Laboratório de Integração Numérica

A integração numérica não se trata apenas de obter uma estimativa, mas de entender o comportamento do erro. As somas de esquerda e direita carregam um viés de extremidade, o ponto médio e o trapézio geralmente melhoram com convergência de segunda ordem em funções suaves, e o método de Simpson costuma melhorar muito mais rápido. Quando dobrar n muda pouco a estimativa, sua aproximação provavelmente está em um regime estável.

A integração numérica corta a região sob uma curva em tiras finas e preenche cada uma com uma forma simples — um retângulo, um trapézio ou uma pequena parábola — e depois soma as partes. O truque é que, dentro de uma tira estreita, até uma curva muito irregular parece quase reta, então uma forma grosseira se ajusta surpreendentemente bem. Observe o preenchimento ciano: quanto mais finas as tiras, menos importa a forma escolhida, porque sobra menos curva para errar.

A fórmula de painel que esta ferramenta usa para Simpson, S = (Δx/6)(f(x_L) + 4f(x_M) + f(x_R)), é idêntica a uma regra que Johannes Kepler publicou em 1615 para medir o volume de barris de vinho — a regra do barril de Kepler — mais de um século antes de Thomas Simpson a escrever em 1743. É um caso clássico em que o nome de um método sobrevive ao seu verdadeiro inventor. Kepler precisava dela porque a parede curva de um barril não tem fórmula de área simples.