Lições Interativas de Matemática e Ciências
DERIVADAS — QUAL REGRA SE APLICA E O QUE A INCLINAÇÃO REALMENTE DIZ
A derivada é uma ideia só — a inclinação da tangente, o limite de (f(x+h) − f(x))/h — mas como calculá-la depende do tipo de função que lhe deram, e como ler a resposta depende de ela sair positiva, negativa ou zero. Três regras padrão cobrem quase todas as funções que você verá; o quarto caso é aquele em que inclinação nula não significa o que todo mundo supõe.
01
O que você sabe: A função é xⁿ, ou uma soma de termos assim. Traga o expoente para a frente e subtraia um dele.
Regra: d/dx xn = n·xn−1
Exemplo resolvido: f(x) = x² em x = 1 → f′(x) = 2x → f′(1) = 2, então a tangente é y = 2x − 1
Abrir este caso: x² em x=1
02
O que você sabe: A função é sin x ou cos x. Derivar gira você pelo ciclo: sin → cos → −sin → −cos → sin.
Regra: d/dx sin x = cos x
Exemplo resolvido: f(x) = sin x em x = 0 → f′(x) = cos x → f′(0) = 1, então a tangente é y = x
Abrir este caso: sin em x=0
03
O que você sabe: A função é eˣ. Derivar não muda absolutamente nada: f′(x) = f(x) em todo ponto.
Regra: d/dx ex = ex
Exemplo resolvido: f(x) = eˣ em x = 0 → f′(x) = eˣ → f′(0) = 1, então a tangente é y = x + 1
Abrir este caso: eˣ em x=0
04
O que você sabe: f′ = 0 no ponto, então ele é estacionário — mas o sinal de f′ é o mesmo dos dois lados, então não é um ponto de retorno.
Regra: f′ = 0, f″ = 0
Exemplo resolvido: f(x) = x³ em x = 0 → f′(x) = 3x² → f′(0) = 0, e ainda assim f′ > 0 dos dois lados: a curva achata e segue subindo
Abrir este caso: inflexão x³
f(x) = x², em x = 1. Obtenha o declive nesse ponto a partir da definição e não de uma regra, escreva a reta tangente e, em seguida, diga exatamente quanto essa tangente se afastou da curva uma décima de unidade mais à frente.
Um único ponto não tem declive — o declive é uma comparação, pelo que necessita de dois pontos. Considere o segundo ponto a uma distância h e meça a razão média entre a variação vertical e a variação horizontal. Todo o cálculo diferencial se resume a este quociente mais um limite.
Desenvolva o quadrado. Os termos constantes anulam-se, o que deixa um h em todos os termos restantes, de modo que o h do denominador se simplifica de forma limpa. Note o que esse cancelamento custa: é legítimo para qualquer h exceto 0, e 0 é precisamente o valor para o qual está a avançar.
É por isso que se calcula o limite em vez de simplesmente substituir. 2 + h é uma reta em h, pelo que o valor de que se aproxima é lido sem qualquer aproximação, e o declive em x = 1 resulta em 2 sem que a regra 2x chegue a ser escrita.
Uma reta tangente necessita de um ponto e de um declive, e agora tem ambos: a curva passa por (1, 1) com declive 2.
Subtraia a reta à curva. A diferença não é pequena, nem é uma aproximação de seja o que for — fatoriza-se exatamente, pelo que a parábola se encontra (x − 1)² acima da sua tangente para todo o x, e a uma distância h o afastamento é h².
Resposta
f′(1) = 2, tangente y = 2x − 1, e o afastamento entre elas é exatamente h²: encurte o passo por um fator de 10 e o erro da tangente diminui por um fator de 100, de 0,01 para 0,0001. Essa elevação ao quadrado é toda a justificação para substituir uma curva por uma reta nas proximidades de um ponto. No entanto, o sinal do afastamento vale mais do que a sua grandeza. (x − 1)² nunca é negativo, pelo que esta parábola toca nas suas tangentes sem nunca atravessar nenhuma. Coloque f(x) = x³ em x = 0 ao lado dela: a tangente é o eixo dos x, o afastamento é o próprio x³, e x³ é negativo à esquerda e positivo à direita, pelo que a reta atravessa completamente a curva. Ambas as funções têm uma tangente horizontal em algum ponto e apenas uma delas tem aí um ponto de viragem — uma derivada nula não é o que define um mínimo, o sinal do afastamento é que o determina.
Percurso de aprendizagem
