em quem continuou sendo contado.
  
  $10 \times (60, 000 \times 0.9) = 540, 000 \Rightarrow \overset{x}{ˉ} = 54, 000 (+ 20%)$
Resposta

2,80% ponderado pelo número de pessoas, 2,54% ponderado pela folha de pagamento e cerca de 101.500 por ano em dinheiro. Os 4% são o único número que está simplesmente errado, e é o que acaba sendo anunciado.

Percurso de aprendizagem

Um número para muitos: estatísticas de resumo

Referências (2)

The weighted mean, the balance-point property, and why averaging averages misleads Freedman, D., Pisani, R. and Purves, R. (2007). Statistics (4th ed.). W. W. Norton — Part II, on averages and the pitfalls of pooling groups of unequal size.
The reversal this tool deliberately does NOT claim Simpson, E. H. (1951). The Interpretation of Interaction in Contingency Tables. Journal of the Royal Statistical Society: Series B, 13(2), 238–241.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.