Comprimento de arco e sólido de revolução
Fórmulas de comprimento de arco e revolução em torno do eixo x, avaliadas numericamente com integração de Simpson.
Integração de Distância Curvilínea 🖖
A longitude do arco calcula a distância 1D exata ao longo de um caminho 2D. Derivada do teorema de Pitágoras infinitesimal, integra a raiz quadrada da derivada ao quadrado, traduzindo trajetórias curvas em métricas lineares.
Girar uma curva até formar um sólido 🖖
O segundo modo desta ferramenta funciona como um torno ou uma roda de oleiro: pega-se a curva y=f(x) e gira-se em torno do eixo x para gerar um sólido de revolução em 3D. Para achar o volume, a ferramenta corta o sólido em discos finos, cada um um círculo de raio f(x), e os soma. Gire a reta y=x de 0 a 3 e você obtém um cone perfeito de volume 9π — sem nenhuma fórmula de geometria, apenas a integral.
A trombeta que se enche mas nunca se pinta 🖖
Gire y=1/x de x=1 até o infinito em torno do eixo x e você obtém a Trombeta de Torricelli (a Trombeta de Gabriel). Seu volume converge para exatamente π, mas sua área de superfície é infinita. Esse «paradoxo do pintor» significa que a trombeta comporta π unidades de tinta, mas nenhuma quantidade finita jamais cobriria sua parede interna. Evangelista Torricelli descobriu isso na década de 1640, antes de o cálculo existir formalmente, e até ele achou aquilo absurdo.
Problemas de exemplo
- arco de parábola - O comprimento de arco de y=x^2 em [0,2] é maior que o da corda reta.
- arco de semicírculo - O arco do semicírculo em [-1,1] aproxima-se de pi, como esperado.
- esfera por revolução - Revolucionar um semicírculo em torno do eixo x gera valores do tipo esfera, 4pi e 4pi/3.
- cone por revolução - Revolucionar y=x em [0,3] produz um cone com volume analítico 9pi.