Bloqueio de Cardan e Quaterniões

Defina os três ângulos. O cardã gira e os anéis se movem. O painel indica quanto da liberdade dos três eixos ainda resta; depois, une e separa a guinada e a rolagem. Assim você pode ver qual dos dois impulsos deixou de ter efeito.

Exemplo resolvido — Bloqueio de Cardan e Quaterniões

A mesma rotação sob forma de quaternião	0,8463, 0,0178, 0,5145, 0,1369
A rotação única a que equivale	64,4°
e o eixo em torno do qual roda	0,033, 0,966, 0,257
Liberdade restante	50,0%
Mover guinada e rolamento em +10°	5,2°
Mover guinada +10°, rolamento −10°	19,3°

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Bloqueio de Cardan e Quaterniões

Um cardã consiste em três anéis, um dentro do outro, cada qual livre para girar em torno do seu próprio eixo. Temos três anéis, três ângulos e qualquer orientação desejada, até que dois dos anéis se alinhem. O bloqueio do cardã é esse exato momento. Os anéis externo e interno compartilham um plano, os seus dois ângulos fazem o mesmo trabalho e toda uma direção de giro se torna inatingível, qualquer que seja o ajuste dos anéis. Um quatérnio é a outra maneira de escrever uma rotação: quatro números em vez de três, e sem anéis para alinhar.

O que significa cada símbolo

ψ, θ, φ: guinada, arfagem e rolagem; os três ângulos dos anéis, aplicados nessa ordem sobre z, depois sobre o novo y e então sobre o novo x
q: o quatérnio (w, x, y, z): w = cos(α/2) para um único giro de α, e o restante é igual a sin(α/2) vezes o eixo em torno do qual ele gira
|cos θ|: a liberdade restante: o tamanho do determinante do mapeamento das taxas dos anéis para a forma como o corpo gira, valendo 1 quando os anéis estão ortogonais e 0 quando dois estão paralelos

Como ler o que vê

A página abre com a guinada a 30°, a arfagem a 60° e o rolamento a 20°. A linha do quaternião indica 0,8463; 0,0178; 0,5145 e 0,1369, e a linha abaixo traduz isso na única coisa que tal realmente representa: uma volta singular de 64,4° em torno de um eixo próximo de y. A liberdade regista 50,0%, o que corresponde exatamente a cos 60°. As duas linhas de teste assinalam 5,2° e 19,3°. Ambas continuam em movimento, mas já não na mesma proporção. Arraste a arfagem para 90° e o primeiro destes dois valores cai para 0,0°.

Pressupõe: Que os três giros ocorram nessa ordem e em torno desses eixos. Mude a convenção para z-y-z e a dobra se move para um ângulo central de 0° em vez de 90°, mas não desaparece. Todo esquema de três ângulos possui uma configuração bloqueada em algum lugar. Trata-se de um teorema sobre a rotação tridimensional, não de uma falha de uma convenção específica.
Falha quando: Não quebra. Esse é precisamente o objetivo. A plataforma de guiamento da Apollo possuía três anéis de cardan em vez de quatro, pelo que a tripulação tinha uma região de atitudes que devia contornar e não atravessar. A alternativa seria um quarto anel mais pesado. O que realmente quebra é a ideia de que ter mais precisão ajuda. Aos 90°, a terceira liberdade desaparece por completo em vez de ficar pequena, e nenhum número de casas decimais na guinada ou no rolamento a conseguirá recuperar.

O bloqueio de cardan é um declive, mas todos o descrevem como um precipício 🖖

Arraste a arfagem para cima a partir do nível e observe a linha de liberdade. Ela é dada por |cos θ|: 86,6% a 30°, 50,0% a 60°, 17,4% a 80° e 1,7% a 89°. Nada de repentino acontece com esse número aos 90°. O último grau quase não custa nada, pois já não havia quase nada a perder. Uma plataforma rastreando a 80° de arfagem obtém um sexto do giro que teria no nível para o mesmo movimento dos anéis. Essa é a parte que a palavra "bloqueio" esconde. O valor representa o tamanho do determinante do mapeamento das taxas dos anéis para como o corpo realmente gira, ou seja, o volume de giro por unidade de movimento do anel. Assim, ele já se torna pequeno muito antes de os anéis ficarem paralelos.

Dê uma volta completa e o quaternião dirá que não a deu 🖖

Um quatérnio carrega o valor cos(α/2) para um giro de α, portanto ele conta meios-giros. Gire 360° em torno de z e ele lerá −1, 0, 0, 0, em vez do 1, 0, 0, 0 inicial. Apenas após 720° ele volta ao ponto de partida. Ambas as situações descrevem a mesma orientação, pois q e −q apontam para o mesmo corpo. O quatérnio mantém um registro de algo que o próprio objeto esqueceu. Isso não é um acidente de notação e a interpolação precisa ser informada sobre o fato. A regra do arco mais curto inverte o sinal quando dois quatérnios apontam para direções opostas; sem essa linha, um giro de meio segundo toma o caminho mais longo.

O caminho mais longo é perfeitamente fluido 🖖

A interpolação dos ângulos de Euler costuma ser acusada de fazer a animação oscilar, o que quase nunca é verdade. Medindo da guinada 79,9°, arfagem 85,5° e rolagem 153,5° até a guinada 155,5°, arfagem 75,0° e rolagem −139,8°, as duas orientações estão a 16,7° de distância. A travessia linear dos três ângulos viaja 368,1° para chegar lá. É uma jornada vinte e duas vezes longa demais, a uma taxa que varia em meio por cento do início ao fim. Nada parece errado enquanto o movimento acontece. Em mais de 4.000 pares aleatórios, o caminho de Euler nunca foi mais curto que o giro direto e teve, em média, 1,7 vez o seu comprimento.

Problema resolvido na íntegra

O que resta para controlar aos 90° de arfagem 6 passos
Defina a arfagem para 90° e a guinada para 20°, com o rolamento a 0°. Mostre que adicionar 10° à guinada e 10° ao rolamento deixa o corpo exatamente onde estava, e indique de que é que a orientação ainda depende.

Abrir este problema na ferramenta
1. A rotação é composta por três voltas ordenadas: guinada em torno de z, seguida da arfagem em torno do novo y, e finalmente o rolamento em torno do novo x. Escrito explicitamente, R = R_z(ψ)·R_y(θ)·R_x(φ).
  
  $R = R_{z} (ψ) R_{y} (θ) R_{x} (φ), ψ = 2 0^{\circ}, θ = 9 0^{\circ}, φ = 0^{\circ}$
2. Faça θ = 90°. A rotação intermédia transporta o eixo x para −z e o eixo z para x. Por conseguinte, a primeira e a última voltas passam a aplicar-se em torno da mesma reta no espaço. O que quer que ψ faça, φ pode desfazer.
  
  $R_{y} (9 0^{\circ}) : \overset{x}{^} \mapsto - \overset{z}{^}, \overset{z}{^} \mapsto \overset{x}{^}$
3. Assim, o produto reduz-se a uma única rotação que depende de φ − ψ e de mais nada. Dois pares diferentes com a mesma diferença representam a mesma orientação, e não apenas uma orientação semelhante.
  
  $⟹ R = R_{y} (9 0^{\circ}) R_{x} (φ - ψ) — one angle, not two$
4. Verifique o resultado. Começando com ψ = 20° e φ = 0°, a diferença é −20°. Passando para ψ = 30° e φ = 10°, a diferença continua a ser −20°.
  
  $φ - ψ = 0 - 20 = - 2 0^{\circ}; ψ = 30, φ = 10 \Rightarrow 10 - 30 = - 2 0^{\circ}$
5. Portanto, esses dois conjuntos de ângulos não são meramente próximos. Eles nomeiam a mesma orientação e a lacuna entre eles é nula. A linha do ângulo não se move de forma alguma.
  
  $∠ (R_{20, 90, 0}, R_{30, 90, 10}) = 0.000 0^{\circ}$
6. Agora, em vez disso, quebre a diferença. ψ = 30°, φ = −10° resulta em −40°, e o corpo gira os 20,0000° completos.
  
  $ψ = 30, φ = - 10 \Rightarrow - 4 0^{\circ}, ∠ (R_{20, 90, 0}, R_{30, 90, - 10}) = 20.000 0^{\circ}$
Resposta

Adicionar 10° a ambos deixa o corpo exatamente onde estava. As duas orientações diferem em 0,0000° e ambas representam o mesmo giro único de 91,728° em torno de (−0,1711, 0,9703, 0,1711). Adicionar a um e subtrair do outro move o corpo por todos os 20,0000°. O que sobrevive em θ = +90° é φ − ψ, um único número onde antes havia dois. Em θ = −90°, por outro lado, sobrevive φ + ψ. O terceiro grau de liberdade deixou de existir em vez de apenas se tornar difícil de alcançar. Nenhuma quantidade de precisão em ψ ou φ será capaz de trazê-lo de volta.

$φ - ψ = - 2 0^{\circ} ⟹ 91.72 8^{\circ} about (- 0.1711, 0.9703, 0.1711)$

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.