A Evolução da Cooperação

Defina a composição inicial de uma população que joga o torneio de Axelrod contra si mesma. Cada geração multiplica a proporção de cada estratégia pela sua pontuação contra a população que efetivamente encontrou, de modo que os vencedores se reproduzem e os perdedores deixam de jogar.

Exemplo resolvido — A Evolução da Cooperação

Ainda acima de um décimo de por cento	3 de 8
Menor retorno médio	1,00 na geração 27
Retorno médio no fim	3,00
Um desertor entre reciprocadores	1,02 contra os seus 3,00
Um reciprocador entre desertores	0,9950 contra os seus 1,00
Desertores no seu pico	99,2% na geração 21
Desertores no fim	0,0%
Interações com os seus iguais	0,2494%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — A Evolução da Cooperação

A equação do replicador é o que transforma um torneio numa ecologia. Cada estratégia responde por uma fração da população. Sua aptidão é o que ela ganha por rodada contra a população que efetivamente encontra, ou seja, contra cada uma das outras estratégias ponderada por sua frequência. A geração seguinte multiplica cada fração pela própria aptidão dividida pela média populacional. Uma estratégia acima da média cresce, uma abaixo dela encolhe, e nada mais acontece — nenhuma estratégia jamais é inventada, escolhida ou ensinada.

O que significa cada símbolo

pᵢ: a fração da população que joga a estratégia i
fᵢ: o que essa estratégia ganha por rodada contra a população inteira
f̄: a média populacional, a referência pela qual toda estratégia é medida

Pressupõe: Uma população infinitamente grande e bem misturada: cada estratégia encontra todas as outras exatamente na proporção da sua fração, sem vizinhanças e sem sorte. É isso que faz das frações números contínuos em vez de contagens de indivíduos, e é também por isso que o bloco de análise 2 consegue acompanhar uma fração até 10⁻¹⁷⁶ sem que o modelo perceba que tal população não existe.

Os desertores são mortos pelo seu próprio sucesso 🖖

Prima Mundo confiante até o fim e observe a linha vermelha. Um por cento da população deserta; 97% coopera com qualquer um. Durante oito gerações quase nada acontece. Depois, a deserção ultrapassa metade do mundo na geração 9 e 90% na geração 12, e na geração 14 a tabela declara os cooperadores incondicionais extintos. É também nesse momento que o rendimento dos desertores morre, pois era a mesma coisa: um desertor que encontra outro desertor ganha 1 por rodada. O retorno médio fixa-se em 1,00 da geração 15 à geração 120, cem gerações de todos a tirar a todos. Entretanto, Olho por Dois Olhos, Olho por Olho e Rancoroso atravessaram a fome com cerca de 0,17% cada, e quando dois deles se encontram continuam a ganhar 3. As suas três proporções juntas compõem-se a cerca de um e meio por cento por geração, o que parece nada durante um século e depois deixa de parecer nada: os desertores detêm 97,1% na geração 120, 6,5% na 150 e desaparecem na 155. Axelrod chamou a isto a ronda ecológica do seu torneio. Nenhuma nova estratégia entra. A única coisa que muda é a quantidade de cada uma.

A cooperação regressa; os cooperadores não 🖖

Na geração 200 a população ganha 3,00 pontos por rodada, que é o máximo que pode ganhar, porque todos os pares que se encontram cooperam. O mundo confiante foi restaurado sem a estratégia confiante nele. Sempre Coopera caiu abaixo de um décimo de por cento na geração 14, e a sua proporção na geração 200 é de 3,55 × 10⁻¹⁷⁶. Nem sequer continua a cair: atinge o fundo na geração 147 e recupera 23% a partir daí. Essa é a geração em que a sua aptidão ultrapassa a média da população, 1,63 contra 1,57, porque até lá a maior parte do que um cooperador encontra é um reciprocador a pagar três, enquanto a média ainda é puxada para baixo pelos desertores a tirar um uns aos outros. A dinâmica de replicadores multiplica, e a multiplicação não tem limite inferior, por isso o modelo pode encolher uma estratégia até 10⁻¹⁷⁶ e devolvê-la. Uma população não o pode fazer: existem cerca de 10⁸⁰ átomos no universo observável, e uma proporção de 10⁻¹⁷⁶ não é uma estratégia rara, mas sim uma estratégia ausente. O que acaba por ganhar três por rodada é Olho por Dois Olhos com 38,3%, Olho por Olho com 31,0% e Rancoroso com 30,7%. Todos os três abrem com cooperação e continuam a cooperar uns com os outros durante as 200 rodadas, logo arrecadam exatamente o que Sempre Coopera teria arrecadado. A diferença entre eles e esta última aparece apenas quando um desertor chega, e essa é toda a diferença: eles param.

Um quarto de um por cento é suficiente para começar 🖖

Leia os três cartões em Pode a cooperação sequer começar?. Um mundo de desertores incondicionais paga a todos 1,00 por rodada. Lance um único Olho por Olho lá para dentro e o recém-chegado ganha 0,9950: coopera uma vez, não recebe nada por isso e deserta nas restantes 199 rodadas. Falta meia centésima, e extingue-se. Agora faça os recém-chegados chegarem juntos, de modo que uma fração q das suas interações seja entre si e pague 3,00. O grupo ganha q × 3,00 + (1 − q) × 0,9950, o que ultrapassa 1,00 em q = 0,2494%, ou uma interação em 401. Essa é a resposta de Robert Axelrod e W. D. Hamilton, publicada em 1981, à questão de como a cooperação alguma vez arranca num mundo que a pune. A perda total do reciprocador é de uma rodada explorada em 200, logo o limiar cai como 1/n à medida que a relação se prolonga. Um cooperador incondicional é explorado em todas as rodadas e não apenas na primeira, e o seu limiar é um terço de todas as suas interações, seja qual for a duração da relação.

Problema resolvido na íntegra

Quão pequeno pode ser o primeiro grupo? A ferramenta apresenta uma resposta: um grupo de reciprocadores precisa que 0,2494% das suas interações sejam com a sua própria espécie antes de se conseguir manter contra um mundo de desertores. Esse valor pertence a uma partida de 200 rodadas com os retornos de Axelrod. De onde vem, e o que lhe acontece quando a relação é mais curta?

Abrir este problema na ferramenta
1. Num mundo de desertores incondicionais todos os encontros são de deserção mútua, por isso um residente ganha o retorno de punição P em cada rodada.
  
  $π_{res} = P = 1$
2. Um único Olho por Olho coopera na primeira rodada e arrecada o retorno de tolo S, desertando depois nas restantes n − 1 rodadas. É roubado uma vez e dilui essa perda por toda a partida, por isso às 200 rodadas retém 199/200.
  
  $π_{lone} = \frac{( n - 1 ) P + S}{n} = \frac{199 \times 1 + 0}{200} = 0.9950$
3. Agora dê aos recém-chegados um grupo: uma fração q das suas interações são uns com os outros, pagando a recompensa R, e as restantes são com os residentes. O grupo sustém-se quando essa média supera o que os residentes ganham.
  
  $q R + (1 - q) π_{lone} > π_{res} = P$
4. Resolva para q. O n sob ambas as diferenças anula-se, deixando o custo de uma rodada explorada sobre o que n rodadas de cooperação mútua ganham sobre a deserção mútua, mais esse mesmo custo.
  
  $q^{*} = \frac{P - π _{lone}}{R - π _{lone}} = \frac{( P - S ) / n}{( n ( R - P ) + ( P - S ) ) / n} = \frac{P - S}{n ( R - P ) + ( P - S )}$
5. A 5, 3, 1, 0 e 200 rodadas isso é 1/401, os 0,2494% que a ferramenta apresenta. O limiar cai como 1/n: a dez rodadas é 1/21, ou 4,76%.
  
  $q^{*} = \frac{1}{2 n + 1} = \frac{1}{401} = 0 . 2494%, n = 10 \Rightarrow \frac{1}{21} = 4 . 76%$
6. Um cooperador incondicional é explorado em cada rodada e não apenas na primeira, pelo que o seu retorno isolado é o próprio S e o n desaparece completamente do seu limiar. A uma rodada as duas estratégias são a mesma estratégia e os dois limiares coincidem num terço. Cada rodada após a primeira é um desconto que apenas o reciprocador arrecada.
  
  $q_{AC}^{*} = \frac{P - S}{R - S} = \frac{1}{3}$
Resposta

Um grupo de reciprocadores necessita que q ≥ (P − S)/(n(R − P) + (P − S)) das suas interações sejam internas, o que nos retornos de Axelrod é 1/(2n + 1) e a 200 rodadas é 1/401 = 0,2494%. Um grupo de cooperadores incondicionais necessita de (P − S)/(R − S) = 1/3, para qualquer n. Ambos os grupos estão a fazer o mesmo, combinando encontros com a sua própria espécie, e o reciprocador precisa de cento e trinta vezes menos disso, porque a única rodada em que pode ser roubado é a primeira.

$q^{*} = \frac{1}{2 n + 1} vs q_{AC}^{*} = \frac{1}{3}$

Percurso de aprendizagem

A melhor resposta e o que acontece quando ninguém a calcula

Referências (4)

The cluster result this page's third block and worked problem are about: a lone reciprocator cannot enter a world of defectors, and a cluster of them can. Also the source for the 1981 date and for the two authors' names: R. Axelrod and W. D. Hamilton, "The Evolution of Cooperation." Science 211(4489), 1981, pp. 1390–1396.
The second tournament, from which this population's eight strategies and the 200-round match are drawn, written up by the man who ran it: R. Axelrod, "More Effective Choice in the Prisoner's Dilemma." Journal of Conflict Resolution 24(3), 1980, pp. 379–403.
"The ecological round" — the same strategies in changing proportions, with no new entrant — and the four maxims that came out of it: R. Axelrod, The Evolution of Cooperation. Basic Books, New York, 1984.
The generation step on this page is the discrete replicator equation, and this is where it and the evolutionarily-stable-strategy connection were set out: P. D. Taylor and L. B. Jonker, "Evolutionary stable strategies and game dynamics." Mathematical Biosciences 40(1–2), 1978, pp. 145–156.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.