Escolher uma técnica

Nas páginas anteriores deste capítulo, a técnica era indicada antes de aparecer a integral. Aqui, os problemas estão misturados. Antes de se abrir a caixa de resposta, escolhes por onde começar. A página já experimentou os cinco passos iniciais na integral que tens à frente: diz-te se o teu chega à tabela em até três passos e se há algum caminho mais curto.

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Lição

A teoria — Escolher uma técnica

Escolher uma técnica é decidir por onde começar quando a integral vem sem indicação do método: usar diretamente a tabela, fazer uma substituição, integrar por partes, decompor em frações simples ou transformar a expressão trigonométrica. Nesta página, um passo funciona se, com no máximo mais dois passos, deixar apenas integrais da tabela. Conta-se um passo por técnica aplicada: usar uma substituição para integrar dv durante a integração por partes conta como um passo à parte; separar uma soma nos seus termos não conta.

Pressupõe: A procura usa apenas esses cinco passos. Não sabe completar o quadrado: para ∫dx/(x² + 2x + 5), indicaria que não encontrou caminho até à tabela. Por isso, não há aqui problemas desse tipo. A transformação trigonométrica segue o que aprendeste na página anterior: nas potências de expoente ímpar, reserva-se um fator para du; nas de expoente par, usa-se a identidade do ângulo metade; tan² passa a sec² − 1; reduz-se o expoente de secⁿ; e, para √(a² − x²), √(x² + a²) e √(x² − a²), usam-se, respetivamente, x = a sin u, x = a tan u e x = a sec u.

Problemas resolvidos na íntegra

O numerador é a derivada do denominador 2 passos
Calcule ∫x/(x² + 9) dx.
1. Pista: o numerador é metade da derivada do denominador. Estratégia: substituir o denominador.
  
  $\frac{d}{d x} (x^{2} + 9) = 2 x \Rightarrow u = x^{2} + 9, x d x = \frac{d u}{2}$
2. Um logaritmo sem barras de módulo, pois x² + 9 nunca é negativo:
  
  $\int \frac{x}{x ^{2} + 9} d x = \frac{1}{2} \int \frac{d u}{u} = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 9) + C$
Resposta

½ ln(x² + 9) + C. Frações parciais não servem aqui: x² + 9 não tem raiz real para decompor.

$\int \frac{x}{x ^{2} + 9} d x = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 9) + C$
Uma potência de x vezes uma exponencial 2 passos
Calcule ∫x e^3x dx.
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1. Pista: um dos fatores simplifica ao derivar e o outro é fácil de integrar. Estratégia: por partes, com u = x.
  
  $u = x, d v = e^{3 x} d x, v = \frac{1}{3} e^{3 x}$
2. Uma só passagem, e a integral que resta já está na tabela:
  
  $\int x e^{3 x} d x = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{3} \int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$
Resposta

e^3x(x/3 − 1/9) + C. Nenhuma substituição resolve: o x que acompanha e^3x não é a derivada de 3x.

$\int x e^{3 x} d x = e^{3 x} (\frac{x}{3} - \frac{1}{9}) + C$
Um denominador fatorável 2 passos
Calcule ∫5/((x + 1)(x − 4)) dx.
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1. Pista: uma função racional cujo denominador já está fatorado. Estratégia: frações parciais pelo método da cobertura.
  
  $\frac{5}{( x + 1 ) ( x - 4 )} = \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 1}, A = \frac{5}{5} = 1, B = \frac{5}{- 5} = - 1$
2. Dois logaritmos:
  
  $\int (\frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 1}) d x = ln ∣ x - 4∣ - ln ∣ x + 1∣ + C$
Resposta

ln|(x − 4)/(x + 1)| + C. O 5 no numerador é o que o método da cobertura divide: 5/(4 + 1) e 5/(−1 − 4).

$\int \frac{5 d x}{( x + 1 ) ( x - 4 )} = ln \frac{x - 4}{x + 1} + C$
Uma potência par do cosseno 2 passos
Calcule ∫cos²x dx.
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1. Pista: potência par, sem fator ímpar para gastar no du. Estratégia: usar o arco metade.
  
  $cos^{2} x = \frac{1}{2} (1 + cos 2 x)$
2. Integre termo a termo:
  
  $\int \frac{1}{2} (1 + cos 2 x) d x = \frac{x}{2} + \frac{sin 2 x}{4} + C$
Resposta

x/2 + sin 2x/4 + C. u = sin x não funciona: um cos x forma o du e o outro sobra como √(1 − u²), porque a potência é par.

$\int cos^{2} x d x = \frac{x}{2} + \frac{sin 2 x}{4} + C$
Parece por partes, mas é uma substituição 2 passos
Calcule ∫(ln x)/x dx para x > 0.
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1. Pista: 1/x é a derivada de ln x, que está logo ao lado. Passo: substituir u = ln x.
  
  $u = ln x, d u = \frac{d x}{x}$
2. Uma potência de u:
  
  $\int \frac{ln x}{x} d x = \int u d u = \frac{u ^{2}}{2} = \frac{( ln x ) ^{2}}{2} + C$
Resposta

(ln x)²/2 + C. Por partes também funcionaria, com o integral a regressar a si mesmo em I = (ln x)² − I; a substituição chega lá numa só linha.

$\int \frac{ln x}{x} d x = \frac{( ln x ) ^{2}}{2} + C$
Sem raízes reais: completar o quadrado 2 passos
Calcule ∫dx/(x² − 6x + 10).
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1. Pista: o discriminante, 36 − 40, é negativo, logo não se decompõe em fatores. Passo: completar o quadrado.
  
  $36 - 40 < 0; x^{2} - 6 x + 10 = (x - 3)^{2} + 1$
2. A forma da arcotangente, deslocada de 3:
  
  $\int \frac{d x}{( x - 3 ) ^{2} + 1} = arctan (x - 3) + C$
Resposta

arctan(x − 3) + C. É o único passo que a pesquisa da página não consegue dar, e por isso vale a pena fazê-lo à mão uma vez.

$\int \frac{d x}{x ^{2} - 6 x + 10} = arctan (x - 3) + C$
Fração imprópria: dividir primeiro 2 passos
Calcule ∫x³/(x² + 1) dx.
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1. Pista: o grau do numerador supera o do denominador. Passo: dividir.
  
  $x^{3} = x (x^{2} + 1) - x \Rightarrow \frac{x ^{3}}{x ^{2} + 1} = x - \frac{x}{x ^{2} + 1}$
2. Depois, uma potência e um f′/f:
  
  $\int (x - \frac{x}{x ^{2} + 1}) d x = \frac{x ^{2}}{2} - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
Resposta

x²/2 − ½ ln(x² + 1) + C. Dois passos, o segundo por substituição, e nenhum deles se revela antes de dar o primeiro.

$\int \frac{x ^{3}}{x ^{2} + 1} d x = \frac{x ^{2}}{2} - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
Uma área sem indícios 3 passos
Calcula ∫₀^π²/4 sin √x dx. Carrega em Sem indícios: a página encontra a primitiva em 2 passos, substituição seguida de integração por partes, e termina aí.

Abrir este problema na ferramenta
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1. Faz u = √x, pelo que x = u² e dx = 2u du. Os limites também mudam: a x = 0 corresponde u = 0, e a x = π²/4 corresponde u = π/2.
  
  $\int_{0}^{π^{2} /4} sin x d x = \int_{0}^{π /2} 2 u sin u d u$
2. Integra por partes, derivando 2u e integrando sin u:
  
  $\int 2 u sin u d u = - 2 u cos u + \int 2 cos u d u = 2 sin u - 2 u cos u$
3. Aplicando os novos limites, com cos(π/2) = 0 e sin(π/2) = 1:
  
  $[2 sin u - 2 u cos u]_{0}^{π /2} = (2 - 0) - (0 - 0) = 2$
Resposta

Exatamente 2. Ambos os limites contêm π, que desaparece do resultado: a substituição transformou π²/4 em π/2, onde o seno vale 1 e o cosseno vale 0. A regra de Simpson, aplicada ao integrando original com 4 000 subintervalos, dá 1,999999. A aproximação converge lentamente para 2, por valores inferiores, porque √x tem declive infinito em 0.

$\int_{0}^{π^{2} /4} sin x d x = 2$

Quando os indícios de substituição e de integração por partes aparecem juntos, começa pela substituição 🖖

Carrega em Ambos os indícios. 2x·e^(x²) é o produto de uma potência por uma exponencial, uma forma que costuma sugerir integração por partes. Esse caminho chega à tabela em três passos: u = e^(x²) e dv = 2x dx deixam 2x³e^(x²), uma expressão mais longa do que a inicial. A substituição precisa de um só passo, pois x² está dentro da exponencial e a sua derivada, 2x, já aparece como fator. A página fez a mesma comparação em 1 100 problemas gerados. Os dois indícios estavam presentes em 113; em todos esses 113, a substituição deu o caminho mais curto, e a integração por partes em nenhum. Em 26, o caminho por partes nem sequer chegou à tabela em três passos. Quando o indício de substituição não estava presente, o de integração por partes acertou em 181 de 188.

A maioria destas integrais admite várias opções para começar 🖖

Carrega em Dois caminhos. A substituição u = sin x resolve sin x·cos x num passo. A integração por partes também: com u = sin x e dv = cos x dx, reaparece o próprio integral, I = sin²x − I, de onde I = sin²x/2. A transformação trigonométrica, que reserva um fator para du, também precisa de um só passo. Dos 1 100 problemas, 842 admitiam pelo menos dois dos cinco passos iniciais que levavam à tabela em até três passos. Em 650, havia um segundo caminho que demorava, no máximo, mais um passo do que o melhor. Alguns desses caminhos são desvios que um professor não escolheria, como integrar uma função racional por partes. Contam porque chegam ao resultado. Por isso, a página aceita qualquer passo inicial que leve à tabela; a linha por baixo dos botões indica se existe um caminho mais curto. Dois caminhos podem dar respostas com formas diferentes. A primeira página deste capítulo, Primitivas, explica por que razão ambas estão certas.

O comprimento de uma integral diz muito pouco sobre quantos passos exige 🖖

Carrega em Curto não é fácil. arctan x tem dois símbolos e exige dois passos: integração por partes com dv = 1·dx, que deixa x/(x² + 1), seguida de uma substituição. Entre as expressões de aspeto semelhante, −6x⁴ − 2/√(1 − x²) tem quinze símbolos e já está na tabela. Nos 1 100 problemas, os integrais resolvidos diretamente pela tabela têm um comprimento mediano de 8 símbolos; os que exigem um passo, 10; os que exigem dois, 9. O integral mais longo resolvido pela tabela tem 15 símbolos, e o mais curto que exige dois passos tem 3. Os indícios dependem da estrutura: uma expressão dentro de outra, um fator que se simplifica ao derivar, um denominador que se decompõe, uma potência de seno com expoente ímpar ou par.

Percurso de aprendizagem

Técnicas de integração

Referências (2)

A strategy for picking the technique, with the page's three findings in it: look for a simple substitution before the heavier techniques (u = x² − 1 for x/(x² − 1), which partial fractions would also do), “a polynomial times a trig function, exponential, or logarithm” as the sign that parts may work, “some integrals can be done in more than one way”, and a substitution that leads on to parts or partial fractions: P. Dawkins, “Integration Strategy”, Paul's Online Notes, Calculus II, section 7.7, Lamar University (page last modified 31 July 2026).
The both-cues integral done by parts: ∫t³e^(t²) dt, where the strict LIATE choice fails and dv = t·e^(t²) dt is taken instead, an integral that is itself a substitution (Example 3.4, “When LIATE Doesn't Quite Work”); and ∫sin(ln x) dx with dv = 1·dx, solved after two rounds (Example 3.5): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 2, OpenStax (2016), section 3.1, “Integration by Parts”.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.