Integrais duplas em coordenadas polares

Corte uma região com circunferências centradas na origem e semirretas que dela partem, e cada célula é um pedaço de coroa circular cuja área é o seu raio médio vezes Δr vezes Δθ. Esse raio médio é o r de r dr dθ. Marque uma célula em qualquer das duas figuras e compare a sua área nos dois planos.

Integral dupla em coordenadas polares	$\iint_{R} f d A = \int_{α}^{β} \int_{r_{1} (θ)}^{r_{2} (θ)} f r d r d θ$
A integral de Gauss	$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$

Exemplo resolvido — Integrais duplas em coordenadas polares

Célula marcada no plano rθ	0,1745
Célula marcada no plano xy	0,16
A integral dupla	3,1416
O mesmo sem o r (errado)	6,2832

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Lição

A teoria — Integrais duplas em coordenadas polares

Uma integral dupla em coordenadas polares integra sobre uma região descrita por um ângulo θ e uma distância r à origem, com o elemento de área dA = r dr dθ.

O que significa cada símbolo

r, θ: a distância à origem e o ângulo medido a partir do semieixo positivo dos x: x = r cos θ, y = r sin θ
r̄, Δr, Δθ: o raio médio de uma célula, a sua largura em r e a sua largura em θ

De onde vem a fórmula

Corte a região em células polares. Uma célula entre os raios r₁ e r₂ e os ângulos θ e θ + Δθ é a diferença de dois setores, e a sua área fatoriza-se em raio médio vezes Δr vezes Δθ.
$Δ A = \frac{1}{2} (r_{2}^{2} - r_{1}^{2}) Δ θ = \frac{r _{1} + r _{2}}{2} (r_{2} - r_{1}) Δ θ = \overset{r}{ˉ} Δ r Δ θ$
Some e passe ao limite. O valor de f em cada célula vezes a área da célula, somado, tende para uma integral iterada em que r̄ passou a r. Os limites de r podem depender de θ.
$\iint_{R} f d A x = \int_{α}^{β} \int_{r_{1} (θ)}^{r_{2} (θ)} f r d r d θ, = r cos θ, y = r sin θ$
Eleve a gaussiana ao quadrado. Um produto de duas integrais numa variável é uma integral dupla sobre o plano, e em forma polar o r dá a e^(−r²) uma primitiva com fórmula.
$I^{2} I = \iint_{R^{2}} e^{- (x^{2} + y^{2})} d A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r d θ = 2 π [- \frac{1}{2} e^{- r^{2}}]_{0}^{\infty} = π = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$

Pressupõe: Na região, θ vai de um ângulo a outro e, ao longo de cada semirreta, r fica entre duas curvas r₁(θ) ≤ r₂(θ). A integral sobre todo o plano é imprópria; discos cada vez maiores e quadrados cada vez maiores dão o mesmo π, porque cada quadrado fica entre dois discos.

Problemas resolvidos na íntegra

A área de um disco 2 passos
Calcule a área do disco de raio R como integral dupla em coordenadas polares, e o que obtém se se esquecer do r.

Abrir este problema na ferramenta
1. O disco é 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π, e dA = r dr dθ:
  
  $A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} r d r d θ = \int_{0}^{2 π} \frac{R ^{2}}{2} d θ = π R^{2}$
2. Sem o r:
  
  $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} d r d θ = 2 π R$
Resposta

πR², que é 3,1416 com R = 1. Sem o r, 2πR: o perímetro, um comprimento.

$A = π R^{2}, R = 1 : A \approx 3.1416$
Dentro de uma cardioide 2 passos
Calcule a área dentro da cardioide r = 1 + cos θ.

Abrir este problema na ferramenta
Mostrar solução
1. Para cada θ em [0, 2π], r vai de 0 a 1 + cos θ, e a integral interior é metade do quadrado desse limite:
  
  $A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1 + c o s θ} r d r d θ = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (1 + cos θ)^{2} d θ$
2. Numa volta completa, a integral de cos θ é 0 e a de cos² θ é π:
  
  $A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (1 + 2 cos θ + cos^{2} θ) d θ = \frac{1}{2} (2 π + 0 + π) = \frac{3 π}{2}$
Resposta

3π/2 ≈ 4,7124.

$A = \frac{3 π}{2} \approx 4.7124$
De x e y para r e θ 2 passos
Calcule ∫₀¹ ∫₀^√(1−x²) (x² + y²) dy dx.

Abrir este problema na ferramenta
Mostrar solução
1. y vai de 0 até à circunferência x² + y² = 1 e x de 0 a 1: é o quarto do disco unitário no primeiro quadrante, ou seja, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/2. E x² + y² = r²:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x^{2}} (x^{2} + y^{2}) d y d x = \int_{0}^{π /2} \int_{0}^{1} r^{2} \cdot r d r d θ$
2. Integre:
  
  $\int_{0}^{π /2} [\frac{r ^{4}}{4}]_{0}^{1} d θ = \int_{0}^{π /2} \frac{1}{4} d θ = \frac{π}{8}$
Resposta

π/8 ≈ 0,3927.

$\frac{π}{8} \approx 0.3927$
Um disco que não está centrado na origem 3 passos
Calcule ∬ x dA sobre o disco x² + y² ≤ 2x e, a partir daí, a coordenada x do centroide do disco.

Abrir este problema na ferramenta
Mostrar solução
1. Em coordenadas polares, a fronteira é r² = 2r cos θ, logo r = 2 cos θ, e r ≥ 0 exige cos θ ≥ 0. θ vai de −π/2 a π/2, uma volta à circunferência; uma volta completa de θ percorrê-la-ia duas vezes e duplicaria o resultado.
  
  $x^{2} + y^{2} \leq 2 x ⟺ r \leq 2 cos θ, - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$
2. Com x = r cos θ:
  
  $\iint x d A = \int_{- π /2}^{π /2} \int_{0}^{2 c o s θ} r cos θ \cdot r d r d θ = \int_{- π /2}^{π /2} \frac{8}{3} cos^{4} θ d θ = \frac{8}{3} \cdot \frac{3 π}{8} = π$
3. O disco tem raio 1 e área π:
  
  $\overset{x}{ˉ} = \frac{\iint x d A}{A} = \frac{π}{π} = 1$
Resposta

∬ x dA = π ≈ 3,1416, logo o centroide está em x = 1, o centro do disco.

$\iint x d A = π \approx 3.1416, \overset{x}{ˉ} = 1$
O volume de uma esfera 2 passos
Calcule o volume de uma esfera de raio R como integral dupla em coordenadas polares.
Mostrar solução
1. A metade superior é o volume sob z = √(R² − x² − y²) sobre o disco r ≤ R:
  
  $V = 2 \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} R^{2} - r^{2} r d r d θ$
2. Substitua u = R² − r², pelo que du = −2r dr; é o r do elemento de área que faz a substituição funcionar:
  
  $V = 2 \cdot 2 π \int_{0}^{R^{2}} \frac{1}{2} u d u = 2 π \cdot \frac{2}{3} R^{3} = \frac{4 π R ^{3}}{3}$
Resposta

4πR³/3, o volume obtido por fatias mais atrás neste capítulo.

$V = \frac{4 π R ^{3}}{3}$
A gaussiana num disco 2 passos
Calcule ∬ e^(−(x²+y²)) dA sobre o disco de raio R e o seu limite quando R → ∞.

Abrir este problema na ferramenta
Mostrar solução
1. Em forma polar, a integranda é e^(−r²), e o r ao lado dá-lhe uma primitiva com fórmula:
  
  $\int_{0}^{R} e^{- r^{2}} r d r = [- \frac{1}{2} e^{- r^{2}}]_{0}^{R} = \frac{1}{2} (1 - e^{- R^{2}})$
2. A integral em θ multiplica por 2π:
  
  $\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} (1 - e^{- R^{2}}) d θ = π (1 - e^{- R^{2}})$
Resposta

π(1 − e^(−R²)), que é 3,0841 com R = 2 e tende para π.

$π (1 - e^{- R^{2}}) R \to \infty π, R = 2 : \approx 3.0841$
∫e^(−x²) dx = √π 3 passos
Mostre que a integral de e^(−x²) em toda a reta é √π.

Abrir este problema na ferramenta
Mostrar solução
1. Seja I(b) a integral de −b a b. O seu quadrado é uma integral dupla sobre o quadrado |x|, |y| ≤ b:
  
  $I (b)^{2} = \int_{- b}^{b} e^{- x^{2}} d x \int_{- b}^{b} e^{- y^{2}} d y = \iint_{∣ x ∣, ∣ y ∣ \leq b} e^{- (x^{2} + y^{2})} d A$
2. O quadrado contém o disco de raio b e está dentro do disco de raio b√2. A integranda é positiva, logo, pelo problema 6:
  
  $π (1 - e^{- b^{2}}) \leq I (b)^{2} \leq π (1 - e^{- 2 b^{2}})$
3. As duas cotas tendem para π quando b → ∞, portanto I(b)² também, e I(b) é positiva:
  
  $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = b \to \infty lim I (b) = π$
Resposta

√π ≈ 1,7725. Com b = 2, as cotas são 3,0841 e 3,1405, e I(2)² ≈ 3,1123 fica entre elas.

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π \approx 1.7725$
A constante da distribuição normal 2 passos
Calcule a integral de e^(−x²/2) em toda a reta e explique o fator 1/√(2π) na densidade normal padrão.
Mostrar solução
1. Substitua x = √2 u, pelo que dx = √2 du:
  
  $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} /2} d x = 2 \int_{- \infty}^{\infty} e^{- u^{2}} d u = 2 \cdot π = 2 π$
2. Divida por √(2π) e o total é 1:
  
  $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2 π} e^{- x^{2} /2} d x = \frac{2 π}{2 π} = 1$
Resposta

√(2π). Assim, (1/√(2π)) e^(−x²/2) tem área total 1, como uma densidade de probabilidade tem de ter.

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} /2} d x = 2 π$

Sem o r, a área do disco sai igual ao seu perímetro 🖖

Clique em Disco unitário. Com o r, a integral é π ≈ 3,1416; sem ele, os mesmos limites dão 2π ≈ 6,2832, o perímetro, que é um comprimento. ∫∫ dr dθ mede o retângulo em que o disco se transforma no plano rθ, 1 por 2π, e nesse plano todas as células têm a mesma área Δr Δθ, ao passo que no disco as células junto ao centro são lascas finas e as da orla são largas. Uma célula entre os raios r₁ e r₂ é a diferença de dois setores, ½(r₂² − r₁²)Δθ, que se fatoriza como ½(r₁ + r₂) · (r₂ − r₁) · Δθ: o raio médio vezes Δr vezes Δθ, exatamente. Marque uma célula na orla e depois uma no centro, e compare as duas linhas de célula nos resultados. Como nada foi aproximado, a soma sobre a grelha mostra π para este disco mesmo com n = 1, uma única célula.

O r que é tão fácil esquecer é o que permite calcular ∫e^(−x²) dx 🖖

e^(−x²) não tem primitiva elementar, nenhuma construída com potências, raízes, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas: Liouville provou-o na década de 1830, e a página sobre integrais não elementares aplica o seu critério. Ainda assim, a sua integral em toda a reta vale exatamente √π. Chame-lhe I. Então I² é ∫e^(−x²) dx vezes ∫e^(−y²) dy, que é a integral de e^(−(x²+y²)) em todo o plano, e em coordenadas polares a integranda e^(−r²) chega com um r ao lado. E r e^(−r²) tem primitiva: −½e^(−r²). A integral interior é, portanto, ½, a integral em θ multiplica-a por 2π, e I² = π. Clique em Gaussiana num disco: a linha da integral interior mostra o valor desse parêntese reto. A biografia de Kelvin escrita por Silvanus Thompson (1910) conta que Kelvin escreveu um dia este resultado no quadro e disse aos alunos: «Um matemático é alguém para quem isto é tão óbvio como, para vocês, que duas vezes dois são quatro. Liouville era um matemático.»

O plano inteiro é um limite de quadrados, e os discos dão mesmo assim a resposta certa 🖖

I² foi definido sobre quadrados, |x|, |y| ≤ b, e calculado sobre discos. Clique em Gaussiana num quadrado. O quadrado contém o disco de raio b e está dentro do disco de raio b√2, e e^(−(x²+y²)) é positiva, por isso a sua integral sobre o quadrado fica entre π(1 − e^(−b²)) e π(1 − e^(−2b²)). As duas cotas tendem para π, logo o valor do quadrado também. Com b = 2, os três números são 3,0841, 3,1123 e 3,1405. Clique em Gaussiana, b = 1: 1,9859, 2,231 e 2,7164, e os cantos fora do disco interior pesam 11% do valor do quadrado. É por isso que o argumento dá a integral em toda a reta e, num intervalo finito, apenas a enquadra: ∫e^(−x²) dx de −1 a 1 vale 1,4936, e os discos situam-na entre √1,9859 ≈ 1,4092 e √2,7164 ≈ 1,6482.

Percurso de aprendizagem

Aplicações da integração

Referências (2)

The double integral over a polar region as the iterated integral of f(r, θ) r dr dθ (equation 5.8 and Theorem 5.8), the polar subrectangle's area r*ΔrΔθ with r* the middle radius, and the improper integral of e^(−10(x²+y²)) over the plane in polar coordinates (Example 5.35): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 3, OpenStax (2016), section 5.3, “Double Integrals in Polar Coordinates”.
Insight block 2: Kelvin wrote ∫e^(−x²) dx = √π on the blackboard and told his class “A mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you. Liouville was a mathematician.” (vol. 2, chapter XXV, p. 1139, footnote 1): S. P. Thompson, The Life of William Thomson, Baron Kelvin of Largs, vol. 2, Macmillan, London (1910).

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.