Calculadora de composição de funções

Insira f(x), g(x) e x0 para compor funções, comparar a ordem e ver cada passo de avaliação.

Valores iniciais — Calculadora de composição de funções

Função externa f(x)	x²
Expressão de f de x	x^2
Função interna g(x)	sin(x)
Expressão de g de x	sin(x)
Ponto de avaliação x	0

Altere qualquer controlo acima e os resultados são recalculados.

A carregar a simulação interativa...

Trocar a ordem muda a resposta, não só a notação 🖖

A composição não é comutativa, e a diferença não é subtil. Tome f(x) = x² e g(x) = 2x + 3 em x = 2, um dos presets desta ferramenta. Passando primeiro por g: f(g(2)) = f(7) = 49. Passando primeiro por f: g(f(2)) = g(4) = 11. As mesmas duas funções, a mesma entrada, e as respostas diferem em 38. É por isso que o botão de troca aqui merece ser apertado em vez de presumido: f∘g e g∘f são funções genuinamente diferentes, e a regra comum de que a × b é b × a não se transfere.

Duas máquinas em sequência 🖖

Compor funções significa simplesmente aplicá-las uma a seguir à outra: em f(g(x)), aplica-se primeiro g a x e, depois, f ao resultado de g. Imagine uma linha de montagem em que cada posto transforma a peça antes de a passar ao seguinte. Calcule sempre das expressões entre parênteses mais interiores para as exteriores: g(x0) vem antes de f.

O fractal escondido na composição repetida 🖖

Componha uma função simples com ela mesma várias e várias vezes e você deixa a álgebra pela teoria do caos. Iterar z ↦ z² + c — a mesma máquina recebendo de volta a própria saída — é exatamente a regra que desenha o conjunto de Mandelbrot: um ponto pertence ao conjunto apenas se essa autocomposição infinita permanecer limitada. Assim, o humilde botão f(g(x)) está a um passo de gerar fractais infinitamente detalhados.

Equívoco comum

Coincidir em um único valor de x não prova que duas funções compostas são iguais. Para mostrar que f(g(x)) = g(f(x)) como funções, elas devem coincidir em todo o domínio compartilhado.

Problemas resolvidos na íntegra

Composições de f(x) = x² e g(x) = 2x + 3 5 passos
f(x) = x², g(x) = 2x + 3, avaliadas em x₀ = 2. Efetue a composição em ambas as ordens e, em seguida, responda à questão mais difícil que o painel deixa em aberto: a divergência é um acaso da escolha de x₀ = 2, ou estas duas composições diferem para todo o x?
1. Efetue a composição simbolicamente antes de a efetuar numericamente. Em f∘g a função interior é executada em primeiro lugar, pelo que a expressão inteira 2x + 3 é a que é elevada ao quadrado — não o x, nem o 3 isoladamente.
  
  $(f \circ g) (x) = f (2 x + 3) = (2 x + 3)^{2} = 4 x^{2} + 12 x + 9$
2. Ao inverter a ordem, a elevação ao quadrado acontece primeiro, pelo que é o x² que é duplicado e deslocado. Ambos os resultados são expressões quadráticas, mas apenas uma delas tem um termo linear, e esse termo é a razão de toda a divergência.
  
  $(g \circ f) (x) = g (x^{2}) = 2 x^{2} + 3$
3. Substitua x₀ = 2 em cada uma. Os valores intermédios são o aspeto a observar: Numa das ordens, 7 entra na função exterior e na outra entra 4, pelo que é colocada uma questão diferente à função exterior em cada caso. O painel apresenta cada um deles — 7 e 4 à entrada, 49 e 11 à saída.
  
  $(f \circ g) (2) = 7^{2} = 49, (g \circ f) (2) = 2 \cdot 4 + 3 = 11$
4. A subtração transforma uma comparação num ponto numa função que pode ser analisada em todo o lado. O seu valor em 2 é 38, que é 49 − 11, pelo que nada se perdeu na álgebra.
  
  $D (x) = (f \circ g) (x) - (g \circ f) (x) = 2 x^{2} + 12 x + 6, D (2) = 38$
5. A diferença é um polinómio do segundo grau com um coeficiente de x² positivo, pelo que se pode anular no máximo duas vezes — e como o discriminante 36 − 12 é positivo, anula-se efetivamente duas vezes. Resolver a equação é o único passo que resta.
  
  $D (x) = 0 ⟺ x^{2} + 6 x + 3 = 0 ⟺ x = - 3 \pm 6 = - 0.5505, - 5.4495$
Resposta

49 contra 11, uma diferença de 38, com 7 e 4 como os valores intermédios que o painel apresenta ao lado deles. O resultado mais forte é aquele que o painel não consegue alcançar: em toda a reta real, estas duas composições coincidem em exatamente 2 pontos, x = −3 ± √6, ou seja, −0,5505 e −5,4495. Apenas o primeiro se situa dentro da janela de −3 a 3 que o gráfico desenha. Por isso, x₀ = 2 não foi uma escolha afortunada — quase qualquer x₀ teria produzido uma divergência, e o veredito do painel de 'diferente' é a resposta que daria em todas as entradas exceto em 2. Além disso, as curvas cruzam-se em vez de apenas se tocarem, e é a regra da cadeia que o demonstra: derivar a diferença dá 2(2x + 3)·2 − 2·2x = 4x + 12, que nas duas raízes é +9,798 e −9,798 — iguais em módulo, opostos em sinal, porque entre as raízes é a função g∘f que assume valores mais elevados, por uma margem de 12 em x = −3 onde a janela do gráfico começa.

$D^{'} (x) = 2 (2 x + 3) \cdot 2 - 2 \cdot 2 x = 4 x + 12, D^{'} (- 3 \pm 6) = \pm 46 = \pm 9.798$
Domínio de composições para f(x) = √x e g(x) = x² − 1 5 passos
f(x) = √x, g(x) = x² − 1, em x₀ = 0,5. Uma das ordens devolve um número e a outra não devolve absolutamente nada. Determine o domínio de cada composição e, em seguida, encontre todos os x em que ambas coincidem.
1. Siga f∘g ao longo do processo e observe onde falha. 0,5 é uma entrada perfeitamente válida para g, e −0,75 é uma saída perfeitamente válida de g. O que é inválido é a transmissão: −0,75 não é um valor do qual se possa calcular a raiz quadrada. O painel apresenta −0,75 e depois não tem qualquer número para apresentar para a própria composição.
  
  $g (0.5) = 0. 5^{2} - 1 = - 0.75 ⟹ f (g (0.5)) = - 0.75 \in / R$
2. A outra ordem resiste a essa mesma transmissão, porque √0,5 = 0,707107 é uma entrada válida para g. Ambos os valores constam no painel, e a nenhuma das composições foi atribuído um x₀ diferente.
  
  $f (0.5) = 0.5 = 0.707107 ⟹ g (f (0.5)) = 0.70710 7^{2} - 1 = - 0.5$
3. Escreva corretamente os dois domínios, trabalhando de dentro para fora. f∘g exige que a saída de g seja não negativa, o que é uma condição sobre x²; g∘f exige apenas que o próprio x admita raiz quadrada.
  
  $f \circ g : x^{2} - 1 \geq 0 ⟺ ∣ x ∣ \geq 1; g \circ f : x \geq 0$
4. No seu próprio domínio, cada composição simplifica-se, e uma delas simplifica-se de forma surpreendente: elevar uma raiz quadrada ao quadrado anula-a, pelo que g∘f é uma reta. A composição de 2 funções curvas produziu algo sem qualquer curvatura.
  
  $(f \circ g) (x) = x^{2} - 1, (g \circ f) (x) = (x)^{2} - 1 = x - 1$
5. Onde ambas estão definidas, determine quando são iguais. O termo x² simplifica-se em ambos os membros e o que resta é linear, pelo que existe no máximo 1 solução.
  
  $x^{2} - 1 = x - 1 ⟺ x^{2} - 1 = x^{2} - 2 x + 1 ⟺ x = 1$
Resposta

f(g(0,5)) não tem valor enquanto g(f(0,5)) = −0,5, com −0,75 e 0,707107 no painel como os dois valores intermédios que o decidiram. A ordem alterou o domínio aqui antes de alterar qualquer valor, e essa é a diferença que nenhuma escolha de x₀ consegue corrigir: f∘g existe apenas onde |x| ≥ 1 e g∘f apenas onde x ≥ 0, pelo que partilham apenas [1, ∞). Na janela de −3 a 3 que o gráfico desenha, a curva de f∘g está simplesmente ausente num intervalo de uma unidade inteira para cada lado de 0, enquanto a reta de g∘f passa diretamente. Onde se sobrepõem, coincidem exatamente uma vez, em x = 1, ambas iguais a 0, e depois separam-se de imediato: em x = 3 registam √8 = 2,828 e 2. 'A composição não é comutativa' é geralmente ensinada como uma afirmação sobre valores. Aqui, é uma afirmação sobre que perguntas podem ser feitas.

$dom (f \circ g) \cap dom (g \circ f) = [1, \infty), 3^{2} - 1 = 2.828 \neq = 2$

Referências (1)

Insight block 3 says a fractal is hiding in repeated composition. This is the field that grew out of asking where: J. Milnor, "Using the Fatou Set to Study the Julia Set", in Dynamics in One Complex Variable, 174–218. Princeton University Press, 3rd edition, 2011.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-06-03

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Problemas de exemplo

linear após quadrática - 2x + 3 depois de x² - 1, para x = 2: numa ordem, f(3) = 9; na outra, g(7) = 48. O mesmo par de funções, com uma diferença de 39.
quadrática após linear - x² depois de 2x + 3, para x = 2: numa ordem, f(7) = 49; na outra, g(4) = 11, uma diferença de 38. O problema resolvido pergunta então se as duas ordens alguma vez dão o mesmo resultado.
quadrado após seno - f(g(1)) eleva o seno ao quadrado: sin²(1) = 0,7081. Já g(f(1)) calcula o seno do quadrado; como 1² = 1, o resultado é simplesmente sin(1) = 0,8415.
exemplo de domínio - É o único exemplo predefinido em que uma das ordens não tem valor: g(0,5) = -0,75, cuja raiz quadrada não está definida, enquanto a ordem inversa dá -0,5. A ordem pode determinar se existe uma resposta.
iguais em um ponto - x² composta com a identidade — as duas ordens dão x², porque a identidade é a única função que deixa tudo inalterado na composição