Integrais não elementares

Algumas integrais simplesmente não têm fórmula, e Joseph Liouville provou isso. Aplique o teste dele a um polinómio vezes e^−x², veja por que o resultado depende de um único número e depois pratique com funções integrandas onde a resposta certa pode ser Não existe.

Para um polinómio g	$\int g (x) e^{- x^{2}} d x = R (x) e^{- x^{2}} + C ⟺ \int_{- \infty}^{\infty} g (x) e^{- x^{2}} d x = 0$
O nome da fórmula que falta	$\int e^{- x^{2}} d x = \frac{π}{2} erf x + C$

Exemplo resolvido — Integrais não elementares

Área de g(x)·e⁻ˣ² em toda a reta	1,7725
Primitiva elementar de g(x)·e⁻ˣ²	nenhuma
Proporção com fórmula, coeficientes −3 a 3	6,12%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Integrais não elementares

Uma função é elementar se puder ser construída a partir de x e de constantes através de um número finito de adições, multiplicações, divisões, raízes de equações polinomiais, exponenciais e logaritmos; valores complexos são permitidos, o que introduz as funções trigonométricas e as respetivas inversas. Uma função integranda tem uma primitiva elementar se existir uma F elementar tal que F′ = f. O teorema de Liouville restringe a forma que esta F pode assumir e, para f·e^g com f e g racionais e g não constante, torna-se num teste simples: uma primitiva elementar existe exatamente quando R′ + g′R = f possui uma solução racional R, sendo R·e^g a primitiva correspondente.

O que significa cada símbolo

R: a função racional que o teste de Liouville procura; para g(x)e^−x² tem de ser um polinómio
K: g₀ + g₂/2 + 3g₄/4 + 15g₆/8 + …, o múltiplo de ∫e^−x² dx que sobra após a integração por partes: a área em toda a reta dividida por √π

De onde vem a fórmula

A forma que qualquer solução tem de ter. O teorema de Liouville reduz a procura a uma única estrutura: se ∫g(x)e^−x² dx tiver fórmula, será R(x)e^−x² para algum polinómio R. Derive essa expressão e exija que seja igual a g.
$\int g (x) e^{- x^{2}} d x = R (x) e^{- x^{2}} \Rightarrow g = R^{'} - 2 x R$
Igualar as potências. Se g for cúbico, R é quadrático. Os termos em x³ e x ajustam-se sempre. O termo em x² e o termo independente determinam ambos r₁, ora como −g₂/2, ora como g₀, e só coincidem quando g₀ + g₂/2 = 0.
$R = r_{2} x^{2} + r_{1} x + r_{0} : R^{'} - 2 x R = - 2 r_{2} x^{3} - 2 r_{1} x^{2} + (2 r_{2} - 2 r_{0}) x + r_{1} \Rightarrow r_{1} = g_{0} = - \frac{g _{2}}{2}$

Falha quando: O teste nesta página abrange f·e^g com f e g racionais, bem como as funções integrandas x^m/ln x através de x = e^u. As raízes quadradas de polinómios exigem um argumento distinto: o Exemplo 4.3 de Conrad explica por que motivo ∫dx/√P(x) não é elementar para polinómios P de grau 3 ou superior sem raízes repetidas, e Hardy atribui a Liouville as integrais elíticas padrão, incluindo o comprimento de arco de uma elipse.

Problemas resolvidos na íntegra

O vizinho elementar 2 passos
Calcule ∫x e^−x² dx.
1. O x é −½ da derivada de −x², logo substituímos:
  
  $u = - x^{2}, d u = - 2 x d x, x d x = - \frac{1}{2} d u$
2. Uma exponencial:
  
  $\int x e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} \int e^{u} d u = - \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$
Resposta

−½e^−x² + C. Um fator x é toda a diferença entre esta integral e ∫e^−x² dx, que não tem fórmula alguma.

$\int x e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$
Quatro casas decimais com uma série 3 passos
Calcule ∫₀¹ e^−x² dx com quatro casas decimais.
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1. Não há nenhuma primitiva para usar, mas e^−x² tem uma série de potências que pode ser integrada termo a termo:
  
  $e^{- x^{2}} = k \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{k} x ^{2 k}}{k !} \Rightarrow \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x = k \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{k}}{k ! ( 2 k + 1 )}$
2. Os termos alternam e diminuem; basta somá-los até que o seguinte seja pequeno demais para fazer diferença:
  
  $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} - \frac{1}{1320} + \frac{1}{9360} = 0.74684$
3. Numa série alternada, o erro é menor do que o primeiro termo omitido:
  
  $∣ R ∣ < \frac{1}{7 ! \cdot 15} = \frac{1}{75600} \approx 1.3 \times 1 0^{- 5}$
Resposta

0,7468. Parar um termo antes, em 1/1320, deixa uma margem de erro de 1/9360 ≈ 1,1×10⁻⁴, o que não garante a quarta casa decimal.

$\int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x \approx 0.7468$
O mesmo método para sin(x²) 2 passos
Calcule ∫₀¹ sin(x²) dx com quatro casas decimais.
Mostrar solução
1. sin(x²) também não tem primitiva elementar. A sua série, integrada termo a termo:
  
  $sin x^{2} = k \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{k} x ^{4 k + 2}}{( 2 k + 1 )!} \Rightarrow \int_{0}^{1} sin x^{2} d x = k \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{k}}{( 2 k + 1 )! ( 4 k + 3 )}$
2. Três termos, e o quarto limita o erro:
  
  $\frac{1}{3} - \frac{1}{42} + \frac{1}{1320} = 0.31028, ∣ R ∣ < \frac{1}{75600}$
Resposta

0,3103. Esta é uma integral de Fresnel: Augustin Fresnel precisou dela em 1818 para a sua teoria da difração da luz.

$\int_{0}^{1} sin x^{2} d x \approx 0.3103$
Por partes, até à integral que não tem fórmula 3 passos
Calcule ∫x² e^−x² dx e o seu valor de 0 a ∞, sabendo que ∫₀^∞ e^−x² dx = √π/2.
Mostrar solução
1. Decomponha x² e^−x² em x · x e^−x²; o segundo fator traz a primitiva do primeiro problema:
  
  $u = x, d v = x e^{- x^{2}} d x, v = - \frac{1}{2} e^{- x^{2}}$
2. Uma integração por partes deixa ∫e^−x² dx, que não tem fórmula e fica tal como está:
  
  $\int x^{2} e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} x e^{- x^{2}} + \frac{1}{2} \int e^{- x^{2}} d x$
3. Em [0, ∞), o termo integrado vale 0 nos dois extremos e a integral restante é conhecida:
  
  $\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{2}} d x = [- \frac{1}{2} x e^{- x^{2}}]_{0}^{\infty} + \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$
Resposta

−½x e^−x² + (√π/4) erf x + C, e √π/4 ≈ 0,4431 em [0, ∞). erf é o nome dado à integral que não tem fórmula, normalizada para tender a 1.

$\int x^{2} e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} x e^{- x^{2}} + \frac{π}{4} erf x + C, \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{2}} d x = \frac{π}{4} \approx 0.4431$
Duas parcelas sem fórmula que se somam numa só 1 passos
Calcule ∫e^x(1/x − 1/x²) dx para x > 0.
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1. Nem ∫eˣ/x dx nem ∫eˣ/x² dx é elementar. Mas derive eˣ/x pela regra do quociente:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{e ^{x}}{x} = \frac{e ^{x} x - e ^{x}}{x ^{2}} = e^{x} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x ^{2}})$
Resposta

eˣ/x + C. O teorema de Liouville diz respeito ao integrando no seu todo: uma soma pode ter fórmula quando nenhuma das parcelas a tem.

$\int e^{x} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x ^{2}}) d x = \frac{e ^{x}}{x} + C$
Que valor c torna (4x⁴ + c)e^(−x²) integrável? 4 passos
Para que valor de c tem (4x⁴ + c)e^−x² uma primitiva elementar, e qual é? As caixas da página vão apenas até x³. Prima Equilibrada para ver a mesma questão com um grau a menos.

Abrir este problema na ferramenta
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1. Integrando por partes, cada x^2m deixa para trás (2m − 1)!!/2^m vezes ∫e^−x² dx; para x⁴ esse peso é 3/4. Some os restos:
  
  $K = c + 4 \cdot \frac{3 \cdot 1}{2 ^{2}} = c + 3$
2. Uma fórmula exige que o resto desapareça:
  
  $K = 0 \Rightarrow c = - 3$
3. Então R tem grau 3. Igualando as potências de R′ − 2xR = 4x⁴ − 3 de cima para baixo:
  
  $- 2 r_{3} = 4, - 2 r_{2} = 0, 3 r_{3} - 2 r_{1} = 0, 2 r_{2} - 2 r_{0} = 0 \Rightarrow R = - 2 x^{3} - 3 x; r_{1} = - 3 = g_{0}$
4. Verifique derivando:
  
  $\frac{d}{d x} (- (2 x^{3} + 3 x) e^{- x^{2}}) = (- 6 x^{2} - 3 + 4 x^{4} + 6 x^{2}) e^{- x^{2}} = (4 x^{4} - 3) e^{- x^{2}}$
Resposta

c = −3, e ∫(4x⁴ − 3)e^−x² dx = −(2x³ + 3x)e^−x² + C. Qualquer outro c deixa para trás (c + 3)∫e^−x² dx, que não tem fórmula, sendo a área em toda a reta igual a (c + 3)√π em vez de zero.

$c = - 3 : \int (4 x^{4} - 3) e^{- x^{2}} d x = - (2 x^{3} + 3 x) e^{- x^{2}} + C$

A “ausência de fórmula” para e⁻ˣ² é um teorema 🖖

Prima A curva em sino. O treino pede ∫3e^−x² dx, e a resposta certa é Não existe. Ninguém está à espera de uma substituição mais engenhosa: Joseph Liouville provou na década de 1830 que nenhuma combinação de potências, raízes, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas, por muito longa que seja, tem e^−x² como derivada. Dado o teorema de Liouville, o último passo cabe num parágrafo, e os apontamentos de Brian Conrad mostram-no: se existisse uma primitiva elementar, esta teria a forma R(x)e^−x² onde R é uma função racional, pelo que R′ − 2xR = 1. Um polinómio R torna o grau do membro esquerdo demasiado elevado; um polo de R confere a R′ um polo de ordem imediatamente superior, o qual nada em qualquer dos lados consegue anular. Ainda assim, a primitiva existe. O painel inferior desenha-a a partir da regra de Simpson, revelando uma curva ascendente e suave, e os resultados mostram ∫₀¹ 3e^−x² dx = 2,2405. O que falta é uma fórmula e não uma função, e os matemáticos deram o nome a uma versão à escala da mesma: a função erro erf(x) = (2/√π)∫₀ˣ e^−t² dt, logo a primitiva do treino é (3√π/2)·erf(x) + C. Prima 1/ln x: o mesmo teorema, através de x = e^u, exclui qualquer fórmula para a integral logarítmica ∫dx/ln x, mas a página desenha essa primitiva da mesma forma.

Multiplicado por um polinômio, e⁻ˣ² tem uma fórmula exatamente quando a sua área em toda a reta é zero 🖖

O teste de Liouville pode ser executado e não apenas citado. Digite uma cúbica g nas caixas e siga os passos: qualquer fórmula para ∫g(x)e^−x² dx teria que ser R(x)e^−x² com R polinomial, então R′ − 2xR tem de ser igual a g, e igualar as potências de cima para baixo acaba por encontrar R ou termina numa contradição no termo constante. Prima x²·e⁻ˣ². Os passos forçam R = −½x e depois pedem que −½ seja igual a 0, pelo que não há fórmula, e a área em toda a reta é √π/2 = 0,8862. Prima Equilibrada, (2x² − 1)e^−x²: os passos encontram R = −x, logo a integral é −xe^−x² + C, e a área é 0,0000. Estes dois factos são, na verdade, um só. Uma fórmula R(x)e^−x² desvanece-se em ambos os extremos, de modo que a área entre eles, F(∞) − F(−∞), é zero; e a integração por partes reduz cada x^2me^−x² a uma fórmula mais um múltiplo fixo de ∫e^−x² dx, um múltiplo que totaliza a área dividida por √π. Em números: existe uma fórmula exatamente quando g₀ + g₂/2 = 0, sendo que as potências ímpares não importam. As manchas verde e vermelha tornam isto visível: elas têm de se anular.

Conte as funções integrandas de uma família e as que têm fórmula praticamente desaparecem 🖖

O teorema de Liouville diz respeito à função integranda que tem à sua frente. Não dita que fração de integrais não tem fórmula, nem o poderia fazer, visto que "a maioria" necessita de uma família e de um método de contagem. Vamos então contar uma família. Considere cada cúbica g com coeficientes inteiros de −3 a 3, existindo 2.401 ao todo. Multiplicadas por e^−x², 147 têm uma primitiva elementar, 6,12%, e estas são precisamente aquelas onde g₂ = −2g₀: três células iluminadas de um total de 49 na grelha, com g₁ e g₃ livres. Amplie os coeficientes para −10 … 10 e a proporção cai para 2,49%; até −100 … 100 desce para 0,25%; cada aumento de fator dez divide o valor por cerca de dez, como a tabela indica. Uma fórmula exige uma coincidência exata entre os coeficientes, e uma coincidência exata é uma linha desenhada através de um quadrado em crescimento contínuo. O treino fornece uma fórmula em cerca de metade das vezes apenas porque foi programado para o fazer; tirada ao calhas desta família, quase nenhuma função integranda teria uma.

Percurso de aprendizagem

Técnicas de integração

Referências (2)

The criterion the page runs: “Choose f, g ∈ ℂ(X) with f ≠ 0 and g nonconstant. The function f(x)e^g(x) can be integrated in elementary terms if and only if there exists a rational function R ∈ ℂ(X) such that R′(X) + g′(X)R(X) = f(X)” (Theorem 4.4, p. 8), deduced from Liouville's theorem (Theorem 4.1) and proved in §5; applied to e^(−x²) in Example 4.6 and to eˣ/x, equivalently dt/log t, in Example 4.7 (pp. 9–10). Example 4.3 gives ∫dx/√P(x) for P of degree 3 or more without repeated roots: B. Conrad, “Impossibility theorems for elementary integration”, Clay Mathematics Institute Academy Colloquium lecture notes (2005), Theorems 4.1 and 4.4, Examples 4.3, 4.6 and 4.7.
Liouville's results and their dates: the theorem that an elementary ∫eˣy dx (y algebraic) must be eˣ times a rational expression in y, from his 1835 memoir in Crelle's Journal (vol. 13, pp. 93–118), with “the ‘logarithm-integral’ … is really a new transcendent” (ch. VI §4, pp. 58–59); the reduction of every ∫eˣR(x) dx to ∫eˣ/x dx (p. 58, the eˣ(1 − 1/x)³ and eˣ(1 − 2/x)² examples); a footnote crediting the general method with “the ‘error function’ integral ∫e^(−x²) dx is not an elementary function” (§5, p. 59); Liouville's proof for the standard elliptic integrals (ch. V §19, p. 47); and the bibliography of his memoirs, 1833–1840: G. H. Hardy, The Integration of Functions of a Single Variable, 2nd ed., Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics no. 2, Cambridge University Press (1916), Chapter V §19, Chapter VI §§4–5, and Appendix I.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.