Explorador da Lei de Benford

Escolha um conjunto de números e compare os seus primeiros dígitos com a lei de Benford. Depois, mude as unidades e observe que conjuntos se alteram.

Exemplo resolvido — Explorador da Lei de Benford

Qui-quadrado	0,2
Desvio absoluto médio	0,08%
Pior dígito	7, desvio de 0,2%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

A razão de o primeiro dígito ser 1 em quase um terço das vezes 🖖

Os nove dígitos não são equiprováveis porque o primeiro dígito não se distribui de forma uniforme pelos valores. Distribui-se, sim, pelos logaritmos. Passar de 1 para 2 implica duplicar a grandeza. Passar de 8 para 9 representa um aumento de apenas 12,5%. Uma quantidade que cresça por multiplicação passa assim seis vezes e meia mais tempo com um 1 inicial do que com um 9 inicial. O valor log₁₀(2) = 0,301 corresponde exatamente à fração de uma década que o intervalo de 1 a 2 ocupa. Todos os números da lei derivam desta única expressão: log₁₀(1 + 1/d), a qual resulta em 30,1% para 1 e 4,6% para 9.

Mude as unidades e descubra que dados estariam sempre em conformidade 🖖

Multiplicar todos os valores por uma constante desloca todos os logaritmos na mesma proporção. Um conjunto que já distribua os seus logaritmos uniformemente não sofre qualquer alteração. Pode testar essa propriedade aqui em vez de apenas acreditar nela. Pegue nos números de Fibonacci. Converta-os como se fossem centímetros a passar para polegadas, e depois milhas a passar para quilómetros. Obterá 30,1%, 30,1% e 30,0%, e o qui-quadrado nunca sai do intervalo de 0,03 a 0,19. Faça agora o mesmo para as estaturas. Em centímetros, todos os valores começam por 1. Em polegadas, 86% começam por 6. Em pés, 96% começam por 5. São as mesmas pessoas. Há um detalhe que deve conhecer antes de experimentar. Multiplicar por uma potência de dez apenas desloca a vírgula decimal e nada mais. Logo, ×100 deixa todos os conjuntos de dados exatamente onde estavam, inclusive os que falham o teste. Esse fator encontra-se no grupo de controlo de forma propositada.

O intervalo tem de fechar numa década, o que os dados reais nunca fazem 🖖

O conselho habitual de que a lei necessita de dados que abranjam várias ordens de grandeza é correto, mas a justificação dada não o é. Se distribuir valores uniformemente por logaritmo ao longo de exatamente uma década, eles encaixam perfeitamente na lei. Regista-se 30,2% de 1 inicial e um qui-quadrado de 11,3 em cinco mil valores. Isto não é uma aproximação. Logaritmos uniformes ao longo de uma década inteira formam uma distribuição de Benford por definição. Duas, três, quatro, seis e dez décadas geram qui-quadrados de 8,1, 5,0, 4,8, 5,2 e 7,5. Tudo perfeitamente normal. Defina agora o intervalo para 1,5 décadas. O qui-quadrado sobe para 456 e a lei é rejeitada liminarmente, num intervalo mais amplo do que aquele que foi aprovado. A meia década sobrante contabiliza os seus dígitos baixos duas vezes e não há nada que o compense. O que salva os dados reais é que essa sobra deixa de ter importância à medida que o intervalo cresce. A penalização da meia década desce de 4707 aos 0,5 para 456 no 1,5, passando depois a 191, 101, 57 e 32 aos 6,5. As medições reais nunca param de forma exata numa potência de dez. O que as várias ordens de grandeza realmente oferecem é um final irregular que se torna demasiado pequeno para ter impacto.

Problemas resolvidos na íntegra

Contagem esperada e contribuição qui-quadrado para 24 de 200 despesas 6 passos
Um auditor seleciona 200 declarações de despesas e descobre que 24 começam pelo dígito 1. Este resultado é consistente com a lei de Benford? Calcule a contagem esperada, a contribuição desse dígito específico para o qui-quadrado e aquilo que o teste global precisaria de indicar antes de tomar qualquer medida.
1. Comece pelo valor que a lei prevê. A probabilidade de um 1 inicial é log₁₀(1 + 1/1) = log₁₀ 2 = 0,30103. Logo, para 200 declarações, a contagem esperada é 0,30103 × 200.
  
  $P (d = 1) = lo g_{10} (1 + \frac{1}{1}) = lo g_{10} 2 = 0.30103$
2. Isto equivale a 60,2 declarações. O auditor encontrou 24. O défice é de 36,2 declarações. Trata-se de um défice no dígito que a lei determina que seja, por larga margem, o mais comum.
  
  $E_{1} = 0.30103 \times 200 = 60.21 claims$
3. O qui-quadrado soma um termo por dígito, sendo cada um deles (observado − esperado)² ÷ esperado. Para o 1 inicial, esse termo é (24 − 60,21)² ÷ 60,21.
  
  $χ^{2} = d = 1 \sum 9 \frac{( O _{d} - E _{d} ) ^{2}}{E _{d}}$
4. (−36,21)² corresponde a 1310,9, e a divisão por 60,21 resulta em 21,77. O teste global possui oito graus de liberdade e o seu valor crítico a 5% é 15,507. Apenas este dígito foi suficiente para empurrar a estatística para a zona de rejeição.
  
  $\frac{( 24 - 60.21 ) ^{2}}{60.21} = \frac{1310.9}{60.21} = 21.77$
5. Isto significa que a aritmética está concluída, mas a dedução não. O qui-quadrado cresce com a amostra. As mesmas proporções em 2000 declarações gerariam um termo dez vezes superior. Um vasto e honesto conjunto de dados pode falhar o teste devido a um desvio que ninguém rotularia de fraude. É por este motivo que os auditores citam antes o desvio absoluto médio, que não cresce com n.
  
  $MAD = \frac{1}{9} d = 1 \sum 9 \frac{O _{d}}{n} - P (d)$
6. A leitura rigorosa é, portanto, que estas 200 declarações não seguem a distribuição dos primeiros algarismos prevista pela lei de Benford. Já aquilo que isto permite concluir é uma questão a que os algarismos não podem responder: uma empresa com um limite de aprovação de £999 acumula uma profusão de valores começados por nove por uma razão perfeitamente legítima, tal como uma empresa que reembolsa um valor diário fixo.
Resposta

A expectativa aponta para 60,2 declarações iniciadas por 1. Foram encontradas 24. Esse dígito isolado contribui com 21,77 para uma estatística cujo valor crítico a 5% é 15,507. O teste resulta numa rejeição, mas rejeitar não equivale a detetar. A lei de Benford atua como um filtro que indica ao auditor para onde olhar. Todas as publicações que a utilizam com essa finalidade, desde o trabalho fiscal de Mark Nigrini nos anos 1990, tratam uma falha como motivo para investigar um processo e não como uma conclusão definitiva. A ferramenta apresenta o desvio absoluto médio ao lado do qui-quadrado por esta exata razão. Mude para um conjunto de dados de 5000 e veja o qui-quadrado subir em flecha enquanto o desvio mal se altera.
Um qui-quadrado de 0,2 e a razão de ser esse o suspeito 6 passos
Carregue a predefinição Fibonacci. O qui-quadrado marca 0,2 contra um valor crítico a 5% de 15,507, pelo que a sequência passa com folga. Calcule a probabilidade de um ajuste tão bom e decida depois o que um qui-quadrado tão pequeno deveria dizer a um auditor.
1. Comece por comparar as contagens. Mil números de Fibonacci colocam 301 valores no escalão do 1 inicial contra os 301,03 que a lei pede, e a maior discrepância das nove casas está no dígito 7: 56 observados contra 57,99 esperados. Isto não é ficar perto. É quase exato.
  
  $O = (301, 177, 125, 96, 80, 67, 56, 53, 45), E = (301.0, 176.1, 124.9, 96.9, 79.2, 67.0, 58.0, 51.2, 45.8)$
2. Um qui-quadrado com oito graus de liberdade tem média 8 e desvio-padrão 4. O cartão arredonda para 0,2 e o valor por trás dele é 0,1695, dois desvios-padrão abaixo da média de uma estatística que não pode descer abaixo de zero.
  
  $χ^{2} = 0.1695 on 8 df, E [χ_{8}^{2}] = 8, sd = 16 = 4$
3. Aqui a cauda inferior tem forma fechada, porque com oito graus de liberdade a gama incompleta reduz-se a quatro termos. Não é precisa tabela nenhuma.
  
  $P (χ_{8}^{2} \leq x) = 1 - e^{- x /2} (1 + \frac{x}{2} + \frac{( x /2 ) ^{2}}{2} + \frac{( x /2 ) ^{3}}{6})$
4. Introduzindo 0,1695 obtém-se 2,0 × 10⁻⁶. Cerca de uma amostra em meio milhão se ajusta assim tão bem à lei. Mude o conjunto de dados para a amostra log-uniforme do mesmo tamanho, que é o próprio mecanismo sorteado ao acaso, e o cartão marca 5,6.
  
  $P (χ_{8}^{2} \leq 0.1695) = 2.0 \times 1 0^{- 6} (1 in 498, 235)$
5. A explicação é que os números de Fibonacci nunca foram uma amostra. log₁₀ Fₖ é k log₁₀ φ menos uma constante, pelo que os primeiros dígitos são decididos pelas partes fracionárias dos múltiplos de 0,2089876…, e esse número é irracional. Weyl provou em 1916 que uma sucessão destas se distribui uniformemente.
  
  $lo g_{10} F_{k} = k lo g_{10} φ - lo g_{10} 5 + o (1), lo g_{10} φ = 0.2089876 \dots \in / Q$
6. E distribui-se melhor do que o acaso consegue. As lacunas deixadas por uma rotação deste tipo encolhem como log N sobre N, ao passo que N sorteios aleatórios deixam lacunas da ordem de 1/√N, e o qui-quadrado vai com N vezes o quadrado dessa lacuna. Mil termos determinísticos ganham por isso com larga margem a mil termos aleatórios, e 0,17 é o aspeto dessa margem.
  
  $D_{N} = O (\frac{l o g N}{N}) vs O (N^{- 1/2}), χ^{2} \sim N D_{N}^{2}$
Resposta

Cerca de uma em 500.000 sob qualquer modelo aleatório, o que transforma o bom ajuste na prova de que estes dados nunca foram amostrados. Um teste de qui-quadrado faz uma única pergunta: estarão os dados mais longe da lei do que o acaso permite? Não tem maneira de dizer que os dados estão demasiado perto, e a linha do veredito diz o mesmo para 0,17 e para 8.

Para um auditor isso inverte a leitura habitual. Um livro de contas que reproduz Benford com duas casas decimais tem um problema, e é o problema que R. A. Fisher levantou em 1936 a propósito das ervilhas de Mendel, onde a concordância com a teoria era mais estreita do que a amostragem consegue produzir. Quem leu sobre a lei de Benford e gera os dígitos a partir dela deixa esta assinatura, e ela vê-se melhor do que a fraude para a qual o teste foi construído: a contabilidade honesta chega com os bordos irregulares de uma amostra real, e mil números de Fibonacci não.

$χ^{2} = 0.17 ⟹ not a sample; {k lo g_{10} φ} equidistributed (Weyl, 1916)$

Referências (3)

The observation, made fifty-seven years before the law was named after somebody else: S. Newcomb, "Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers." American Journal of Mathematics 4 (1881), p. 39.
Why the law is scale-invariant, which is the property the unit switch on this page tests: T. P. Hill, "A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law." Statistical Science 10 (1995).
The paper the law is named for, and the one that first checked it against real data: F. Benford, "The Law of Anomalous Numbers." Proceedings of the American Philosophical Society 78 (1938), 551-572.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-27

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Problemas de exemplo

Fibonacci - Os primeiros mil números de Fibonacci. Destes, 30,1% começam com 1 e o qui-quadrado é 0,2, o que constitui a maior aproximação à lei possível para mil números. Não houve qualquer ajuste. A sequência é apenas o que é.
Estaturas em cm - Duas mil estaturas de adultos em centímetros. Todas elas começam por 1, porque os adultos medem entre cerca de 145 cm e 195 cm e nada nesse intervalo começa por outro algarismo. Trata-se da violação máxima possível, não de um desvio ligeiro.
As mesmas, em polegadas - As mesmas duas mil pessoas medidas em polegadas. Agora, 86% dos valores começam com 6. As pessoas não mudaram e as suas estaturas também não. Apenas a unidade mudou, e o teste serve precisamente para isso.
Números inventados - Mil números semelhantes aos que as pessoas produzem quando lhes pedem para inventar dados. Os dígitos distribuem-se de forma bastante uniforme, sendo o 1 a escolha menos frequente. O qui-quadrado é 502. É por esta razão que o teste se aplica a declarações de despesas.
Intervalo de meia década - Cinco mil valores distribuídos uniformemente ao longo de meia década, de 1 a cerca de 3,2. Desses valores, 61% começam com 1 e o qui-quadrado é 4707. Alargue o intervalo para uma década completa e o mesmo gerador segue a lei à risca. Aumente-o para 1,5 e voltará a falhar. Esta é a parte que nunca ninguém refere.