Volume por Fatiamento

Corte um sólido em fatias finas perpendiculares a um eixo e o volume será a soma das áreas dessas fatias multiplicadas pela espessura: V = ∫A(x) dx. Discos, anilhas ou secções transversais com forma geométrica conhecida são todos variantes desta mesma ideia; só muda A(x). O gráfico mostra a região plana, a secção em x vista de frente e a função de área ao longo do eixo, cuja área sob a curva fornece o volume.

Volume por fatiamento	$V = \int_{a}^{b} A (x) d x$
Uma anilha	$A (x) = π (R (x)^{2} - r (x)^{2})$

Exemplo resolvido — Volume por Fatiamento

Área da fatia em x	0,7854
Volume, integral das áreas	3,1416

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Volume por Fatiamento

Se a secção transversal de um sólido em x tem área A(x) para a ≤ x ≤ b, o seu volume é V = ∫ₐᵇ A(x) dx. Ao rodar uma região em torno de um eixo, cada secção gera discos, A = πR², ou anilhas, A = π(R² − r²), em que R e r são as distâncias ao eixo de rotação.

O que significa cada símbolo

A(x): área da fatia em x, perpendicular ao eixo
R, r: raios exterior e interior da anilha, medidos a partir do eixo de rotação

De onde vem a fórmula

Fatie e some as parcelas. Uma fatia delgada com espessura Δx tem um volume próximo de A(x)Δx. Ao somar todas as fatias e fazer Δx tender para zero, a soma converte-se no integral.
$V \approx i \sum A (x_{i}) Δ x ⟶ \int_{a}^{b} A (x) d x$
Discos e anilhas. A rotação de uma região plana transforma cada fatia num disco maciço ou num disco com abertura central: subtraia sempre a área do buraco, nunca o seu raio.
$A = π R^{2} - π r^{2} = π (R^{2} - r^{2}) \neq = π (R - r)^{2}$

Problemas resolvidos na íntegra

Disco em torno do eixo x 1 passos
Calcule o volume gerado pela rotação da região sob y = √x em [0, 4] em torno do eixo x.

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1. Cada fatia é um disco de raio √x:
  
  $V = \int_{0}^{4} π (x)^{2} d x = π \int_{0}^{4} x d x = π \cdot 8$
Resposta

8π ≈ 25,1327.

$V = 8 π \approx 25.1327$
A fórmula do cone a partir de discos 2 passos
Mostre que um cone de raio r e altura h tem volume πr²h/3.

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1. Assente o cone ao longo do eixo x com o vértice na origem: o raio em x vale rx/h.
  
  $R (x) = \frac{r}{h} x, 0 \leq x \leq h$
2. Integre a área dos discos:
  
  $V = \int_{0}^{h} π \frac{r ^{2}}{h ^{2}} x^{2} d x = π \frac{r ^{2}}{h ^{2}} \cdot \frac{h ^{3}}{3} = \frac{π r ^{2} h}{3}$
Resposta

πr²h/3. Com r = 1 e h = 3, o valor calculado é 3,1416, ou seja, π.

$V = \frac{π r ^{2} h}{3}$
Uma anilha 1 passos
A região delimitada por y = x e y = x² em [0, 1] roda em torno do eixo x. Calcule o volume.

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1. Raio exterior x, raio interior x²:
  
  $V = \int_{0}^{1} π (x^{2} - x^{4}) d x = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{2 π}{15}$
Resposta

2π/15 ≈ 0,4189. O cálculo π∫(x − x²)² dx daria 0,1047, o erro apontado na secção sobre anilhas.

$V = \frac{2 π}{15} \approx 0.4189$
Anilha em torno de outro eixo 2 passos
A região sob y = x² em [0, 1] roda em torno da reta y = −1. Calcule o volume.

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1. Medindo os raios a partir de y = −1: a fronteira exterior fica em x² + 1 e o orifício em 1 (o eixo x):
  
  $R = x^{2} + 1, r = 1$
2. Desenvolva e integre:
  
  $V = \int_{0}^{1} π ((x^{2} + 1)^{2} - 1) d x = π \int_{0}^{1} (x^{4} + 2 x^{2}) d x = π (\frac{1}{5} + \frac{2}{3})$
Resposta

13π/15 ≈ 2,7227. Esquecer o deslocamento de 1 nos raios daria o volume dos discos em torno do eixo x, π/5, que corresponde a outro sólido.

$V = \frac{13 π}{15} \approx 2.7227$
Secções quadradas 1 passos
A base de um sólido é a região sob y = √x em [0, 4]. Todas as secções transversais perpendiculares ao eixo x são quadrados. Calcule o volume.

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1. O quadrado na posição x tem lado √x:
  
  $V = \int_{0}^{4} (x)^{2} d x = \int_{0}^{4} x d x = 8$
Resposta

8. Não há rotação nem fator π: a geometria da fatia determina A(x) e nada mais é necessário.

$V = 8$
Secções semicirculares 1 passos
A base de um sólido é o disco x² + y² ≤ 1. As secções transversais perpendiculares ao eixo x são semicírculos assentes nas cordas do disco. Calcule o volume.

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1. A corda em x mede 2√(1 − x²), logo o raio do semicírculo é √(1 − x²):
  
  $A (x) = \frac{1}{2} π (1 - x^{2}), V = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{2} π (1 - x^{2}) d x = \frac{1}{2} π \cdot \frac{4}{3}$
Resposta

2π/3 ≈ 2,0944. Metade do volume da esfera unitária, cujas secções seriam círculos completos em vez de semicírculos.

$V = \frac{2 π}{3} \approx 2.0944$
A esfera 1 passos
Mostre que uma esfera de raio r tem volume 4πr³/3.
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1. Rode o semicírculo y = √(r² − x²) em torno do eixo x: o disco em x tem raio √(r² − x²).
  
  $V = \int_{- r}^{r} π (r^{2} - x^{2}) d x = π (2 r^{3} - \frac{2 r ^{3}}{3})$
Resposta

4πr³/3. Arquimedes obteve este valor como dois terços do cilindro circunscrito, 2πr³.

$V = \frac{4 π r ^{3}}{3}$

O cone é exatamente um terço do respetivo cilindro, e as fatias explicam porquê 🖖

Carregue em Um cone, um terço. A fatia na posição x é um disco de raio x/3. A sua área cresce ao ritmo de x²: minúscula junto ao vértice, atinge π na base. O volume procurado é a área sob A(x) de 0 a 3. Como ∫x² dx = x³/3, a área sob uma parábola preenche um terço do retângulo que a envolve. Esse retângulo vale π vezes 3 — o próprio cilindro envolvente. O cone mede, portanto, π. Sempre um terço, independentemente da altura ou do raio. Demócrito enunciou esta proporção e Arquimedes atribuiu a demonstração rigorosa a Eudoxo; com o método das fatias, basta um único integral.

A anilha é a diferença de duas áreas, não a área de uma diferença 🖖

Carregue em Áreas, não raios. Cada fatia é um disco de raio x ao qual se retira um disco interior de raio x², com área π(x² − x⁴). O volume total dá 2π/15 ≈ 0,4189. Há um atalho tentador que consiste em elevar ao quadrado a diferença dos raios, calculando π(x − x²)². A página também integra esse valor: dá 0,1047, exatamente um quarto do correto. Em cada fatia, as duas expressões diferem em 2πr(R − r), uma quantidade que nunca é negativa; por isso, o atalho fica sempre aquém da realidade. O buraco é um disco completo de raio r, e é a sua área que tem de ser subtraída.

O volume depende apenas da área das fatias, não da sua disposição 🖖

Carregue em Fatias quadradas e, depois, em Fatias semicirculares. Nenhum destes sólidos resulta de uma revolução: um ergue secções quadradas sobre uma região plana, o outro assenta semicírculos sobre um disco. O cálculo é rigorosamente o mesmo em ambos os casos, integrando A(x), porque mais nada nas fatias interfere no volume. Empurre uma pilha de moedas até ficar inclinada e o seu volume permanece inalterado, já que cada fatia mantém a sua área individual. Bonaventura Cavalieri transformou esta constatação num princípio em 1635; na China, por volta do ano 500, Zu Geng, filho de Zu Chongzhi, já aplicava o mesmo raciocínio.

Percurso de aprendizagem

Aplicações da integração

Referências (4)

The method as the page computes it: the slicing method, V = ∫ₐᵇ A(x) dx, derived from Riemann sums, the disk method (equation 6.3) and the washer method (equation 6.5, π[(f(x))² − (g(x))²]): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.2, “Determining Volumes by Slicing”.
Insight block 1: the cone as one third of the cylinder, first stated by Democritus, the proof attributed to Eudoxus by Archimedes in On the Sphere and Cylinder: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Eudoxus of Cnidus”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated April 1999).
Insight block 3: Cavalieri's principle in his Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1635): J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Bonaventura Francesco Cavalieri”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated July 2014).
Insight block 3: Zu Geng's principle, “a generalisation of what is often called Cavalieri's principle”; Zu Geng born about 450, died about 520: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Zu Geng”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated December 2003).

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.