Integração por Substituição

A regra da cadeia, lida de trás para a frente, é uma forma de integrar: um integrando da forma g(u(x))·u′(x) é a derivada de G(u(x)). Abaixo, a área sob este integrando é cortada em fatias, e cada fatia é transposta para o eixo u, onde cobre um intervalo diferente com exatamente a mesma área. Depois, acompanhe o passo a passo de uma substituição e experimente resolver os seus próprios exercícios.

Indefinido	$\int g (u (x)) u^{'} (x) d x G^{'} = G (u (x)) + C, = g$
Definido: os limites acompanham u	$\int_{a}^{b} g (u (x)) u^{'} (x) d x = \int_{u (a)}^{u (b)} g (u) d u$

Exemplo resolvido — Integração por Substituição

Área em x, pela regra de Simpson	−0,7568
Com limites de x mantidos, o erro	0,9093
Fatias a avançar em u	−0,7568
Fatias a recuar em u	0,0000

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Integração por Substituição

A integração por substituição é a regra da cadeia lida de trás para a frente. Se um integrando tiver a forma g(u(x))·u′(x) e G for uma primitiva de g, então G(u(x)) é uma primitiva do integrando, porque a sua derivada é G′(u(x))·u′(x). Num integral definido, os limites movem-se com a variável: ∫_a^b g(u(x)) u′(x) dx = ∫_u(a)^u(b) g(u) du.

O que significa cada símbolo

u: a função interior, que passa a ser a nova variável
du: u′(x) dx, o fator que já tem de estar no integrando, a menos de uma constante

De onde vem a fórmula

Por que as fatias coincidem. Ao longo de uma fatia [x_i, x_i+1], a área sob g(u(x))·u′(x) é G(u(x_i+1)) − G(u(x_i)), porque G(u(x)) é uma primitiva, e essa é também a área sob g de u(x_i) a u(x_i+1), qualquer que seja a ordem destes dois números. Some as fatias e os termos interiores anulam-se aos pares, sobrando G(u(b)) − G(u(a)).
$\int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} g (u (x)) u^{'} (x) d x = G (u (x_{i + 1})) - G (u (x_{i})) = \int_{u (x_{i})}^{u (x_{i + 1})} g (u) d u, i \sum \Rightarrow G (u (b)) - G (u (a))$

Pressupõe: A área do lado x é calculada numericamente, pela regra de Simpson refinada onde a curva se dobra acentuadamente, e a do lado u a partir de G, logo a sua coincidência é uma verificação e não uma identidade. Concordam em quatro casas decimais em todas as configurações que os controlos permitem.

Problemas resolvidos na íntegra

Expressão linear no interior 3 passos
Calcule ∫(3x − 2)⁵ dx.

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1. A expressão interna é linear. Chamando-a de u, a sua derivada é a constante 3, logo dx é du/3:
  
  $u = 3 x - 2, d u = 3 d x, d x = \frac{d u}{3}$
2. Integre a potência de u:
  
  $\int u^{5} \frac{d u}{3} = \frac{u ^{6}}{18}$
3. Voltando a x:
  
  $\frac{( 3 x - 2 ) ^{6}}{18} + C$
Resposta

(3x − 2)⁶/18 + C. Esquecer o 3 dá (3x − 2)⁶/6. Se abrir o problema na ferramenta e escrever isso, o diagnóstico apontará uma derivada igual ao triplo do integrando.

$\int (3 x - 2)^{5} d x = \frac{( 3 x - 2 ) ^{6}}{18} + C$
A derivada já está presente 3 passos
Calcule ∫x(x² + 1)⁴ dx.

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1. O x ao lado dos parênteses é metade da derivada interna, 2x:
  
  $u = x^{2} + 1, d u = 2 x d x, x d x = \frac{d u}{2}$
2. Assim, todo o integral resume-se a uma potência de u:
  
  $\int u^{4} \frac{d u}{2} = \frac{u ^{5}}{10}$
3. De volta a x:
  
  $\frac{( x ^{2} + 1 ) ^{5}}{10} + C$
Resposta

(x² + 1)⁵/10 + C. É o x que faz isto funcionar. Sem ele, ∫(x² + 1)⁴ dx não tem nenhum du para aproveitar, e a saída seria desenvolver os parênteses.

$\int x (x^{2} + 1)^{4} d x = \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{5}}{10} + C$
O numerador é a derivada do denominador 3 passos
Calcule ∫(2x + 1)/(x² + x + 3) dx.

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1. O numerador é precisamente a derivada do denominador:
  
  $u = x^{2} + x + 3, d u = (2 x + 1) d x$
2. Assim, o integral passa a ser ∫du/u:
  
  $\int \frac{d u}{u} = ln ∣ u ∣$
3. Podemos dispensar as barras de módulo, pois o denominador nunca é negativo:
  
  $x^{2} + x + 3 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{11}{4} > 0 \Rightarrow ln (x^{2} + x + 3) + C$
Resposta

ln(x² + x + 3) + C. Procure este padrão em qualquer fração: ∫f′/f dx = ln|f| + C. Se o numerador fosse x + ½, a resposta seria metade disto.

$\int \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x + 3} d x = ln (x^{2} + x + 3) + C$
∫tan x 3 passos
Calcule ∫tan x dx.

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1. Escreva tan x como uma fração. O numerador é a derivada do denominador, a menos do sinal:
  
  $tan x = \frac{sin x}{cos x}, u = cos x, d u = - sin x d x$
2. Assim, o integral passa a ser −∫du/u:
  
  $\int \frac{sin x}{cos x} d x = - \int \frac{d u}{u} = - ln ∣ u ∣$
3. Voltamos a x. As duas formas são uma só resposta, pois −ln a = ln(1/a):
  
  $- ln ∣ cos x ∣ + C = ln ∣ sec x ∣ + C$
Resposta

−ln|cos x| + C, que também se escreve ln|sec x| + C. O sinal de menos é o que costuma ficar esquecido: a derivada de ln|cos x| é −tan x, e a ferramenta acusará o sinal trocado.

$\int tan x d x = - ln ∣ cos x ∣ + C$
u = ln x 3 passos
Calcule ∫(ln x)²/x dx para x > 0.

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1. O 1/x é a derivada de ln x, logo é o du:
  
  $u = ln x, d u = \frac{d x}{x}$
2. Resta apenas uma potência de u:
  
  $\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3}$
3. De volta a x:
  
  $\frac{( ln x ) ^{3}}{3} + C$
Resposta

(ln x)³/3 + C. Qualquer integrando da forma g(ln x)/x resolve-se da mesma maneira.

$\int \frac{( ln x ) ^{2}}{x} d x = \frac{( ln x ) ^{3}}{3} + C$
Quando x tem de ser escrito em função de u 4 passos
Calcule ∫x√(x + 1) dx.

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1. Seja u = x + 1, donde du = dx. O x que está à frente não faz parte de du; escreva-o em função de u:
  
  $u = x + 1, d u = d x, x = u - 1$
2. Desenvolva o produto para que cada termo seja uma potência de u:
  
  $\int (u - 1) u d u = \int (u^{3/2} - u^{1/2}) d u$
3. Integre cada potência:
  
  $= \frac{2}{5} u^{5/2} - \frac{2}{3} u^{3/2}$
4. Volte à variável x:
  
  $\frac{2}{5} (x + 1)^{5/2} - \frac{2}{3} (x + 1)^{3/2} + C$
Resposta

(2/5)(x + 1)^5/2 − (2/3)(x + 1)^3/2 + C. Integrar x e √(x + 1) em separado e multiplicar os resultados é o deslize a evitar: o integral de um produto não é o produto dos integrais.

$\int x x + 1 d x = \frac{2}{5} (x + 1)^{5/2} - \frac{2}{3} (x + 1)^{3/2} + C$
Mudar os limites com a variável 3 passos
Calcule ∫₀¹ 2x(x² + 1)³ dx.
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1. O 2x é o du para u = x² + 1:
  
  $u = x^{2} + 1, d u = 2 x d x$
2. Mude os limites com a variável:
  
  $x = 0 \Rightarrow u = 1, x = 1 \Rightarrow u = 2$
3. Integre entre os novos limites:
  
  $\int_{1}^{2} u^{3} d u = [\frac{u ^{4}}{4}]_{1}^{2} = \frac{16 - 1}{4} = \frac{15}{4}$
Resposta

15/4 = 3,75. Manter os limites antigos, de 0 a 1, dá 1/4. A outra via segura é voltar primeiro a x e usar os limites originais; misturar u com os limites antigos é o erro.

$\int_{0}^{1} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \frac{15}{4} = 3.75$
A que distância chega a área a 5? 4 passos
A curva x/(1 + x²) cai em direção a 0 à medida que x cresce. A que distância de 0 tem de estar o b para que a área de 0 a b alcance 5, e a que altura está a curva aí? Prima Um logaritmo lento: de 0 a 3 a área é 1,1513.

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1. Com u = 1 + x², du = 2x dx, logo x dx = du/2 e a área é metade de um logaritmo:
  
  $u = 1 + x^{2}, d u = 2 x d x : \int_{0}^{b} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + b^{2}} \frac{d u}{u} = \frac{1}{2} ln (1 + b^{2})$
2. Em b = 3 isso dá ½ ln 10, o valor na página. Iguale isso a 5:
  
  $\frac{1}{2} ln (1 + b^{2}) = 5 \Rightarrow b = e^{10} - 1 = 148.41$
3. Aí, a curva atinge apenas
  
  $f (148.41) = \frac{148 . 41}{1 + 148 . 4 1 ^{2}} = 0.0067$
4. Dobrar a área para 10 requer
  
  $\frac{1}{2} ln (1 + b^{2}) = 10 \Rightarrow b = e^{20} - 1 = 22, 026.47$
Resposta

b ≈ 148,4, onde a curva tem 0,0067 de altura. A área nunca para de crescer, mas para b grande cresce como ln b, pelo que cada nova unidade de área multiplica b por cerca de e ≈ 2,72. O cursor da página para em b = 5.

$b \approx 148.4, f (b) \approx 0.0067$

Pode dividir por uma constante em falta, nunca por um x 🖖

Prima Um −2 em falta. O integrando é x·e^−x² e foi digitado e^−x². Pela regra da cadeia, a sua derivada é e^−x²·(−2x), o que equivale a −2 vezes o integrando em cada ponto, e o veredito diz exatamente isso. Com u = −x², du = −2x dx: o x do integrando é o du de que precisa à parte o −2, e uma constante passa através do sinal de integral, pelo que pode dividir por ela. −½e^−x² está correto. Agora prima Um x em falta. O integrando é e^−x² sem nenhum x ao seu lado, e dividir de qualquer forma pelo −2x em falta dá e^−x²/(−2x). A regra do quociente desmonta isso: a sua derivada é o integrando vezes 1 + 1/(2x²), uma vez e meia maior em x = 1, ainda 1,0556 vezes grande demais em x = 3, e nunca é igual. Uma constante pode ser movida através de ∫, mas o x não, porque o x é a variável que o integral percorre: dividir uma resposta por um x em falta nunca é uma substituição. Nenhuma fórmula construída a partir de potências, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas tem como derivada e^−x²; Liouville provou isso, e o último degrau deste capítulo mostra o que isso significa.

Mantenha os limites de x e a área pode mudar de sinal 🖖

Prima Manter os limites?. O integrando 2x cos(x²) é cos u vezes du para u = x², de modo que as fatias de [0, 2] aterram em [0, 4] do eixo u, dado que 2² = 4. Ambos os painéis dão −0,7568, que é sin 4. O contorno a tracejado no painel inferior é o deslize: substituir no integrando mas manter os limites antigos, para que cos u seja integrado de 0 a 2. Isso dá sin 2 = 0,9093, positivo, ao passo que a verdadeira área é negativa. O cos u está abaixo de zero de u = π/2 em diante, o que representa mais de metade do intervalo [0, 4], e os limites antigos param em 2, antes da maior parte. Prima Mapear as fatias e a área de cada fatia entra em ambos os totais cumulativos no mesmo momento, pois ao longo de uma fatia ambos os lados são G(u(xᵢ₊₁)) − G(u(xᵢ)).

O u não tem de ser injetivo 🖖

Prima Ida e volta. Em [0, π], u = sin x sobe de 0 a 1 e volta a descer para 0. As fatias da primeira metade aterram em [0, 1] a viajar para a direita e transportam 1,7183, o que corresponde a e − 1. As fatias da segunda metade aterram no mesmo [0, 1] a viajar para a esquerda, hachuradas a vermelho, e transportam −1,7183, porque u′ = cos x é negativo aí e cada du também o é. Cancelam-se mutuamente, e ∫₀^π cos x·e^{sin x} dx = 0, igual ao integral vazio de u(0) = 0 a u(π) = 0. A regra de substituição exige que u′ seja contínua, e que g seja contínua em cada valor pelo qual u passa; nunca exige que u siga apenas num sentido. Uma fatia que corre para trás é subtraída, e essa é toda a contabilidade necessária. Em vez disso, mantenha os limites de x aqui, e irá integrar eᵘ de 0 a π: 22,1407.

Percurso de aprendizagem

Técnicas de integração

Referências (2)

The rule in both forms: Theorem 5.7 (∫f[g(x)]g′(x) dx = ∫f(u) du = F(g(x)) + C) and Theorem 5.8 (∫ₐᵇ f(g(x))g′(x) dx = ∫ from g(a) to g(b) of f(u) du, “using substitution to evaluate a definite integral requires a change to the limits of integration”). Theorem 5.8 asks that g′ be continuous on [a, b] and f continuous over the range of u = g(x), and nothing about g being one-to-one: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.5, “Substitution”.
Why no substitution, and no other method, can integrate e^(−x²): Liouville's theorem, and its criterion that f(x)·e^(g(x)) has an elementary antiderivative exactly when R′ + g′R = f has a rational solution R (Theorem 4.4; Example 4.6 proves e^(−x²) has none). For x·e^(−x²), R = −½ works: B. Conrad, “Impossibility theorems for elementary integration”, lecture notes, Stanford University (author's copy).

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.