Acumulação e Movimento

Integrar a velocidade dá a variação da posição; integrar o seu valor absoluto mostra quanto o objeto realmente percorreu. Os dois valores divergem sempre que há inversão de sentido. A página sombreia o avanço e o recuo, desenha a posição e assinala os instantes em que a velocidade iguala o seu valor médio.

Distância versus deslocamento	$\int_{a}^{b} v d t = s (b) - s (a), d = \int_{a}^{b} ∣ v ∣ d t$
Valor médio	$\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (t) d t$

Exemplo resolvido — Acumulação e Movimento

Deslocamento	1,3333
Distância dividida por troços	4
Velocidade média	0,3333
Velocidade escalar média	1
Instantes com v igual à média	0,8453, 3,1547

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Acumulação e Movimento

Para uma velocidade v(t) em [a, b], o deslocamento é ∫ₐᵇ v dt e a distância percorrida é ∫ₐᵇ |v| dt. O valor médio de uma função f em [a, b] é (1/(b − a))∫ₐᵇ f dt: a altura do retângulo sobre [a, b] com a mesma área que f.

O que significa cada símbolo

v̄: a velocidade média, obtida dividindo o deslocamento pelo tempo decorrido

De onde vem a fórmula

Distância: decompor nas inversões. Onde v muda de sinal o objeto inverte o sentido, e a expressão de |v| muda de cada lado. Integre entre inversões consecutivas e some os valores absolutos.
$\int_{a}^{b} ∣ v ∣ d t = i \sum \int_{t_{i}}^{t_{i + 1}} v d t, v (t_{i}) = 0$
A média é atingida. Uma função contínua f em [a, b] assume todos os valores entre o seu mínimo m e o seu máximo M. Como a média se situa entre ambos, f atinge o valor médio em algum ponto c.
$m \leq \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f d t \leq M \Rightarrow f (c) = \overset{ˉ}{f}$

Problemas resolvidos na íntegra

Valor médio e onde é atingido 2 passos
Determine o valor médio de f(t) = t² em [0, 3] e o instante em que f o atinge.

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1. Divida a integral pelo comprimento do intervalo:
  
  $\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{3} \int_{0}^{3} t^{2} d t = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$
2. Resolva f(c) = 3 no interior do intervalo:
  
  $c^{2} = 3 \Rightarrow c = 3$
Resposta

Média 3, atingida em c = √3 ≈ 1,7321. Não no ponto médio 1,5, onde t² vale apenas 2,25.

$\overset{ˉ}{f} = 3, c = 3 \approx 1.7321$
Deslocamento e distância 2 passos
Uma partícula move-se com velocidade v(t) = t² − 4t + 3 para 0 ≤ t ≤ 4. Determine o seu deslocamento e a distância percorrida.

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1. O deslocamento é a integral simples:
  
  $\int_{0}^{4} (t^{2} - 4 t + 3) d t = [\frac{t ^{3}}{3} - 2 t^{2} + 3 t]_{0}^{4} = \frac{4}{3}$
2. O sentido inverte-se onde v = 0, em t = 1 e t = 3; decomponha a distância nesses pontos:
  
  $\frac{4}{3} + - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 4$
Resposta

Deslocamento 4/3, distância 4. Cada um dos três trechos cobre 4/3; o do meio é feito em recuo.

$Δ s = \frac{4}{3}, d = 4$
Posição a partir da velocidade e da condição inicial 2 passos
Sendo v(t) = 3t² − 6t e s(0) = 2, determine s(t) e a posição em t = 3.
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1. A posição é a condição inicial somada à velocidade acumulada:
  
  $s (t) = 2 + \int_{0}^{t} (3 τ^{2} - 6 τ) d τ = t^{3} - 3 t^{2} + 2$
2. Em t = 3:
  
  $s (3) = 27 - 27 + 2 = 2$
Resposta

s(t) = t³ − 3t² + 2 e s(3) = 2. De volta à partida: recuou até t = 2, onde s = −2, e depois avançou novamente.

$s (t) = t^{3} - 3 t^{2} + 2, s (3) = 2$
A média do seno 1 passos
Determine o valor médio de sin t em [0, π].

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1. A integral sob o arco, dividida pela sua largura:
  
  $\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} sin t d t = \frac{1}{π} [- cos t]_{0}^{π} = \frac{2}{π}$
Resposta

2/π ≈ 0,6366. A página marca os dois instantes em que esse valor é atingido, em 0,6901 e em π − 0,6901 = 2,4515.

$\overset{ˉ}{f} = \frac{2}{π} \approx 0.6366$
Acumulação a partir de uma taxa 1 passos
Entra água num tanque a uma taxa r(t) = 20 − 4t litros por minuto, durante 0 ≤ t ≤ 5. Quanta água entra?
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1. A quantidade acumulada é a integral da taxa:
  
  $\int_{0}^{5} (20 - 4 t) d t = [20 t - 2 t^{2}]_{0}^{5} = 100 - 50$
Resposta

50 litros. A taxa cai para 0 em t = 5, logo a quantidade corresponde à área de um triângulo de base 5 e altura 20 — uma verificação que dispensa o cálculo.

$50 L$
Viagem de ida e volta 2 passos
Sendo v(t) = sin t em [0, 2π], determine a velocidade média e a velocidade escalar média.

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1. O deslocamento ao longo da volta completa é 0:
  
  $\int_{0}^{2 π} sin t d t = 0$
2. A distância reparte-se em π:
  
  $\frac{1}{2 π} (\int_{0}^{π} sin t d t - \int_{π}^{2 π} sin t d t) = \frac{4}{2 π} = \frac{2}{π}$
Resposta

Velocidade média 0, velocidade escalar média 2/π ≈ 0,6366. Uma ida e volta tem sempre velocidade média 0, por mais depressa que o objeto tenha viajado.

$\overset{v}{ˉ} = 0, \frac{2}{π} \approx 0.6366$

O deslocamento diz onde terminou; só a distância diz quanto andou 🖖

Clique em O triplo da distância. A velocidade t² − 4t + 3 é positiva até t = 1, negativa de 1 a 3 e volta a ser positiva depois. Ao integrá-la em [0, 4], o recuo cancela parte do avanço: o corpo termina a 1,3333 da partida. Contudo, percorreu 4, o triplo desse valor, porque cada um dos três troços cobre 4/3 e apenas o valor absoluto os soma todos como distância. Integrar a velocidade diz-nos onde o objeto foi parar. Para saber quanto andou, divida o trajeto em cada inversão de marcha e some as parcelas como números positivos.

O valor médio é atingido algures, e raramente a meio 🖖

Clique em t²: fora do meio. A média de t² em [0, 3] é 9/3 = 3, e a linha tracejada cruza a curva uma única vez, em t = √3 ≈ 1,7321. O ponto médio do intervalo é 1,5, onde t² vale apenas 2,25. Para uma função contínua, o teorema do valor intermediário garante que a média é sempre atingida nalgum ponto, já que fica situada entre o mínimo e o máximo. O instante exato depende da geometria do gráfico: uma função com crescimento acelerado perto do fim, como t², alcança a média mais tarde.

Numa oscilação completa, a velocidade média é zero, mas a velocidade escalar não 🖖

Prima Uma oscilação completa. Numa volta completa, sen t avança e regressa ao ponto de partida: o deslocamento é 0, pelo que a velocidade média é 0, ainda que pelo caminho só pare ao inverter o sentido. Já a velocidade escalar média — a distância dividida pelo tempo — é 4/(2π) = 2/π ≈ 0,6366. Prima agora Meia oscilação: o valor médio de sen t em [0, π] também é 2/π. Afinal, a segunda metade da oscilação percorre a mesma distância que a primeira no mesmo intervalo de tempo, pelo que a velocidade escalar média na volta completa coincide com a velocidade média em meia oscilação.

Percurso de aprendizagem

Aplicações da integração

Referências (2)

Displacement against distance as the page computes them: the Net Change Theorem (Theorem 5.6, F(b) = F(a) + ∫ₐᵇ F′(x) dx) and Examples 5.24 and 5.25, net displacement from ∫v and total distance from ∫|v| split where v changes sign: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.4, “Integration Formulas and the Net Change Theorem”.
The average value reached somewhere: the Mean Value Theorem for Integrals (Theorem 5.3): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.3, “The Fundamental Theorem of Calculus”.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.