Laboratório de Modelagem por Partes

Use duas regras lineares divididas em x = c e avalie valores e o comportamento do salto.

Exemplo resolvido — Laboratório de Modelagem por Partes

f(x0)	13,6
valor à esquerda em c	13
valor à direita em c	12
tamanho do salto	-1
Variação do declive em c (m2 − m1)	-1,2
Mais barato ir directo a c a partir de	4,5 até 5

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Laboratório de Modelagem por Partes

Uma função definida por troços não é uma regra com uma excepção; são duas regras completas mais a indicação de qual se aplica onde. Aqui uma regra linear governa tudo abaixo de um ponto de quebra c e uma segunda governa tudo a partir de c. A pergunta interessante nunca é o que faz cada troço — são apenas rectas — mas o que acontece na costura.

O que significa cada símbolo

c: o ponto de quebra: a entrada em que a regra muda.
f(c⁻): para onde o troço da esquerda se dirige quando x se aproxima de c por baixo. É um limite, não um valor: em c a regra da esquerda já não se aplica.
f(c⁺): o valor que o troço da direita realmente toma em c, que é também o valor da função aí.
jump: f(c⁺) − f(c⁻). Zero exactamente quando os dois troços se encontram.

De onde vem a fórmula

Escreva a definição com a condição ao lado: f(x) = m₁x + b₁ para x < c, e f(x) = m₂x + b₂ para x ≥ c. Repare a que troço pertence o próprio ponto de quebra — aqui ao da direita, e é por isso que o gráfico mostra um círculo vazado no ramo esquerdo e um cheio no direito.
Em c a função tem um valor dado pela regra da direita, m₂c + b₂. A regra da esquerda não tem valor aí, mas tem destino: quando x sobe em direcção a c, m₁x + b₁ aproxima-se de m₁c + b₁. É o limite à esquerda.
Continuidade num ponto significa que os limites de ambos os lados e o valor coincidem. Aqui o limite à direita e o valor são a mesma coisa, portanto dois dos três são automáticos e toda a condição se reduz a uma equação: m₁c + b₁ = m₂c + b₂.
Uma equação, e qualquer coeficiente pode ser deslocado para a satisfazer: b₂ = (m₁ − m₂)c + b₁. A continuidade está, portanto, sempre disponível e nunca é gratuita — é preciso gastar um parâmetro nela. Quando não se gasta, o que sobra é exactamente aquilo a que a leitura chama salto: (m₂c + b₂) − (m₁c + b₁).

Como ler o que vê

O segmento azul é a regra da esquerda e o laranja a da direita, cada um traçado até onde a sua própria condição permite. No ponto de quebra o ramo azul termina num círculo vazado — um destino que nunca ocupa — e o laranja começa com um ponto cheio, que é o valor verdadeiro de f(c). Quando os dois coincidem, os círculos sobrepõem-se e a linha do salto lê 0. O ponto azul-esverdeado é f(x₀) para o que puser na caixa de avaliação, e as três últimas linhas traduzem a imagem em números: se os troços se encontram, quanto muda o declive na passagem, e se o degrau descendente cria um intervalo de entradas que custam mais do que o próprio ponto de quebra.

Pressupõe: Ambos os troços são rectas, há exactamente um ponto de quebra, e ele está num sítio conhecido. A convenção semiaberta importa e é uma escolha: a regra da direita possui x = c, logo f(c) é m₂c + b₂. Inverta a convenção e o valor no único ponto c muda, mas o salto não.
Falha quando: O problema a sério aparece quando c não é conhecido mas estimado. Um ponto de quebra estimado a partir dos mesmos dados que ajustam as rectas é um parâmetro escolhido para minimizar o erro, pelo que os erros-padrão habituais da regressão ficam pequenos demais e o ajuste parece melhor do que é — é para isso que existem os métodos de regressão segmentada. E um modelo de dois troços nada diz sobre um terceiro regime: prolongar qualquer das rectas para além do intervalo observado pressupõe uma regra que nunca foi testada.

A continuidade no ponto de quebra tem de ser construída 🖖

A linha do salto merece atenção: três das quatro predefinições registam nela um valor diferente de zero. No ponto de quebra, o táxi desce de 13 para 12, o desconto cai 2,5 e a curva de arrefecimento, 4,8. Em todos estes casos há uma descida, pelo que a passagem para a tarifa mais barata faz o total diminuir. Aqui, a continuidade não surge por acaso; é preciso impor exatamente m₁c + b₁ = m₂c + b₂. A predefinição do imposto satisfaz esta condição de propósito: o segundo termo constante é −2, valor obtido ao resolver a condição de continuidade em ordem a b₂. Altere o segundo termo constante da predefinição do táxi de 8 para 9 e o salto também passa a ser 0.

Uma função, duas regras 🖖

Um modelo definido por partes usa uma regra linear antes do ponto de quebra c e outra depois — como um taxímetro que cobra uma tarifa no início e outra mais barata mais adiante. Os dois trechos se unem de forma suave apenas quando coincidem em c: contínua exatamente quando m1·c + b1 = m2·c + b2. Caso contrário, a leitura mostra um salto — o gráfico salta para cima ou para baixo na junção.

O canto que move o aprendizado profundo 🖖

A função de ativação por trás da maioria das redes neurais modernas, a ReLU, não passa de uma função linear por partes: inclinação 0 enquanto x é negativo e inclinação 1 assim que se torna positivo, unidas no ponto de quebra x = 0. Ali ela é contínua, mas não tem derivada — um canto afiado, não uma curva suave. Empilhe milhões dessas unidades e toda a rede ainda calcula uma única e enorme função linear por partes contínua.

Um desconto pode tornar oito mais caro do que dez 🖖

Carregue a predefinição de desconto de quantidade e veja a última linha da leitura. A tarifa cai de 1,2 para 0,7 às dez unidades e o total cai com ela: dez unidades custam 9,5 enquanto oito custam 9,6. A linha dá toda a zona: a partir de 7,916667 unidades e até ao ponto de quebra, paga mais do que pagaria encomendando simplesmente dez. Todo o salto para baixo cria um intervalo destes, e é uma coisa estranha de escrever numa tabela de preços, porque premeia quem quer oito por encomendar dez e levar as duas restantes de graça. É essa a razão prática para verificar a continuidade, e não uma razão decorativa. Mude para a predefinição de arrefecimento e a linha diz que não existe zona nenhuma assim — um ramo descendente nunca sobe acima do valor para onde se dirige.

Problema resolvido na íntegra

Um ponto de mudança de tarifa em 5 e o intervalo onde comprar mais custa menos 6 passos
Uma tarifa cobra 2x + 3 abaixo de um ponto de transição em 5 e 0,8x + 8 acima dele. Determine o valor em 7 — depois determine o intervalo em que comprar mais custa menos.
1. Duas retas e uma regra para saber qual se aplica. O único cuidado necessário diz respeito à fronteira: exatamente em x = 5, o segundo ramo é o que está em vigor.
  
  $f (x) = {2 x + 3, 0.8 x + 8, x < 5 x \geq 5 f (7) = 0.8 (7) + 8 = 13.6$
2. Aproxime-se do ponto de transição por ambos os lados. O limite à esquerda e o valor real discordam, e a dimensão da discrepância é o salto.
  
  $x \to 5^{-} lim f = 2 (5) + 3 = 13, f (5) = 0.8 (5) + 8 = 12, jump = 12 - 13 = - 1$
3. Os declives também discordam, e de forma independente. Uma função pode ser contínua com um ponto anguloso, ou dar um salto sem ponto anguloso; esta faz ambas as coisas.
  
  $m_{2} - m_{1} = 0.8 - 2 = - 1.2$
4. Agora a questão interessante. Averigue onde o primeiro ramo já subiu acima do valor em que o segundo ramo começa.
  
  $2 x + 3 > 12 ⟺ x > 4.5 on the branch that applies for x < 5$
5. Essa desigualdade verifica-se de 4,5 até ao ponto de transição, e em todo esse intervalo a compra mais barata é a de maior quantidade.
  
  $x \in (4.5, 5) ⟹ f (x) > f (5)$
6. Vale a pena escrever a condição que eliminaria o intervalo, pois é essa que um tarifário bem concebido satisfaz.
  
  $continuous ⟺ b_{2} - b_{1} = (m_{1} - m_{2}) c : 8 - 3 = 5 against (1.2) (5) = 6$
Resposta

13,6, e entre 4,5 e 5 deve comprar-se sempre 5. O segundo ramo começa em 12 enquanto o primeiro ramo ainda está a subir para além dele, pelo que qualquer pessoa nesse intervalo paga mais por menos. O intervalo não é um artefacto de arredondamento — é 10% de todo o primeiro escalão, e é exatamente o que se obtém com uma tarifa descontínua. Os tarifários reais evitam-no fazendo com que os ramos se encontrem: a continuidade exige b₂ − b₁ = (m₁ − m₂)c, o que aqui exigiria que 5 fosse igual a 6. Os escalões marginais de imposto são construídos dessa forma de propósito, razão pela qual a crença popular de que um aumento de salário pode reduzir o rendimento líquido é falsa para o imposto sobre o rendimento e verdadeira para quase todos os descontos de quantidade alguma vez impressos.

$f jumps by - 1 at c = 5, so f (x) > f (5) for x \in (4.5, 5)$

Referências (2)

The theory section ends on what happens when the breakpoint is estimated rather than known. This is the method that handles it: V. M. R. Muggeo, "Estimating regression models with unknown break-points." Statistics in Medicine 22(19), 3055–3071, 2003.
Insight block 3 — the piecewise-linear kink at the centre of modern networks: X. Glorot, A. Bordes and Y. Bengio, "Deep Sparse Rectifier Neural Networks." Proceedings of the 14th International Conference on Artificial Intelligence and Statistics (AISTATS), PMLR 15, 315–323, 2011.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-05-21

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Problemas de exemplo

modelo de tarifa de táxi - Abaixo do ponto de quebra, situado em 5, a expressão é 2x + 3; acima, é 0,8x + 8. Ao atravessá-lo, o valor desce de 13 para 12. Se substituir o segundo termo constante, 8, por 9, o salto reduz-se a zero.
modelo de desconto por volume - O preço é 1,2 por unidade até dez unidades; depois, passa a 0,7, com termo constante 2,5. Dez unidades custam 9,50 e oito custam 9,60. A partir de 7,916667 unidades, qualquer quantidade fica mais cara do que encomendar simplesmente dez.
fases de resfriamento - Um modelo decrescente, primeiro com declive -0,5 e depois -0,1, que cai 4,8 no ponto de quebra. É a única predefinição em que a ferramenta não indica qualquer intervalo de pagamento excessivo, pois um ramo decrescente não pode subir acima desse valor.
escalão marginal de imposto - A única predefinição sem salto: 20% até 10 e 40% acima, com a segunda ordenada em −2 para que os troços encaixem exactamente