Explorador de Derivadas e Tangentes

A derivada é a pedra angular para a análise de sistemas dinâmicos. Ao avaliar o limite do quociente de diferença tendendo a zero, calculamos a taxa de variação instantânea exata. Esta aproximação linear é fundamental.

Pegue qualquer curva suave, aproxime o zoom o suficiente e a curvatura desaparece: localmente ela parece uma linha reta. A derivada é simplesmente a inclinação dessa reta, e ao arrastar o ponto aqui você a lê diretamente. O velocímetro de um carro funciona do mesmo jeito: mostra o quão rápido sua posição está mudando agora, não a velocidade média de toda a viagem. Arraste o ponto até o topo da parábola e a inclinação chega a 0 — esse ponto plano marca um máximo ou um mínimo.

Toda função aqui tem uma tangente bem definida, mas nem toda função tem. Em 1872, Karl Weierstrass construiu uma função contínua em toda parte, mas sem inclinação definida em ponto algum — infinitamente serrilhada em qualquer escala, de modo que nenhuma tangente chega a se estabelecer. Isso deixou perplexos os matemáticos, que supunham que uma curva contínua de aparência suave devia ter tangentes em quase todos os pontos. Essa mesma rugosidade não diferenciável reapareceu na natureza: as trajetórias do movimento browniano e os contornos das costas comportam-se exatamente assim.