Explorador de Derivadas e Tangentes

Escolhe uma curva e um ponto. A corda laranja liga esse ponto a outro, cuja abcissa difere de h. À medida que h diminui, o declive da corda aproxima-se do declive da tangente, que é a derivada.

A derivada	$f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$
A tangente em a	$y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$
Derivadas nesta página	$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1} (e^{x})^{'} = e^{x}, (ln x)^{'} = \frac{1}{x} (sin x)^{'} = cos x, (cos x)^{'} = - sin x$

Exemplo resolvido — Explorador de Derivadas e Tangentes

A curva em x	1
A curva em x + h	1,21
O declive da corda	2,1
A derivada, declive da tangente	2
Declive da corda menos a derivada	0,1
A tangente	2x − 1
A normal	−0,5x + 1,5

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Explorador de Derivadas e Tangentes

A derivada de f em x é o declive da curva nesse ponto. Define-se como o limite do declive de uma corda: f′(x) = lim (f(x + h) − f(x))/h quando h → 0, se esse limite existir.

O que significa cada símbolo

h: o incremento na abcissa entre x e o segundo extremo da corda
f′(x): a derivada: o declive da tangente em x

De onde vem a fórmula

Uma corda. Dois pontos da curva, de abcissas x e x + h, determinam a reta que contém a corda laranja. O seu declive é o quociente entre a variação da ordenada e a variação da abcissa.
$m_{chord} = \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$
Reduz h. Para f(x) = x², o declive da corda é exatamente 2x + h. Quando h tende para 0, esse declive aproxima-se de 2x. Não podemos substituir h por 0, pois obteríamos o quociente 0/0; calculamos o limite quando h se aproxima de 0.
$\frac{( x + h ) ^{2} - x ^{2}}{h} = \frac{2 x h + h ^{2}}{h} = 2 x + h h \to 0 2 x$
A tangente e a normal. A tangente em a passa por (a, f(a)) e tem declive f′(a). A normal é perpendicular à tangente nesse ponto, pelo que o seu declive é o simétrico do inverso, −1/f′(a). Quando f′(a) = 0, a normal é a reta vertical x = a.
$y = f^{'} (a) (x - a) + f (a) y = - \frac{1}{f ^{'} ( a )} (x - a) + f (a)$
Quando não existe derivada. Se os declives das cordas pela esquerda e pela direita se aproximarem de valores diferentes, não existe derivada. No ponto anguloso de |x| em 0, esses valores são −1 e 1.
$h \to 0^{-} lim \frac{∣ h ∣}{h} = - 1 \neq = 1 = h \to 0^{+} lim \frac{∣ h ∣}{h}$

Um ponto plano não é sempre um máximo ou um mínimo 🖖

Uma derivada nula significa que a tangente é horizontal. Por si só, não garante um máximo nem um mínimo. Carrega em Inflexão de x³: o declive indicado é 0, mas a curva cresce de ambos os lados, apenas com uma pausa nesse ponto. É um ponto de inflexão. Num problema de otimização, encontrar os pontos onde a derivada se anula é apenas metade do trabalho. Falta examinar o sinal do declive de cada lado: a derivada num único ponto não permite distinguir um cume de um patamar numa escadaria.

A curva que não tem tangente em ponto algum 🖖

As seis curvas disponíveis têm tangente em todos os pontos, mas uma função contínua pode não ter tangente em ponto algum. Em 1872, Karl Weierstrass construiu uma função contínua em toda a parte e sem derivada em nenhum ponto. A curva é irregular a qualquer escala, pelo que o declive das cordas nunca estabiliza. O exemplo surpreendeu os matemáticos, que julgavam que uma curva contínua teria tangente, salvo em pontos isolados, como Ampère tentara demonstrar em 1806. Mais tarde, encontrou-se a mesma irregularidade na natureza: a trajetória de uma partícula em movimento browniano não tem tangente em ponto algum, e uma linha de costa apresenta um comportamento semelhante numa vasta gama de escalas.

DERIVADAS — QUAL REGRA SE APLICA E O QUE A INCLINAÇÃO REALMENTE DIZ

Em que caso de derivada você está?

A derivada é uma ideia só — a inclinação da tangente, o limite de (f(x+h) − f(x))/h — mas como calculá-la depende do tipo de função que lhe deram, e como ler a resposta depende de ela sair positiva, negativa ou zero. Três regras padrão cobrem quase todas as funções que você verá; o quarto caso é aquele em que inclinação nula não significa o que todo mundo supõe.

Regra da potência — um termo polinomial d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

Trigonométrica — seno e cosseno trocam de lugar d/dx sin x = cos x

Exponencial — a função é a própria derivada d/dx e^x = e^x

Inclinação zero que não é máximo nem mínimo f′ = 0, f″ = 0

Regra da potência — um termo polinomial

O que você sabe: A função é xⁿ, ou uma soma de termos assim. Traga o expoente para a frente e subtraia um dele.

Regra: d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

Exemplo resolvido: f(x) = x² em x = 1 → f′(x) = 2x → f′(1) = 2, então a tangente é y = 2x − 1

Abrir este caso: x² em x=1

Regra da potência — um termo polinomial. A tangente em x = 1 tem inclinação 2 e toca a parábola num único ponto. A função é xⁿ, ou uma soma de termos assim. Traga o expoente para a frente e subtraia um dele. — A tangente em x = 1 tem inclinação 2 e toca a parábola num único ponto.

Trigonométrica — seno e cosseno trocam de lugar

O que você sabe: A função é sin x ou cos x. Derivar gira você pelo ciclo: sin → cos → −sin → −cos → sin.

Regra: d/dx sin x = cos x

Exemplo resolvido: f(x) = sin x em x = 0 → f′(x) = cos x → f′(0) = 1, então a tangente é y = x

Abrir este caso: sin em x=0

Trigonométrica — seno e cosseno trocam de lugar. Na origem sin x tem inclinação 1, então a tangente é a reta y = x. A função é sin x ou cos x. Derivar gira você pelo ciclo: sin → cos → −sin → −cos → sin. — Na origem sin x tem inclinação 1, então a tangente é a reta y = x.

Exponencial — a função é a própria derivada

O que você sabe: A função é eˣ. Derivar não muda absolutamente nada: f′(x) = f(x) em todo ponto.

Regra: d/dx e^x = e^x

Exemplo resolvido: f(x) = eˣ em x = 0 → f′(x) = eˣ → f′(0) = 1, então a tangente é y = x + 1

Abrir este caso: eˣ em x=0

Exponencial — a função é a própria derivada. Altura e inclinação são o mesmo número em cada ponto da curva. A função é eˣ. Derivar não muda absolutamente nada: f′(x) = f(x) em todo ponto. — Altura e inclinação são o mesmo número em cada ponto da curva.

Inclinação zero que não é máximo nem mínimo

O que você sabe: f′ = 0 no ponto, então ele é estacionário — mas o sinal de f′ é o mesmo dos dois lados, então não é um ponto de retorno.

Regra: f′ = 0, f″ = 0

Exemplo resolvido: f(x) = x³ em x = 0 → f′(x) = 3x² → f′(0) = 0, e ainda assim f′ > 0 dos dois lados: a curva achata e segue subindo

Abrir este caso: inflexão x³

Inclinação zero que não é máximo nem mínimo. A tangente é horizontal na origem, mas a curva continua subindo dos dois lados. f′ = 0 no ponto, então ele é estacionário — mas o sinal de f′ é o mesmo dos dois lados, então não é um ponto de retorno. — A tangente é horizontal na origem, mas a curva continua subindo dos dois lados.

Referências (1)

Insight block 3 — continuous everywhere, differentiable nowhere: K. Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen." Read to the Berlin Academy, 18 July 1872; printed in Mathematische Werke, vol. 2, 71–74.

Problemas resolvidos na íntegra

O declive e a tangente de f(x) = x² em x = 1 5 passos
f(x) = x², em x = 1. Calcula o declive nesse ponto a partir da definição, escreve a equação da tangente e determina a distância vertical exata entre a tangente e a curva um décimo de unidade mais à direita.
1. Um ponto, por si só, não tem declive. Para medir uma variação precisamos de dois pontos: escolhe o segundo com um incremento h na abcissa e divide a variação da ordenada por esse incremento. Todo o cálculo diferencial assenta neste quociente e na passagem ao limite.
  
  $\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = \frac{( 1 + h ) ^{2} - 1 ^{2}}{h}$
2. Desenvolve o quadrado. Os termos constantes anulam-se e todos os termos que restam têm h em fator, permitindo simplificar o h do denominador. Repara na condição desta simplificação: é válida para qualquer h diferente de 0, precisamente o valor de que nos estamos a aproximar.
  
  $= \frac{1 + 2 h + h ^{2} - 1}{h} = \frac{h ( 2 + h )}{h} = 2 + h (h \neq = 0)$
3. É por isso que calculamos um limite em vez de fazer uma substituição direta. A expressão 2 + h é afim em h, e o valor de que se aproxima pode ler-se sem qualquer aproximação numérica. Obtemos assim o declive 2 em x = 1, sem recorrer à regra 2x.
  
  $h \to 0 lim (2 + h) = 2 ⟹ f^{'} (1) = 2$
4. Para determinar uma tangente, precisamos de um ponto e de um declive. Já temos ambos: a curva passa por (1, 1) e tem aí declive 2.
  
  $y - 1 = 2 (x - 1) ⟹ y = 2 x - 1$
5. Subtrai a expressão da reta à da curva. A diferença fatoriza-se exatamente: para qualquer x, a parábola está (x − 1)² acima da tangente. A um incremento h corresponde, portanto, uma diferença de altura h².
  
  $x^{2} - (2 x - 1) = (x - 1)^{2} ⟹ h = 0.1 : 0.01, h = 0.01 : 0.0001$
Resposta

f′(1) = 2 e a tangente é y = 2x − 1. A diferença de altura é exatamente h²: ao dividir o incremento por 10, o erro da aproximação pela tangente fica dividido por 100, passando de 0,01 para 0,0001. É esta relação quadrática que justifica aproximar uma curva por uma reta nas proximidades de um ponto. O sinal da diferença revela ainda mais do que o seu tamanho. Como (x − 1)² nunca é negativo, a parábola toca nas suas tangentes sem nunca as atravessar. Compara com f(x) = x³ em x = 0: a tangente é o eixo das abcissas e a diferença é o próprio x³, negativo à esquerda e positivo à direita. A tangente atravessa, por isso, a curva. Ambas as funções têm uma tangente horizontal num ponto, mas só uma tem aí um extremo. Para reconhecer um mínimo, a derivada nula não basta; é o sinal da diferença que permite concluir.

$f (1 + h) - [2 (1 + h) - 1] = h^{2} \forall h$
1/x a partir da definição 3 passos
Calcula a derivada de f(x) = 1/x a partir da definição e determina a tangente em x = 2.

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1. Escreve o declive da corda e reduz as duas frações do numerador ao mesmo denominador:
  
  $\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = \frac{1}{h} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}) = \frac{1}{h} \cdot \frac{x - ( x + h )}{x ( x + h )}$
2. O fator h simplifica-se, e na expressão resultante já podemos substituir h por 0:
  
  $= \frac{- 1}{x ( x + h )} h \to 0 - \frac{1}{x ^{2}}$
3. Em x = 2, a curva tem ordenada ½ e desce à razão de ¼ por unidade:
  
  $f (2) = \frac{1}{2}, f^{'} (2) = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4} (x - 2) + \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} x + 1$
Resposta

f′(x) = −1/x² para x ≠ 0, e a tangente em x = 2 é y = −x/4 + 1.
√x a partir da definição, com a tangente e a normal 3 passos
Calcula a derivada de f(x) = √x a partir da definição e determina a tangente e a normal em x = 4.

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1. O declive da corda tem uma diferença de raízes quadradas no numerador. Multiplica o numerador e o denominador pela soma dessas raízes para eliminar os radicais do numerador:
  
  $\frac{x + h - x}{h} \cdot \frac{x + h + x}{x + h + x} = \frac{( x + h ) - x}{h ( x + h + x )} = \frac{1}{x + h + x}$
2. Faz agora h tender para 0:
  
  $f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{1}{x + h + x} = \frac{1}{2 x}, f^{'} (4) = \frac{1}{4}$
3. A tangente passa por (4, 2) e tem declive ¼. A normal passa pelo mesmo ponto e tem declive −4, o simétrico do inverso:
  
  $y = \frac{1}{4} (x - 4) + 2 = \frac{1}{4} x + 1, y = - 4 (x - 4) + 2 = - 4 x + 18$
Resposta

f′(x) = 1/(2√x) para x > 0. Em x = 4, a tangente é y = x/4 + 1 e a normal é y = −4x + 18. Em x = 0, o declive das cordas cresce sem limite e não existe derivada. Podes observá-lo na página, deslocando x para esse valor.
Porque é que a derivada de sen x é cos x 3 passos
Demonstra, a partir da definição, que a derivada de sen x é cos x, usando os limites da página anterior, e determina o declive em x = π/3.

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1. Desenvolve sen(x + h) com a fórmula do seno da soma e agrupa os termos em sen x e cos x:
  
  $\frac{sin ( x + h ) - sin x}{h} = \frac{sin x cos h + cos x sin h - sin x}{h} = sin x \cdot \frac{cos h - 1}{h} + cos x \cdot \frac{sin h}{h}$
2. Quando h → 0, sen h / h → 1 e (cos h − 1)/h → 0, pois esta última expressão é o produto de h por (cos h − 1)/h², que tende para −½:
  
  $\frac{cos h - 1}{h} = h \cdot \frac{cos h - 1}{h ^{2}} \to 0 \cdot (- \frac{1}{2}) = 0, \frac{sin h}{h} \to 1$
3. A derivada é, portanto, cos x, cujo valor em π/3 é ½:
  
  $(sin x)^{'} = sin x \cdot 0 + cos x \cdot 1 = cos x, cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$
Resposta

(sen x)′ = cos x, e o declive em π/3 é ½. O limite sen h / h → 1 pressupõe que h está em radianos. Se estiver em graus, o limite é π/180, e esse fator aparece também na derivada.
Onde a tangente é horizontal 3 passos
Determina os pontos em que f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2 tem tangente horizontal.

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1. Deriva termo a termo pela regra de derivação das potências e fatoriza:
  
  $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x^{2} - 2 x - 3) = 3 (x - 3) (x + 1)$
2. Uma tangente horizontal tem declive 0:
  
  $f^{'} (x) = 0 ⟺ x \in {- 1, 3}$
3. Calcula as ordenadas correspondentes:
  
  $f (- 1) = - 1 - 3 + 9 + 2 = 7, f (3) = 27 - 27 - 27 + 2 = - 25$
Resposta

As tangentes são horizontais em (−1, 7) e (3, −25).
Uma tangente paralela a uma reta dada 2 passos
Determina o ponto de y = x² + 3x em que a tangente é paralela a y = 7x − 2 e escreve a equação dessa tangente.

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1. Retas paralelas têm o mesmo declive, pelo que impomos f′(x) = 7:
  
  $f^{'} (x) = 2 x + 3 = 7 \Rightarrow x = 2$
2. Determina o ponto e escreve a equação da reta:
  
  $f (2) = 4 + 6 = 10, y = 7 (x - 2) + 10 = 7 x - 4$
Resposta

O ponto é (2, 10) e a tangente é y = 7x − 4.
Um ponto anguloso: continuidade sem derivada 3 passos
Mostra que f(x) = |x| não tem derivada em 0, embora seja contínua nesse ponto.

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1. A partir de 0, uma corda para a direita tem declive h/h e uma corda para a esquerda tem declive −h/h:
  
  $\frac{∣0 + h ∣ - ∣0∣}{h} = \frac{∣ h ∣}{h} = {1, - 1, h > 0 h < 0$
2. Os limites laterais são 1 e −1. Como são diferentes, o limite que definiria f′(0) não existe:
  
  $h \to 0^{+} lim \frac{∣ h ∣}{h} = 1 \neq = - 1 = h \to 0^{-} lim \frac{∣ h ∣}{h}$
3. A continuidade exige menos. |x| tende para 0 = f(0) de ambos os lados:
  
  $x \to 0 lim ∣ x ∣ = 0 = f (0)$
Resposta

|x| é contínua em 0, mas não tem derivada nesse ponto: a curva tem um ponto anguloso e não há uma única reta tangente. Uma função derivável é contínua; este é o exemplo habitual de que a recíproca é falsa.
Velocidade média e velocidade instantânea 3 passos
Uma pedra em queda percorre s(t) = 4,9t² metros em t segundos. Calcula a velocidade média entre t = 2 e t = 2,1 e a velocidade instantânea em t = 2.

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1. A velocidade média num intervalo é o declive da corda:
  
  $\frac{s ( 2.1 ) - s ( 2 )}{0.1} = \frac{21.609 - 19.6}{0.1} = 20.09 m/s$
2. A velocidade instantânea é o limite desse declive, ou seja, a derivada:
  
  $s^{'} (t) = 9.8 t, s^{'} (2) = 19.6 m/s$
3. A diferença entre as duas velocidades é 4,9h, pelo que diminui proporcionalmente à duração do intervalo:
  
  $\frac{s ( 2 + h ) - s ( 2 )}{h} = \frac{4.9 ( 4 h + h ^{2} )}{h} = 19.6 + 4.9 h$
Resposta

A velocidade média nesse décimo de segundo é 20,09 m/s e a velocidade instantânea em t = 2 é 19,6 m/s. Na página, a variável t aparece como x.

Percurso de aprendizagem

Por que tudo parece reto de perto

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.