Primitivas

A integração tem uma regra da potência, tal como a derivação, e todas as tabelas indicam uma exceção: n = −1. Deslize n por essa exceção e observe o que acontece. Depois, acompanhe o cálculo de um integral, uma regra de cada vez, e experimente: digite uma primitiva, e a página calcula a derivada e compara o resultado com o integrando.

Regra da potência	$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C, n \neq = - 1$
A exceção, n = −1	$\int \frac{d x}{x} = ln ∣ x ∣ + C$

Exemplo resolvido — Primitivas

Constante entre as duas fórmulas	100,00
Distância até ln x, a dividir por n + 1	0,9654

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Primitivas

Uma primitiva de f num intervalo é uma função F onde F′(x) = f(x) em cada x do intervalo. Se F for uma primitiva, F + C também o é para qualquer constante C, e num intervalo não existem outras; num domínio dividido em duas partes, como x ≠ 0 para 1/x, cada parte leva a sua própria constante. O integral indefinido ∫f(x) dx dá nome a toda a família.

O que significa cada símbolo

F_n: a primitiva de xⁿ passando por (1, 0): (xⁿ⁺¹ − 1)/(n + 1), que é ∫₁^x tⁿ dt, e ln x em n = −1
C: a constante de integração. A sua derivada é 0, pelo que qualquer valor resulta numa primitiva

De onde vem a fórmula

Por que razão 1/(n + 1) é a constante a remover. F_n(x) = ∫₁^x tⁿ dt é a área sob tⁿ de 1 a x. Uma pequena alteração em n muda ligeiramente cada altura tⁿ, logo a área também sofre uma pequena alteração: F_n não pode saltar à medida que n passa por −1, e em n = −1 tem de ser a área sob 1/t de 1 a x, que é ln x. A fórmula dos manuais é F_n + 1/(n + 1), e essa constante é o que diverge.
$F_{n} (x) = \int_{1}^{x} t^{n} d t = \frac{x ^{n + 1} - 1}{n + 1} = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} - \to \pm \infty \frac{1}{n + 1}$
O limite, calculado. Tome h = n + 1 e desenvolva xʰ em série de h. A diferença em relação a ln x é de cerca de h(ln x)²/2, que em x = 4 vale 0,9609h: o valor para o qual a última coluna da tabela tende.
$x^{h} = e^{h l n x} = 1 + h ln x + \frac{h ^{2} ( ln x ) ^{2}}{2} + \dots \Rightarrow F_{n} (x) = \frac{x ^{h} - 1}{h} = ln x + \frac{h ( ln x ) ^{2}}{2} + \dots$

Pressupõe: A verificação é numérica. A página calcula a derivada exata do seu F, seguindo as regras que usaria, e de seguida compara F′ com f em 120 pontos distribuídos pelo intervalo, nenhum deles um número inteiro, aceitando uma diferença relativa de até 10⁻⁶; um fator omitido ou um sinal errado resulta numa diferença da ordem de 1. Onde f está definida e o seu F não, a resposta falha. Quando f é contínua em todo o intervalo, a página também integra f numericamente entre pontos vizinhos e compara esse valor com a variação do seu F, detetando respostas que estão certas por partes, mas apresentam saltos.

Problemas resolvidos na íntegra

Desenvolver antes de integrar 3 passos
Calcule ∫(x² + 1)² dx.

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1. Não há regra da potência para parênteses. Desenvolva o produto para que cada termo se torne uma potência de x:
  
  $(x^{2} + 1)^{2} = x^{4} + 2 x^{2} + 1$
2. Integre termo a termo, somando um a cada expoente e dividindo pelo novo expoente:
  
  $\int (x^{4} + 2 x^{2} + 1) d x = \frac{x ^{5}}{5} + 2 \cdot \frac{x ^{3}}{3} + x + C$
3. Verifique derivando:
  
  $\frac{d}{d x} (\frac{x ^{5}}{5} + \frac{2 x ^{3}}{3} + x) = x^{4} + 2 x^{2} + 1$
Resposta

x⁵/5 + 2x³/3 + x + C. Integrar os parênteses diretamente, obtendo (x² + 1)³/3, é o deslize clássico. A derivada dessa tentativa é 2x(x² + 1)², e o 2x vem de dentro dos parênteses, algo que a regra da potência jamais contempla. Abra o problema na ferramenta e digite essa resposta para ver as duas curvas se afastarem.

$\int (x^{2} + 1)^{2} d x = \frac{x ^{5}}{5} + \frac{2 x ^{3}}{3} + x + C$
Dividir antes de integrar 3 passos
Calcule ∫(x³ − 2√x + 5)/x dx para x > 0.

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1. Divida cada termo por x e escreva-o como potência:
  
  $\frac{x ^{3} - 2 x + 5}{x} = x^{2} - 2 x^{- 1/2} + 5 x^{- 1}$
2. Os dois primeiros termos seguem a regra da potência:
  
  $\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}, - 2 \int x^{- 1/2} d x = - 2 \cdot \frac{x ^{1/2}}{1/2} = - 4 x$
3. O terceiro é x⁻¹, a única potência pela qual a regra não pode dividir:
  
  $5 \int x^{- 1} d x = 5 ln ∣ x ∣ = 5 ln x (x > 0)$
Resposta

x³/3 − 4√x + 5 ln x + C. Podemos dispensar as barras de ln|x|: o problema já foi definido para x > 0, exigência que a própria √x já faz de qualquer modo.

$\int \frac{x ^{3} - 2 x + 5}{x} d x = \frac{x ^{3}}{3} - 4 x + 5 ln x + C$
Três linhas da tabela 2 passos
Calcule ∫(2 cos x − 3 sin x + 4/(1 + x²)) dx.

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1. Cada termo está na tabela:
  
  $\int cos x d x = sin x, \int sin x d x = - cos x, \int \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctan x$
2. Conserve as constantes e substitua cada função por sua primitiva:
  
  $2 sin x - 3 (- cos x) + 4 arctan x$
Resposta

2 sin x + 3 cos x + 4 arctan x + C. O termo do meio é o que costuma dar errado. A primitiva de sin x é −cos x, de modo que −3 sin x se integra em +3 cos x; o sinal de menos vem da derivada de cos x, que fornece −sin x.

$\int (2 cos x - 3 sin x + \frac{4}{1 + x ^{2}}) d x = 2 sin x + 3 cos x + 4 arctan x + C$
Uma condição fixa a constante 2 passos
Determine f se f′(x) = 6x² − 4x + 1 e f(1) = 5.

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1. Integre primeiro, mantendo C:
  
  $f (x) = \int (6 x^{2} - 4 x + 1) d x = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + C$
2. Depois, ponha x = 1 e determine C:
  
  $f (1) = 2 - 2 + 1 + C = 1 + C = 5 \Rightarrow C = 4$
Resposta

f(x) = 2x³ − 2x² + x + 4. A ferramenta verifica tanto a condição quanto a derivada. Se deixar C em 0, ela aceita F′ = f, mas indica F(1) = 1 em vez de 5 e pede para ajustar a constante em 4.

$f (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 4$
Duas integrações, duas constantes 2 passos
Determine f se f″(x) = 12x − 6, f′(0) = 2 e f(0) = −1.

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1. Integre uma vez para obter f′ e use a condição sobre f′ para fixar a sua constante:
  
  $f^{'} (x) = \int (12 x - 6) d x = 6 x^{2} - 6 x + C_{1}, f^{'} (0) = C_{1} = 2$
2. Integre de novo e use a condição sobre f:
  
  $f (x) = \int (6 x^{2} - 6 x + 2) d x = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + C_{2}, f (0) = C_{2} = - 1$
Resposta

f(x) = 2x³ − 3x² + 2x − 1. Cada integração traz a sua própria constante, e cada condição fixa uma delas. A ferramenta abre na segunda integração, com f′ no integrando e f(0) = −1 como condição.

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1$
ln|x| do lado negativo 2 passos
Determine f se f′(x) = 2/x para x < 0 e f(−1) = 3.

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1. Para x negativo, ln x não tem valor, mas ln(−x) tem, e a sua derivada é 1/x:
  
  $x < 0 : \frac{d}{d x} ln (- x) = \frac{- 1}{- x} = \frac{1}{x}$
2. Assim, f(x) = 2 ln|x| + C, e a condição fixa C:
  
  $f (x) = 2 ln ∣ x ∣ + C, f (- 1) = 2 ln 1 + C = C = 3$
Resposta

f(x) = 2 ln|x| + 3 para x < 0. A condição não diz nada sobre x positivo. Como 1/x não está definido em 0, uma função igual a 2 ln x + 7 para x > 0 atenderia ao problema da mesma forma.

$f (x) = 2 ln ∣ x ∣ + 3 (x < 0)$
Calcular ln 4 com uma tecla de raiz quadrada 4 passos
Uma calculadora possui uma tecla de raiz quadrada e não tem tecla ln. Utilize o limite desta página para calcular ln 4 com quatro casas decimais. Prima primeiro n = −0,99: a curva por (1, 0) marca 1,3959 em x = 4, ainda bastante acima de ln 4 = 1,3863.

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1. Dez pressões na tecla de raiz quadrada elevam 4 à potência de 1/1024, portanto h = n + 1 = 1/1024:
  
  $4^{1/1024} = 1.001354720, h = n + 1 = \frac{1}{1024}$
2. A curva por (1, 0) para esse h, a fórmula da página com uma subtração e uma multiplicação:
  
  $F (h) = \frac{4 ^{h} - 1}{h} = 1.3872332$
3. A sua distância até ln 4 é cerca de h(ln 4)²/2, a última coluna da tabela a multiplicar por h. Isso é demasiado grande para quatro casas decimais:
  
  $\frac{h ( ln 4 ) ^{2}}{2} = \frac{0 . 9609}{1024} = 0.000938$
4. Mais uma raiz quadrada reduz h a metade, e com ele a distância. O dobro da nova leitura menos a antiga cancela o termo principal da distância:
  
  $2 F (\frac{h}{2}) - F (h) = 2 \times 1.3867637 - 1.3872332 = 1.386294$
Resposta

ln 4 ≈ 1,3863. A combinação 2F(h/2) − F(h) elimina o erro que é proporcional a h e deixa um erro proporcional a h², aqui cerca de 2×10⁻⁷. A página move n em passos de 0,01, pelo que h = 1/2048 está muito para além do que o seu controlo deslizante consegue mostrar.

$ln 4 \approx 1.3863$

ln x é o próprio limite da regra da potência 🖖

Prima n = −0,99. A primitiva de xⁿ dos manuais é xⁿ⁺¹/(n + 1), que divide por zero em n = −1, razão pela qual as tabelas listam ∫x⁻¹ dx = ln|x| como uma regra à parte. O fantasma a tracejado mostra o que a fórmula faz a caminho de lá: em x = 4 vale 101,40, e cresce sem limite à medida que n se aproxima. Todo esse crescimento está na constante. Subtraia 1/(n + 1), aqui 100,00, e obterá a primitiva por (1, 0), a curva contínua, que está em 1,3959 contra ln 4 = 1,3863. Prima Variar n de −2 a 0 e observe n a passar por −1: o fantasma sai do gráfico, a curva contínua nunca salta, e em n = −1 é ln x. Não pode saltar porque é a área sob tⁿ de 1 a x, e uma pequena alteração em n altera cada altura tⁿ apenas um pouco. Grégoire de Saint-Vincent chegou ao mesmo facto pelo outro lado no seu Opus geometricum de 1647: a área sob a hipérbole de a a b depende apenas de b/a. O seu pupilo Alphonse Antonio de Sarasa percebeu que isso faz da área um logaritmo.

ln x responde a 1/x em apenas metade da reta 🖖

Prima ln x para 1/x. O avaliador pede uma primitiva de 1/x em −4 ≤ x ≤ 4, e digitou-se ln x. Onde quer que ln x exista a sua derivada é 1/x, pelo que parece correto, contudo a verificação recusa-a: em x = −2,75, onde 1/x vale −0,364, ln x não tem valor. O que funciona de ambos os lados é ln|x|, porque a derivada de ln(−x) é −1/(−x) = 1/x. Digite-o, e o painel superior desenha dois ramos com cópias a cinzento que deslocam cada ramo numa quantidade diferente. Essas respostas também passariam. Digite ln|x| + 3sgn(x), que é ln|x| + 3 à direita de 0 e ln|x| − 3 à esquerda, e a resposta é aceite; o painel desenha a sua diferença para ln|x| como dois segmentos planos, em 3 e −3. Como 1/x não está definido em 0, nada liga a constante da esquerda à da direita. As tabelas escrevem ln|x| + C com um único C, mas em todo o domínio a primitiva geral tem uma constante para cada lado. Quando o integrando é contínuo em todo o intervalo, como é o caso de x³, a verificação recusa respostas que deem saltos, mesmo que a sua derivada corresponda à função onde existe.

Duas respostas sem qualquer semelhança podem ambas estar certas 🖖

Prima Duas formas, uma resposta. O integrando é (x + 1)². Aumentando a potência e dividindo, obtém-se (x + 1)³/3; expandindo primeiro, chega-se a x³/3 + x² + x. Colocadas lado a lado, parecem uma resposta certa e uma errada, no entanto o avaliador aceita ambas. A linha O seu F menos o nosso explica a razão: −1/3 em cada ponto, pois (x + 1)³/3 expande-se para x³/3 + x² + x + 1/3. Prima 2 sin x cos x para um caso mais evidente. As expressões sin²x, −cos²x e −cos(2x)/2 não partilham nenhum termo visível, mas estão todas corretas, distando 1 e ½ umas das outras. Portanto, a verificação nunca decide comparando a sua resposta com a da página. Ela deriva a sua, visto que a derivação é um procedimento com um resultado único, e compara-o com o integrando. Encontrar uma primitiva é uma procura, e duas boas procuras podem parar em constantes diferentes.

Percurso de aprendizagem

Técnicas de integração

Referências (2)

The definition the page checks against (“F is an antiderivative of f if F′(x) = f(x) for all x in the domain of f”), the power rule with its exception (Theorem 4.15: for n ≠ −1, ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C), and the derivation of d/dx ln|x| = 1/x from ln(−x) on x < 0: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.10, “Antiderivatives”.
Grégoire de Saint-Vincent's Opus geometricum (Antwerp, 1647) showed that the area under a rectangular hyperbola over [a, b] equals the area over [c, d] when a/b = c/d, and his pupil Alphonse Antonio de Sarasa made the connection with logarithms: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Grégoire de Saint-Vincent”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated November 2010).

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.