O Dilema do Prisioneiro e o Torneio de Axelrod

Defina as quatro recompensas. A ferramenta encontra a melhor resposta a cada uma das jogadas do adversário, executa um torneio de todos contra todos com oito estratégias e mostra o que cada uma ganha por ronda à medida que o encontro se prolonga.

Exemplo resolvido — O Dilema do Prisioneiro e o Torneio de Axelrod

O jogo	Dilema do prisioneiro
Se eles cooperarem	Trair
Se eles traírem	Trair
Melhor contra ambas as jogadas do adversário	Trair
O que o equilíbrio paga a cada um	1
A condição para repetir	Yes
Estratégia	Olho por Dois Olhos
Por ronda	2,564

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — O Dilema do Prisioneiro e o Torneio de Axelrod

Um jogo constitui um dilema do prisioneiro quando os seus quatro ganhos satisfazem duas desigualdades. A condição T > R > P > S faz da traição a melhor resposta a qualquer jogada. Como consequência, ambos os jogadores traem e ficam em pior situação do que se tivessem cooperado. Por sua vez, 2R > T + S torna a cooperação mútua mais vantajosa para a dupla do que a exploração alternada. É isto que dá verdadeiro interesse ao jogo repetido, impedindo que se reduza a uma mera corrida à alternância.

O que significa cada símbolo

T: a tentação: o que recebe ao trair um cooperador
R: a recompensa: o que ambos recebem ao cooperar
P: a punição: o que ambos recebem ao trair
S: o incauto: o que recebe ao cooperar com um traidor

O vencedor do torneio nunca ganhou um encontro 🖖

Observe a última coluna. Trair sempre ganha seis dos seus oito encontros em todas as contagens de rondas de 1 a 200, e a partir da sétima ronda termina em último. Olho por Dois Olhos não vence nenhum dos seus oito em qualquer contagem de rondas, e ao longo das 200 rondas que Axelrod utilizou termina em primeiro. Veja como isso acontece. Olho por Dois Olhos espera por uma segunda traição antes de retaliar, de modo que Trair sempre lhe tira cinco pontos duas vezes e depois passa 198 rondas a recolher um ponto de um jogador que deixou de cooperar: 5 + 5 + 198 = 208, contra 0 + 0 + 198 = 198. Vence esse encontro por dez e isso não importa, porque a tabela paga um total e não uma margem. Enquanto Trair sempre ganhava ali 1,04 pontos por ronda, as cinco estratégias que iniciam a cooperar acumulavam três por ronda umas das outras. Robert Axelrod, cujo torneio de 1980 deu a isto o seu modelo e os seus pagamentos, escreveu a conclusão em forma de conselho. Não seja invejoso. Não se joga contra o adversário, joga-se contra todo o grupo.

Quatro rondas fazem toda a diferença 🖖

Arraste o controle de rodadas para um. A estratégia Sempre Trair lidera a tabela com 4,000 pontos por rodada e todas as estratégias que abrem cooperando ficam abaixo dela. Duas rodadas: ainda em primeiro, com 3,250. Três: 2,833, ainda em primeiro. Com quatro ela cai para terceiro e nunca mais lidera. Retorne o controle para duzentos e a linha vertical tracejada no gráfico marcará a primeira rodada em que a liderança mudou de mãos. Ela muda de mãos mais onze vezes após a rodada vinte, a última delas na rodada 48, e a Olho por Dois Olhos a mantém a partir dali. Percorra todos os conjuntos de ganhos em números inteiros de 0 a 10 que criam um dilema genuíno, 250 deles, e uma estratégia amigável assume a liderança em 237: geralmente até a rodada 4, no máximo até a rodada 20, e em 13 deles nunca dentro de 200 rodadas. O jogo em si não mudou. Cada rodada dele ainda possui a mesma jogada dominante e o mesmo equilíbrio. O que a quarta rodada traz é uma fatura, pois uma traição agora custa algo mais tarde, e quatro rodadas são tempo suficiente para essa conta chegar.

Dois erros em cem causam quase tanto dano quanto vinte 🖖

Com o ruído desativado, 62,2% de todas as jogadas são de cooperação. Desloque o controle para 2%, de modo que duas jogadas em cem resultem no oposto do que a estratégia pretendia, e a cooperação cai para 50,2%. Depois continue: 50,6% com 4%, 50,2% com 10%, 50,0% com 20%. Dez vezes a taxa de erro, e nada mais se perde. O que dois por cento rompem, continua rompido. A estratégia Rancoroso exibe esse rompimento da forma mais brutal, porque nunca perdoa: uma traição do oponente, em qualquer momento de 200 rodadas, encerra a cooperação naquela partida para sempre, e ela cai do segundo para o quinto lugar. A Olho por Olho Generoso, que perdoa uma traição em três, sobe para segundo. Sem o ruído ela fica apenas em terceiro, que é o preço do perdão quando ninguém precisa dele.

Problema resolvido na íntegra

Qual deve ser a duração da relação? A ferramenta joga um número fixo de rodadas, e nenhuma das suas oito estratégias atua de forma diferente à medida que o fim se aproxima. Um jogo repetido real termina em um momento impossível de prever, portanto a questão não é quantas rodadas há, mas qual a probabilidade de haver mais uma.

Abrir este problema na ferramenta
1. Seja w a probabilidade de o encontro continuar após esta ronda. Contra Rancoroso, que pune uma traição para sempre, cooperar eternamente paga R a cada ronda, e essa série geométrica soma R sobre 1 menos w.
  
  $R + w R + w^{2} R + \dots = \frac{R}{1 - w}$
2. Trair uma vez paga T nesta ronda e P em todas as seguintes, porque Rancoroso nunca cede.
  
  $T + w P + w^{2} P + \dots = T + \frac{w P}{1 - w}$
3. A cooperação sustenta-se quando o primeiro é pelo menos igual ao segundo. Multiplique tudo por 1 menos w e a série desaparece, deixando uma inequação em w.
  
  $\frac{R}{1 - w} \geq T + \frac{w P}{1 - w} ⟺ R \geq T - w (T - P)$
4. Com os pagamentos de Axelrod, isso é dois sobre quatro. O encontro precisa de uma probabilidade de pelo menos metade de continuar, o que corresponde a uma duração esperada de duas rondas.
  
  $w \geq \frac{T - R}{T - P} = \frac{5 - 3}{5 - 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \frac{1}{1 - w} = 2$
5. Agora o mesmo desvio contra Olho por Olho, que pune por uma ronda e depois perdoa: o desviante recebe T, depois S e a seguir R novamente para sempre. O limiar sobe para dois terços, uma duração esperada de três rondas.
  
  $R (1 + w) \geq T + w S ⟺ w \geq \frac{T - R}{R - S} = \frac{5 - 3}{3 - 0} = \frac{2}{3}, \frac{1}{1 - w} = 3$
6. Aqui, o punidor mais tolerante precisa de uma relação mais longa, e o motivo está na linha acima: T − P é a maior diferença. Essa não é uma regra geral. Nos 250 dilemas de números inteiros que esses quatro parâmetros permitem, ela se mantém em 50 e se inverte em 130 — defina T como 4 e P como 2, e a Olho por Olho precisará apenas de um terço.
  
  $T - P = 4 > R - S = 3 ⟹ \frac{T - R}{T - P} < \frac{T - R}{R - S}$
Resposta

Contra um punidor que nunca perdoa, a cooperação é estável assim que w atinge (T − R)/(T − P) = 1/2, uma expectativa de duas rondas. Contra um que perdoa após uma única ronda, são necessários (T − R)/(R − S) = 2/3, uma expectativa de três. O cruzamento da própria ferramenta é 4, e a diferença entre dois e quatro é o grupo: o limiar pergunta quando cooperar supera trair entre dois jogadores, enquanto a tabela pergunta quando a média de um cooperador contra oito adversários supera a de um traidor, e três desses oito traem primeiro. Duas rondas compram um par estável. Quatro compram uma liga.

$w^{*} = \frac{T - R}{T - P} = \frac{1}{2} vs \frac{T - R}{R - S} = \frac{2}{3}$

Percurso de aprendizagem

A melhor resposta e o que acontece quando ninguém a calcula

Referências (4)

The tournament this tool reproduces, reported by the man who ran it — the source for the 1980 date, for the fourteen entries plus RANDOM, and for the nice/not-nice split: R. Axelrod, "Effective Choice in the Prisoner's Dilemma." Journal of Conflict Resolution 24(1), 1980, pp. 3–25.
"Don't be envious", and the argument that a strategy losing every match can still win the tournament: R. Axelrod, The Evolution of Cooperation. Basic Books, New York, 1984.
The 1950 RAND experiment the game came out of, written up by one of the two men who invented it. Albert Tucker gave it the prisoners and the name; this is the experiment: M. M. Flood, "Some Experimental Games." Management Science 5(1), 1958, pp. 5–26.
Why the winner changes when moves come out wrong, and where the one-in-three forgiveness rate this tool gives Generous Tit for Tat comes from: P. Molander, "The Optimal Level of Generosity in a Selfish, Uncertain Environment." Journal of Conflict Resolution 29(4), 1985, pp. 611–618.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.