A Tragédia dos Comuns

Defina quantas pessoas partilham o recurso. A ferramenta calcula o melhor esforço individual de cada utilizador, compara o total com o que um proprietário único escolheria e revela o custo dessa diferença.

Exemplo resolvido — A Tragédia dos Comuns

Esforço de cada pessoa	3,64
Esforço total	36,36
O que um proprietário usaria	20,00
Esforço em relação ao ideal	1,82×
Valor total criado	132,2
O que um proprietário criaria	400,0
Valor remanescente	33,1%
Ganho de cada pessoa	13,22

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — A Tragédia dos Comuns

Aqui, um recurso comum é um bem único que várias pessoas exploram em simultâneo. Nele, o retorno do nosso próprio esforço diminui à medida que o esforço coletivo sobe. Cada indivíduo escolhe o nível de esforço que mais lhe convém, tendo em conta as ações dos restantes. É um equilíbrio de Nash. A tragédia é a diferença entre este resultado e a escolha que um único proprietário de todo o recurso faria. Não é preciso que alguém seja ganancioso ou insensato para que ela surja. Ocorre apenas porque cada pessoa guarda para si a totalidade da sua captura, suportando apenas uma fração do custo da sobrecarga.

O que significa cada símbolo

n: quantas pessoas exploram o recurso
E: esforço total, a soma do esforço de todos
a, b: a pastagem: a é o que a primeira unidade de esforço rende, b a rapidez com que esse retorno cai

Pressupõe: Utilizadores idênticos que decidem no mesmo instante, sem direitos de propriedade, sem acordos e sem forma de se compensarem mutuamente. São estas as premissas que Elinor Ostrom dedicou uma carreira a demonstrar que as comunidades reais quebram de propósito. A tragédia nesta página é o que acontece quando não o conseguem fazer.

Um único proprietário não sofre qualquer tragédia 🖖

Prima Um proprietário. O esforço é de 20,00 unidades, o ideal é de 20,00 unidades e o rácio é exatamente 1,00×. Um pastor solitário na pastagem de Hardin toma a decisão exata. Não o faz por virtude. Fá-lo porque cada folha de erva consumida pela sua vaca adicional é uma folha que falta às suas outras vacas. A totalidade do custo da saturação recai sobre quem a causa. Pressione agora Dois pastores e observe o primeiro cartão. Cada um utiliza 13,33 unidades, o que é menos do que o proprietário único usou. Ninguém trabalha mais a nível individual. No entanto, cada um suporta agora apenas metade do dano que causa, mantendo todo o benefício. Consequentemente, cada um utiliza mais de metade de 20,00, elevando o total para 26,67. Este é o mecanismo completo. Repare no que está ausente: ninguém aqui é ganancioso, imediatista ou mal informado. Cada indivíduo aplica o seu melhor esforço em função das ações dos restantes. A tragédia resulta do número de decisores, não do seu caráter.

O sobreuso detém-se no dobro; o dano não tem limite 🖖

Arraste o cursor e observe os dois rácios a divergir. O esforço total passa por 1,00×, 1,33×, 1,50×, 1,60×. A fórmula é 2n/(n+1), pelo que sobe em direção a 2 sem nunca lá chegar. Vinte e quatro pessoas exploram o pasto com uma intensidade 1,92× superior à ideal, enquanto mil pessoas chegariam a 1,998×. A proporção do valor que sobrevive conta uma história diferente: 100,0%, depois 88,9%, 75,0%, descendo para 33,1% com dez pessoas e 15,4% com vinte e quatro. Como a fórmula é 4n/(n+1)², o valor cai em direção a zero sem qualquer piso. Mil pastores explorariam o recurso quase duas vezes mais do que um proprietário único, mas deixariam apenas 0,4% do seu valor original. Importa definir o limite com exatidão. À medida que o grupo cresce, o esforço total aproxima-se de 40 unidades, e 40 é precisamente o esforço que anula todo o valor deste pasto. A tragédia converge para o ponto onde deixa de haver algo pelo qual lutar.

A qualidade do pasto é indiferente para os rácios 🖖

Prima Dez pastores e depois Um pasto mais rico. Este segundo é um recurso distinto a todos os níveis. A primeira unidade de esforço rende 90 em vez de 50, a saturação ocorre ao dobro da velocidade e o custo do esforço desce de 10 para 5. Todos os números com unidades se alteram. Os dois rácios, porém, mantêm-se: 1,82× e 33,1%, exatamente como antes. Os passos 5 e 6 dos cálculos surgem idênticos, carácter a carácter, porque 2n/(n+1) e 4n/(n+1)² não contêm a, b nem c. A parcela do bem comum que é desperdiçada não depende do seu valor intrínseco, da rapidez com que se degrada ou do custo da sua exploração, desde que o retorno de uma unidade de esforço supere o seu custo. Depende sim do número de pessoas com poder de decisão. É por isso que enriquecer um recurso comum não o salva. A fração destruída não se altera. Como o valor depende do quadrado do excedente, duplicar o valor do pasto quadruplica o que é desperdiçado. O pasto simples perde 267,8 dos seus 400,0. Um pasto com o dobro do excedente desperdiça 1.071,1 dos seus 1.600,0.

Problema resolvido na íntegra

O que colmataria a diferença? A ferramenta ilustra a sobre-exploração e detém-se nesse ponto, uma vez que nenhum dos intervenientes tem o poder de escolher aplicar um imposto. Calcule a taxa por unidade de esforço capaz de reconduzir o grupo ao ideal. Depois, observe quem acaba por ficar com o dinheiro.

Abrir este problema na ferramenta
1. Aplique uma taxa t sobre cada unidade de esforço. As regras do jogo mantêm-se, alterando-se apenas o custo para cada pessoa, que passa a ser c + t. O excedente por unidade desce assim de a − c para a − c − t.
  
  $π_{i} = e_{i} (a - b E) - (c + t) e_{i}, s_{t} = a - c - t$
2. O equilíbrio é dado pela mesma fórmula, mas com o excedente reduzido. Iguale esse total ao ideal que um planeador escolheria.
  
  $E^{*} (t) = \frac{n s _{t}}{b ( n + 1 )} =! \frac{a - c}{2 b} = E^{opt}$
3. Corte o excedente que surge em ambos os lados e resolva a equação. A taxa depende apenas do número de pessoas que partilham o bem comum.
  
  $\frac{n ( s - t )}{n + 1} = \frac{s}{2} ⟹ t = s \cdot \frac{n - 1}{2 n}$
4. Com dez pastores nesta pastagem, a taxa é de 18 por unidade. Confirme: o excedente após imposto é 22, logo cada pessoa aplica 22/11 = 2 unidades. Dez deles aplicam 20, exatamente o ideal, e o pasto volta a render a totalidade dos 400.
  
  $t = 40 \cdot \frac{9}{20} = 18, s_{t} = 22, e^{*} = \frac{22}{11} = 2, E^{*} = 20$
5. Analise agora o que os pastores retêm. Pagam 28 por unidade sobre 20 unidades. Dos 600 que geram, ficam com 40. A taxa arrecada 360.
  
  $600 20 (50 - 20) - 560 28 \cdot 20 = 40 vs t E = 18 \cdot 20 = 360$
6. Sem regulação, esses mesmos dez mantinham 132,2 no total, ou seja, dez parcelas de 13,22. O imposto triplicou a produção do pasto e reduziu a um terço o rendimento de quem o trabalha.
  
  $40 < 132.23, 40 + 360 = 400 = Π^{opt}$
Resposta

A taxa corretiva é t = (a − c)(n − 1)/(2n). É zero para um proprietário único, o que corresponde à afirmação do bloco 1. O valor sobe em direção a metade do excedente com o crescimento do grupo: 10 para dois pastores, 18 para dez, 19,17 para vinte e quatro. Restaura o esforço eficiente com exatidão, para qualquer n. Não resolve, contudo, o problema dos pastores a menos que os 360 lhes sejam devolvidos. O valor total sobe de 132,2 para 400,0, mas a quota deles cai de 132,2 para 40,0. Devolva a receita em partes iguais e cada um dos dez fica com 40,0 onde antes tinha 13,22. Esta é a versão que funciona. É por este motivo que o trabalho de campo de Elinor Ostrom é vital numa página como esta. Os recursos comuns que sobreviveram durante séculos não alcançaram a eficiência através de impostos cobrados por uma autoridade externa. Foram governados por regras que os próprios utilizadores redigiram, monitorizaram e impuseram. Repare ainda no que o modelo ignora por definição. Como não existe conversação, trata-se de um jogo simultâneo de ronda única. Os pastores que concordam em reduzir o esforço continuam a enfrentar a mesma condição de primeira ordem no instante da decisão. Falta aqui um compromisso vinculativo ao qual possam ser sujeitos. Essa ausência, e não a aritmética, é o que torna a tragédia inevitável.

$t = \frac{( a - c ) ( n - 1 )}{2 n} n \to \infty \frac{a - c}{2}$

Percurso de aprendizagem

A melhor resposta e o que acontece quando ninguém a calcula

Referências (3)

The essay the phrase comes from, and the pasture the tool is a model of: G. Hardin, "The Tragedy of the Commons." Science 162(3859), 1968, pp. 1243–1248.
Where the arithmetic actually comes from — the common-property fishery, fourteen years before Hardin named it: H. S. Gordon, "The Economic Theory of a Common-Property Resource: The Fishery." Journal of Political Economy 62(2), 1954, pp. 124–142.
And the reason the word "tragedy" is doing too much work. Ostrom's fieldwork found commons that are governed successfully, for centuries, without either privatisation or the state: E. Ostrom, Governing the Commons: The Evolution of Institutions for Collective Action. Cambridge University Press, 1990.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.