O Problema de Monty Hall

Um carro e algumas cabras atrás de portas fechadas. Escolha uma porta, deixe o apresentador abrir outras e decida se quer trocar. A página calcula a probabilidade atrás de cada porta com base na regra do apresentador e no que ele fez, simula milhares de jogos para o verificar ou permite que jogue você mesmo. A tabela abaixo mostra a aritmética.

Exemplo resolvido — O Problema de Monty Hall

A priori, cada porta	1/3
Verossimilhança, Porta 1 · sua escolha	1/2
Verossimilhança, Porta 2 · fechada	1
Verossimilhança, Porta 3 · aberta	0 · cabra mostrada
Evidência	1/2
A posteriori, Porta 1 · sua escolha	1/3
A posteriori, Porta 2 · fechada	2/3
A posteriori, Porta 3 · aberta	0

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — O Problema de Monty Hall

A probabilidade de o carro estar atrás de uma determinada porta, após a ação do apresentador, decorre da regra de Bayes: a probabilidade a priori dessa porta, 1 ÷ n, vezes a verossimilhança de o apresentador fazer exatamente o que fez se o carro estivesse lá, dividida pela probabilidade total do que ele fez. A regra do apresentador decide as verossimilhanças. Logo, as mesmas portas abertas podem dar respostas diferentes sob regras diferentes. Com o apresentador habitual, que sabe onde está o carro e abre sempre k portas com cabras escolhidas ao acaso entre elas, manter ganha com probabilidade 1 ÷ n independentemente das portas que ele abra.

O que significa cada símbolo

n: o número de portas
k: o número de portas que o apresentador abre
P(H | C_i): a verossimilhança: a probabilidade de o apresentador fazer o que fez se o carro estiver atrás da porta i
P(C_i | H): a posteriori: a probabilidade de o carro estar atrás da porta i após ver o que o apresentador fez

Trocar ganha duas vezes em três 🖖

Pressione Três portas. Você escolhe a porta 1, que tem uma probabilidade de um em três de esconder o carro. Nada do que este apresentador faz pode alterar isso. Ele abriria a porta 3 metade das vezes se o carro estivesse atrás da sua porta, e quando tem opção escolhe ao acaso, logo a sua jogada não traz novidades sobre a porta 1. Ele abre a porta 3 e mostra uma cabra. A probabilidade de dois em três de o carro estar na porta 2 ou na porta 3 recai agora inteiramente sobre a porta 2, por isso trocar ganha 2 vezes em 3. Pressione 100 portas e tudo fica claro. Você escolheu uma porta em cem, o apresentador abre 98 das restantes para revelar cabras, e a única porta que ele deixa fechada é a que deve escolher, 99 vezes em 100. Em 1990, Marilyn vos Savant deu a resposta das três portas na sua coluna da revista Parade e recebeu milhares de cartas a dizer que estava errada, muitas delas assinadas por pessoas com doutoramento.

A mesma visão dá uma resposta diferente se o apresentador não sabia 🖖

Pressione Apresentador não sabe. Vê exatamente o que viu antes: porta 1 escolhida, porta 3 aberta, uma cabra. Mas este apresentador abriu uma porta ao acaso e por sorte não revelou o carro, e agora manter e trocar ganham ambas 1 vez em 2. A probabilidade depende da regra que produziu o que está a ver e não apenas do que vê. Um apresentador que sabe, que é obrigado a mostrar uma cabra e que escolhe ao acaso quando pode, não lhe revela nada sobre a sua própria porta. Toda a probabilidade que ele retira da porta 3 transita para a porta 2. Um apresentador que abrisse a porta 3 ao acaso teria mostrado lá uma cabra com a mesma frequência se o carro estivesse atrás da porta 1 ou da porta 2, por isso a cabra não favorece nenhuma das duas.

A porta que ele abre pode ser toda a resposta 🖖

Pressione Enviesado abre a 2. Este apresentador abre sempre a porta com cabra de menor número que puder. A porta 2 é a que ele abriria quer o carro estivesse atrás da porta 1 ou da porta 3. Portanto, vê-la não favorece nenhuma, e manter ou trocar valem 1 em 2. Pressione Enviesado abre a 3: ele ignorou a porta 2, o que só faria se o carro estivesse lá, por isso trocar ganha sempre. Feita a média ao longo dos jogos, sendo metade em dois terços das vezes e uma certeza num terço das vezes, trocar continua a ganhar 2 vezes em 3. Monty Hell é o apresentador que só oferece a troca quando você já encontrou o carro, e perante a oferta, trocar perde sempre.

Problema resolvido na íntegra

As três portas, pela regra de Bayes 4 passos
Você escolhe a porta 1. O apresentador, que sabe onde está o carro e abre sempre uma porta com cabra, escolhendo ao acaso quando tem opção, abre a porta 3. Calcule a probabilidade de o carro estar atrás da porta 1 e atrás da porta 2. Pressione Três portas para verificar.

Abrir este problema na ferramenta
1. Antes de ele agir, cada porta é igualmente provável:
  
  $P (C_{1}) = P (C_{2}) = P (C_{3}) = \frac{1}{3}$
2. Qual a probabilidade de ele abrir a porta 3 para cada lugar onde o carro poderia estar?
  
  $P (H_{3} ∣ C_{1}) = \frac{1}{2}, P (H_{3} ∣ C_{2}) = 1, P (H_{3} ∣ C_{3}) = 0$
3. A probabilidade total de ele abrir a porta 3:
  
  $P (H_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 = \frac{1}{2}$
4. Divida a a priori de cada porta vezes a sua verossimilhança por esse total:
  
  $P (C_{1} ∣ H_{3}) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}, P (C_{2} ∣ H_{3}) = \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$
Resposta

O carro está atrás da porta 1 com probabilidade 1/3 e atrás da porta 2 com probabilidade 2/3. A resposta inteira reside no segundo passo: se o carro estiver atrás da porta 2, ele é forçado a abrir a porta 3, e se estiver atrás da porta 1, ele abre a porta 3 apenas metade das vezes; assim, abrir a porta 3 é duas vezes mais provável se o carro estiver atrás da porta 2.

$P (C_{1} ∣ H_{3}) = \frac{1}{3}, P (C_{2} ∣ H_{3}) = \frac{2}{3}$

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.