Campo de direções e solucionador de EDO

Leia uma equação diferencial de primeira ordem como um campo de pequenas linhas tangentes. Clique no gráfico para adicionar condições iniciais e traçar as curvas solução correspondentes.

Exemplo resolvido — Campo de direções e solucionador de EDO

Equação	y
Marcas de inclinação	441
Marcas de inclinação (como)	441; 441 finite
Maior \|inclinação\| finita	3
Curvas solução	0
Condições iniciais	nenhuma ainda

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Campo de direções e solucionador de EDO

Uma equação diferencial de primeira ordem dy/dx = f(x,y) nunca indica o que y é. Indica a rapidez com que y varia em cada ponto. Uma solução é qualquer curva cujo declive em cada ponto seja igual a f nesse mesmo ponto — e existe toda uma família delas, uma a passar por cada ponto inicial.

O que significa cada símbolo

dy/dx: o declive de uma curva solução — a grandeza que a equação prescreve, em vez daquela que determina.
f(x,y): o segundo membro: uma regra que devolve um declive para qualquer ponto. As cinco predefinições aqui disponíveis são y, x*y, -y/x, y*(1-y) e x^2-y.
(x₀,y₀): uma condição inicial — um ponto pelo qual a solução tem obrigatoriamente de passar. É o que seleciona uma única curva da família e é o que um clique no gráfico fornece.

Como ler o que vê

O painel contabiliza o que foi desenhado em vez de o descrever: 21 x 21 = 441 marcas de declive na grelha predefinida, o maior declive finito atualmente visível, a janela do gráfico e quantas curvas de solução iniciou. Cada clique adiciona uma condição inicial, e o resolvedor RK4 traça depois a curva correspondente, tanto para a frente como para trás em x.

Pressupõe: Que a equação é de primeira ordem e já se encontra resolvida em ordem a dy/dx, e que f devolve exatamente um declive por ponto. A grelha é uma amostra do campo, não o campo em si — aumentar a densidade desenha mais marcas sem alterar uma única solução.
Falha quando: Escolha -y/x e o contador muda para 421 finite, 20 vertical/singular. Estes são os pontos da grelha situados no eixo dos y, onde x = 0 deixa o declive indefinido: o campo genuinamente não tem direção ali e nenhuma curva de solução o atravessa. Um campo de declives também não consegue mostrar onde uma solução escapa para o infinito num x finito — a imagem permanece perfeitamente calma enquanto a solução não o faz.

O desenho responde à equação sem nunca a resolver 🖖

Um campo de direções representa uma equação diferencial ordinária de primeira ordem dy/dx = f(x,y) desenhando segmentos de reta com declive f(x,y) numa grelha. Fornece uma visualização geométrica do fluxo das curvas de solução sem resolver analiticamente, mostrando soluções de equilíbrio e nós.

Seguir as setas sem resolver nada 🖖

Imagine o campo de direções como pequenas placas de sinalização: em cada ponto, uma indica para onde uma solução deve seguir em seguida. Uma curva solução simplesmente segue essas direções, como uma folha levada por uma correnteza. Como cada ponto tem uma única direção, escolher um ponto de partida (uma condição inicial) fixa uma única curva: clique em qualquer lugar e a ferramenta traça esse caminho único.

RK4 vira secretamente a regra de Simpson 🖖

O método RK4 que a ferramenta usa avalia a inclinação quatro vezes por passo e as combina com os pesos 1:2:2:1. Quando sua equação é simplesmente dy/dx = f(x), sem y no lado direito, essa combinação coincide exatamente com a regra de Simpson para integração: h/6·(f₀ + 4f_m + f₁). Então resolver numericamente uma EDO e calcular uma integral definida são, neste caso, o mesmo cálculo.

Prática

Verifique você mesmo

Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.

A predefinição hipérboles resolve y′ = −y/x e indica uma «Maior |inclinação| finita» de 10. Sobe a densidade da grelha para 30 e lê essa linha outra vez — e faz o mesmo nas predefinições exponencial e parábolas.

Mostrar a resposta

Nas hipérboles a linha percorre 5 → 10 → 15 para as densidades 10, 20 e 30. Na exponencial fica nos 3 e nas parábolas nos 11, faças o que fizeres. Para um campo singular, essa linha descreve a tua grelha, não a equação: −y/x não tem declive máximo nenhum, pois dispara para infinito quando x → 0, portanto a ferramenta só pode indicar a marca mais íngreme onde calhou cair. A coluna mais próxima do eixo fica em 8/densidade, por isso com densidade 20 é x = 0.4, e 4/0.4 = 10 — o número no ecrã. As 20 marcas assinaladas como verticais são toda a coluna x = 0, onde o declive não é um número. Os outros dois campos são realmente limitados nas suas janelas, por isso a grelha encontra sempre o mesmo máximo.
A predefinição logística resolve y′ = y(1−y), cujo crescimento é notoriamente mais rápido em y = 1/2, onde a taxa vale 0.25. O painel indica um maior |declive| de 0.75. Onde está a encontrar um declive três vezes mais íngreme?

Mostrar a resposta

Fora da população. A janela da predefinição vai de y = −0.5 a 1.5, e em y = −0.5 a taxa é (−0.5)(1.5) = −0.75 — mais íngreme do que tudo o que existe entre as retas de equilíbrio, e descendente, já que a linha indica o valor absoluto. Põe y min em 0 e y max em 1 e a linha cai para 0.25, encontrada em y = 0.5, onde a biologia a coloca. Nem sequer precisas de ser tão estrito: de −0.2 a 1.2 também dá 0.25, porque (−0.2)(1.2) são apenas 0.24. O número famoso descreve uma população logística; o painel descreve o retângulo que lhe pediste para desenhar.

Problemas resolvidos na íntegra

A família de curvas para y′ = −y/x 6 passos
y′ = −y/x, para −4 ≤ x ≤ 4 e −4 ≤ y ≤ 4, com uma densidade de grelha de 20. Antes de desenhar uma única curva de solução, conte quantas marcas podem ter sequer um declive, encontre a mais íngreme e, depois, determine de que família de curvas o campo é constituído.
1. A grelha tem 20 intervalos de largura, o que corresponde a 21 linhas de amostragem, e não 20 — os extremos contam. Uma janela de 8 unidades de largura faz, portanto, uma amostragem a cada 0,4, aplicando-se o mesmo espaçamento na vertical.
  
  $Δ x = Δ y = \frac{8}{20} = 0.4, 21 \times 21 = 441$
2. 21 é ímpar, pelo que uma linha de amostragem cai exatamente no meio da janela, e o meio desta janela é x = 0. Essa coluna é aquela em que o membro direito tem um zero no denominador.
  
  $x_{i} = - 4 + 0.4 i, i = 0, 1, \dots, 20 ⟹ x_{10} = 0$
3. Nessa coluna, cada ponto com y ≠ 0 dá um quociente sem valor: uma direção, desenhada na vertical, mas nenhum número a indicar. São 20 das 21. A última é a origem, onde a razão é 0/0 e a ferramenta resolve a questão desenhando a marca na horizontal — uma escolha, não uma consequência, e é por isso que a contagem finita resulta em 421 em vez de 420.
  
  $y^{'} = - \frac{y}{x}, x = 0, y \neq = 0 : ∣ y^{'} ∣ = \infty (20), 441 - 20 = 421$
4. A inclinação é |y|/|x|, pelo que a marca mais íngreme é o ponto mais elevado sobre a coluna não nula mais estreita: 4 dividido por 0,4. As marcas vencedoras situam-se imediatamente ao lado da linha singular, sendo esse o único aspeto interessante a seu respeito.
  
  $∣ y^{'} ∣ = \frac{∣ y ∣}{∣ x ∣} \leq \frac{4}{0.4} = 10 (∣ y ∣_{m a x} = 4, ∣ x ∣_{m i n \neq = 0} = 0.4)$
5. Passemos agora às curvas em si. A equação é de variáveis separáveis, e a integração de ambos os membros transforma uma soma de logaritmos num produto: xy é constante ao longo de cada solução, pelo que a família é a das hipérboles equiláteras.
  
  $\frac{d y}{y} = - \frac{d x}{x} ⟹ ln ∣ y ∣ + ln ∣ x ∣ = c ⟹ x y = C$
6. Teste-se no ponto (1, 2), onde a marca tem declive −2. A hipérbole xy = 2 que passa por esse ponto tem aí declive −2, pelo que se ajusta. A circunferência x² + y² = 5 que passa pelo mesmo ponto tem declive −x/y = −0,5, pelo que não se ajusta — a condição de ser perpendicular ao raio é dada pela equação y′ = −x/y, com o x e o y trocados.
  
  $(1, 2) : y^{'} = - 2; x y = 2 \Rightarrow y^{'} = - \frac{2}{x ^{2}} = - 2; x^{2} + y^{2} = 5 \Rightarrow y^{'} = - \frac{x}{y} = - 0.5$
Resposta

421 marcas finitas, 20 verticais e um declive máximo de 10. Apenas duas dessas três informações dizem algo sobre a equação diferencial. Refaça-se a última mantendo a grelha como um símbolo: o declive máximo que a grelha consegue ver é 4 a dividir por 8/d, o que dá d/2 — o número é simplesmente metade da definição de densidade e nada mais. A equação não tem qualquer declive máximo; |y′| cresce sem limite quando x → 0, e o painel está a indicar o nível de detalhe com que observou, e não quão íngreme o campo se torna. Com uma densidade de 21, o efeito é ainda mais evidente: 22 linhas de amostragem por lado ladeiam x = 0 em vez de cair sobre ele, pelo que todas as 484 marcas resultam finitas e a coluna singular desaparece da contagem, continuando exatamente tão singular como antes.

$∣ y^{'} ∣_{m a x} = \frac{∣ y ∣ _{m a x}}{Δ x} = \frac{4}{8/ d} = \frac{d}{2}$
Uma solução a passar por y = 0,1 para y′ = y(1 − y) 6 passos
y′ = y(1 − y), representada para −2 ≤ x ≤ 6 e −0,5 ≤ y ≤ 1,5, com uma densidade de grelha de 20. Sem resolver nada, indique onde o campo é plano, para que lado deve seguir uma solução que passa por y = 0,1 e em que zona desta janela as marcas são mais íngremes. Depois, atribua um valor à duração da subida.
1. Uma marca é horizontal exatamente onde o membro direito se anula, e um produto só se anula quando um dos fatores se anula. Há dois valores, e cada um deles é uma solução por si só: as funções constantes y ≡ 0 e y ≡ 1 satisfazem a equação para todo o x.
  
  $y^{'} = y (1 - y) = 0 ⟺ y \in {0, 1}$
2. Ambas coincidem com linhas de amostragem. Os 21 valores de y começam em −0,5 e variam com um passo de 0,1, pelo que 0 e 1 estão entre eles e as duas filas horizontais são efetivamente desenhadas, em vez de serem apenas sugeridas pelas inclinações de cada lado.
  
  $y_{j} = - 0.5 + \frac{2 j}{20} = - 0.5 + 0.1 j : y_{5} = 0, y_{15} = 1, 21 \times 21 = 441$
3. Entre as filas horizontais, ambos os fatores são positivos, pelo que todas as marcas se inclinam para cima; fora delas, um dos fatores mudou de sinal e as marcas inclinam-se para baixo. Uma solução que comece em 0,1 sobe, e nunca pode atingir 1 — para ultrapassar essa linha teria de cruzar a solução constante situada sobre ela, e duas soluções desta equação não se podem cruzar.
  
  $0 < y < 1 : y^{'} > 0; y < 0 \lor y > 1 : y^{'} < 0$
4. Ser crescente e limitada não é o mesmo que ser estável, pelo que se deve perturbar ligeiramente cada equilíbrio e observar o sinal. Imediatamente acima de 0, o declive é cerca de +ε e afasta ainda mais; imediatamente acima de 1, é cerca de −ε e empurra em sentido contrário. Uma equação, duas linhas horizontais, conclusões opostas.
  
  $y = ε : y^{'} \approx + ε; y = 1 + ε : y^{'} \approx - ε$
5. As marcas mais íngremes não se encontram onde ocorre o crescimento. No intervalo 0 ≤ y ≤ 1, a variação mais rápida ocorre em y = 0,5 e vale 0,25, mas a janela estende-se até −0,5 e 1,5, onde o produto é −0,75 — três vezes mais íngreme, em valores populacionais de que o modelo não trata.
  
  $0 \leq y \leq 1 max ∣ y^{'} ∣ = 0.25; y = - 0.5 \lor y = 1.5 : ∣ y^{'} ∣ = 0.75$
6. Há uma grandeza que torna a curva reta. Derivando o logaritmo da razão de chances y/(1 − y): a regra da cadeia produz exatamente o fator y(1 − y) fornecido pela equação, os dois cancelam-se, e o que resta cresce a uma taxa constante de 1.
  
  $\frac{d}{d x} ln \frac{y}{1 - y} = \frac{y ^{'}}{y ( 1 - y )} = 1$
Resposta

Dois equilíbrios, 0 repulsor e 1 atrator, e um |declive| máximo de 0,75 que se situa inteiramente fora de 0 ≤ y ≤ 1. O último passo é aquele que se deve reter. O logaritmo da razão de chances avança a exatamente 1 por unidade de x, pelo que a subida de 10% a 90% demora ln(9 ÷ 1/9) = ln 81 = 4,394 em x, seja qual for o valor inicial. Nenhum elemento do painel indica esse valor, e no entanto é o número que um modelador realmente pretende: não a altura da curva, mas a duração da sua transição, determinada unicamente pela taxa de crescimento. Esta janela tem 8 de largura, pelo que uma solução que entre perto de zero à esquerda passa pouco mais de metade dela a fazer a subida completa e o restante tempo assente na horizontal contra y = 1.

$Δ x = ln \frac{9}{1/9} = ln 81 = 4.394$

Referências (1)

Direction fields, initial-value problems and when a solution is guaranteed to exist: W. E. Boyce & R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 10th ed. John Wiley & Sons, 2012. ISBN 978-0-470-45831-0.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-06-25

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

y' = y - 441 traços, horizontais sobre y = 0 e mais inclinados nos cantos, onde o declive regista 3. Essa fila horizontal é, ela própria, uma solução, e nenhuma curva a atravessa. O sinal do seu primeiro clique decide, portanto, se a curva sobe ou desce, e nada depois poderá alterar isso.
Logística - Traços horizontais ao longo de duas retas, y = 0 e y = 1, e ambas são soluções. Qualquer curva que comece entre elas fica presa e tem de convergir para 1. O declive mais pronunciado da malha, 0,75, não pertence de todo a essa curva em S: localiza-se em y = −0,5, abaixo da solução inferior.
Hipérboles - O contador divide-se em 421 traços finitos e 20 verticais — a coluna em x = 0, onde −y/x não tem valor. Ajuste agora a densidade de 20 para 21: 484 finitos, nenhum singular. A malha deixou de coincidir com o eixo. A singularidade não se moveu; a amostragem é que não a captou.
Parábolas - Traços horizontais desenham a parábola y = x², e todas as soluções a intersetam horizontalmente. A parábola não é, em si mesma, uma solução — nela, a equação exige declive 0 enquanto a curva apresenta o declive 2x. O traço mais inclinado, 11, encontra-se no canto inferior esquerdo.