Declive e Proporção

Dois painéis, uma série. O da esquerda começa o seu eixo no zero; o da direita ajusta-se aos dados. Arraste a altura e observe ambos os ângulos moverem-se enquanto os números permanecem exatamente onde estavam.

Exemplo resolvido — Declive e Proporção

Ângulo médio, a partir do zero	6,1°
Ângulo médio, ajustado	27,4°
Altura que ajusta a 45°	469 px para 351 px de largura

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Um conjunto de números, duas imagens diferentes 🖖

Ambos os painéis desenham os mesmos doze números. O da esquerda começa o seu eixo no zero, o da direita ajusta-se aos dados, e os dois ângulos impressos sobre eles não se assemelham. Arraste o controlo deslizante de altura e observe-os moverem-se juntos enquanto os números por baixo nunca mudam. Esta é toda a premissa: a inclinação não está nos dados. Ela é definida pelo intervalo do eixo y e pela forma da caixa, e ambos foram escolhidos por quem desenhou o gráfico. Portanto, quando alguém diz que um gráfico mostra uma subida acentuada, está a descrever um eixo. O problema resolvido abaixo fixa a questão com valores exatos numa caixa de 600 × 300 estabelecida, onde a mesma linha resulta em 20,1° ou em 3,1° dependendo apenas de onde o eixo começa.

Duas alavancas, e anulam-se exatamente 🖖

O ângulo obedece a uma fórmula: tan θ = declive × (píxeis por unidade y) ÷ (píxeis por unidade x). Isso deixa ao autor duas alavancas, e ambas compensam-se com precisão. Reduza o intervalo y a metade e reduza a altura da caixa a metade, e a linha resulta num ângulo idêntico até nove casas decimais. O que significa que não existe algo como um gráfico sem escala. Todos os gráficos de linhas alguma vez desenhados fizeram esta escolha; a maioria simplesmente não o revelou.

Existe uma resposta defensável, e parece errada 🖖

Como o olho julga ângulos em vez de declives, ele distingue melhor uma inclinação de outra quando os segmentos se situam perto de 45°. Escolher a proporção para colocar aí o segmento típico chama-se ajuste a 45°, e trata-se de aritmética em vez de gosto. Prima o botão e a ferramenta calcula a altura para o seu painel, e imprime a largura utilizada — uma altura ajustada não significa nada por si só, porque o que está a ser escolhido é um rácio. Numa largura de 600 píxeis, esta série requer 818 píxeis de altura. Mais alta do que larga, algo que ninguém desenharia por instinto, e a forma honesta para esses dados. Ser capaz de calcular o número é o que transforma "escolha uma proporção sensata" em algo que se pode verificar.

Problemas resolvidos na íntegra

Ângulo de uma reta que sobe 2 unidades por passo ao longo de 12 pontos 7 passos
Um gráfico tem 600 px de largura e 300 px de altura, o seu eixo y vai de 95 a 125, e a linha sobe 2 unidades por passo ao longo de 12 pontos. Em que ângulo é a mesma efetivamente desenhada?
1. Trabalhe em píxeis por unidade. Doze pontos fazem onze espaços ao longo de 600 píxeis, e o eixo de 30 unidades está distribuído por 300 píxeis.
  
  $\frac{600}{11} = 54.55 \frac{300}{30} = 10$
2. Um passo de 2 unidades de dados é, portanto, 20 píxeis para cima, contra 54,5 píxeis de largura.
  
  $tan θ = \frac{2 \times 10}{54.55} = \frac{20}{54.55} = 0.3667$
3. Esse é o ângulo. Agora abra o eixo para 0–200 e não mude mais nada. A escala vertical desce para 1,5 píxeis por unidade, logo o mesmo passo é de 3 píxeis em vez de 20.
  
  $θ = arctan 0.3667 = 20. 1^{\circ}$
4. De 20,1° para 3,1°, com os idênticos doze números. Qualquer pessoa que descreva a primeira como uma subida acentuada e a segunda como plana está, na verdade, a descrever o eixo.
  
  $\frac{300}{200} = 1.5 \Rightarrow tan θ = \frac{3}{54.55} \Rightarrow θ = 3. 1^{\circ}$
5. Agora a verificação que mostra que as duas alavancas são uma só. Reduza o intervalo a metade para 15 unidades e reduza a altura a metade para 150 píxeis: os píxeis por unidade não mudam, portanto o ângulo também não o fará.
  
  $\frac{150}{15} = 10 = \frac{300}{30}$
6. O ajuste levanta a questão inversa. Que altura coloca o segmento típico a 45°, onde tan θ = 1 e o olho compara melhor os declives? Iguale a subida em píxeis ao avanço em píxeis e resolva para a altura.
  
  $tan θ = 1 \Rightarrow 2 \cdot \frac{H}{30} = 54.55$
7. 818 píxeis de altura contra 600 de largura. Essa é a forma que estes dados pedem, e não se trata de uma forma que alguém desenhe por instinto — razão pela qual devemos calculá-la em vez de a estimar a olho.
  
  $H = \frac{54.55 \times 30}{2} = 818$
Resposta

20,1°, e poderia com a mesma honestidade ter sido 3,1°. O ângulo é fixado pelo intervalo do eixo e pela caixa, e ambos anulam-se exatamente, logo nenhum gráfico existe sem escala. O ajuste a 45° dá uma resposta defensável para esta série: 818 píxeis de altura numa largura de 600 píxeis.
Uma subida e uma descida na razão de 3 para 1, e a forma que a mostra 7 passos
Carregue em Sobe lento, desce rápido. A série sobe ao longo de seis passos e volta a cair em dois, e com a forma predefinida os dois troços parecem-se muito. Encontre a altura que os torna o mais distintos possível e decida depois se o botão Ajustar o painel direito a 45° da própria ferramenta lha dá.
1. Leia os números antes de olhar para a figura. Dezassete pontos, dezasseis passos e apenas dois valores distintos em toda a série: uma subida de 5 doze vezes e uma descida de 15 quatro vezes. Nestes dados não há mais nada.
  
  $100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 115, 100, \dots \Rightarrow + 5 (\times 12), - 15 (\times 4)$
2. Portanto, o passo mediano é 5 e a razão entre os dois troços é exatamente 3. Essa razão é uma propriedade dos números e nenhuma proporção do painel lhe toca, e é precisamente por isso que a figura tem liberdade para mentir a seu respeito.
  
  $median ∣ slope ∣ = 5, \frac{∣ - 15∣}{5} = 3 at every aspect ratio$
3. Atribua ao segmento mediano um declive em píxeis e chame-lhe s. O troço íngreme fica então em 3s, e os ângulos que efetivamente vê são os seus arcos-tangentes. Toda a questão está em escolher s.
  
  $θ_{↑} = arctan s, θ_{↓} = arctan 3 s (s = median pixel slope)$
4. Ajustar a 45° escolhe s = 1, que é o que o botão faz: dimensiona a altura até o segmento mediano assentar nos 45°. O troço de subida fica em 45,000° e o de descida em 71,565°, uma separação de 26,565°.
  
  $s = 1 : 45.00 0^{\circ} and 71.56 5^{\circ}, Δ θ = 26.56 5^{\circ}$
5. Mas a separação nunca foi o que o ajuste maximizava, por isso peça-a diretamente. Derive a diferença entre os dois ângulos e iguale-a a zero. O 3s e o s puxam em sentidos contrários, a álgebra reduz-se a uma única equação do segundo grau e a resposta é 1/√3.
  
  $\frac{d}{d s} (arctan 3 s - arctan s) = \frac{3}{1 + 9 s ^{2}} - \frac{1}{1 + s ^{2}} = 0 ⟹ s^{*} = \frac{1}{3}$
6. Com essa forma, os dois troços saem a 30° e 60°, e a separação é de 30,000°: três graus e meio mais do que dá a forma ajustada, numa caixa com pouco mais de metade da altura.
  
  $s^{*} = 0.5774 : 30.00 0^{\circ} and 60.00 0^{\circ}, Δ θ = 30.00 0^{\circ}$
7. Os dois ângulos são complementares, e isso não é um acaso do número 3. O par mais distinguível fica sempre simétrico em relação aos 45°, ou seja, o que pertence aos 45° é a média geométrica dos dois declives. A regra de Cleveland é essa mesma afirmação para uma série cujos declives têm todos a mesma grandeza.
  
  $arctan \frac{1}{r} + arctan r = 9 0^{\circ}, s^{*} \cdot 3 s^{*} = 1$
Resposta

30° e 60°, a 0,577 da altura ajustada. Seja qual for o número que o cartão Ajustar o painel direito a 45° dê para o seu painel, multiplique-o por 0,577 e a assimetria desta série ficará tão visível quanto é possível.

O ajuste continua a ser a predefinição certa e isto não é um argumento contra ele. Maximiza a capacidade do olho para distinguir um declive de outro num conjunto inteiro deles, usando a mediana como representante do caso típico, e numa série com muitos declives diferentes é isso que se deve fazer. Esta série tem dois. Quando um conjunto de dados contém um número reduzido de declives distintos e a pergunta é se eles diferem, a mediana não representa ninguém e a grandeza que importa é a média geométrica: √(5 × 15) em vez de 5.

Vale a pena saber, porque a série que tornou o ajuste famoso tem esta forma. Desenhado alto, o registo das manchas solares parece uma fila de bossas simétricas; desenhado baixo e largo, como Cleveland o desenhou, os ciclos sobem visivelmente mais a pique do que descem. A proporção do painel era toda a diferença. A aritmética acima diz quanto o achatar, e diz que, quando uma série tem dois declives em vez de muitos, a resposta honesta é ainda mais baixa do que a regra que ele escreveu.

$H^{*} = \frac{H _{banked}}{r} : r = 3 \Rightarrow 0.577 H_{banked}$

Referências (2)

Banking to 45 degrees: the aspect ratio the tool computes, and why that angle Cleveland, W. S., McGill, M. E. and McGill, R. (1988). The Shape Parameter of a Two-Variable Graph. Journal of the American Statistical Association, 83(402), 289–300. doi:10.1080/01621459.1988.10478598
Where the perceptual claim underneath it comes from Cleveland, W. S. (1993). Visualizing Data. Hobart Press. — on judging slope, and on aspect ratio as a parameter of the display rather than of the data.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-09-03

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Problemas de exemplo

Subida constante - Uma reta perfeita, que sobe 2 a cada passo. Recortada ao intervalo dos dados, parece quase cinco vezes mais inclinada do que quando parte do zero. São os mesmos doze números, mas os dois ângulos mudam quando se redimensiona a janela.
Plano, com ruído - Nada está a acontecer aqui — os valores vagueiam dentro de uma faixa com quatro unidades de largura. Traçada a partir do zero a linha parece plana. Ajustada ao próprio intervalo dos dados, a mesma oscilação preenche o painel e lê-se como uma subida, e as duas leituras de ângulo estão longe de ser semelhantes. Nenhum dos ângulos é uma propriedade dos dados: ambos dependem da largura do painel.
Sobe lento, desce rápido - Esta curva sobe devagar e desce depressa, numa proporção exata de três para um. A diferença aparente depende do enquadramento: se o achatar, a descida parece três vezes mais íngreme; se o inclinar a 45°, a mesma descida parece 1,6 vezes mais íngreme. A assimetria é real, mas o valor usado para a exprimir não é.