Visualizador do Método de Newton

A iteração de Newton é poderosa porque usa informação local da inclinação, de modo que um bom ponto de partida costuma dobrar o número de casas corretas a cada passo. O mesmo mecanismo pode falhar perto de derivadas planas ou nas fronteiras entre bacias de atração: pequenas mudanças em x0 podem levar a uma raiz diferente, a um ciclo ou à divergência.

Para descobrir onde uma curva cruza o zero, o método de Newton substitui a curva pela sua reta tangente na estimativa atual e salta para o ponto onde essa reta corta o eixo x. Como uma curva suave parece quase reta de perto, esse cruzamento costuma ficar bem mais próximo da raiz verdadeira. Repetindo, você se aproxima rápido. A fórmula: x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f'(x_n).

CPUs modernas costumam calcular a/b encontrando primeiro 1/b, e o método de Newton faz isso sem usar nenhuma divisão. Aplicado a f(x) = 1/x − a, dá a iteração x_{n+1} = x_n(2 − a·x_n), formada apenas por multiplicações e subtrações, operações baratas para o hardware. O mesmo truque está por trás das rotinas rápidas de raiz inversa, incluindo a famosa do Quake III.