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Reflexões e os Movimentos Rígidos do Plano

Posicione até três retas de reflexão e reflita a letra F em cada uma, sucessivamente. A página analisa a transformação combinada para determinar do que se trata: uma reflexão, uma rotação, uma translação, uma reflexão deslizante ou nenhuma alteração. O processo também funciona no sentido inverso. Pode fornecer uma rotação, uma translação ou um deslizamento, e a página construirá os espelhos correspondentes. A tabela abaixo da figura realiza as operações matriciais.

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Lição

A teoria — Reflexões e os Movimentos Rígidos do Plano

Uma isometria do plano é uma transformação que preserva todas as distâncias. Uma reflexão através de uma reta envia cada ponto para a sua imagem refletida e inverte a orientação. Uma figura com as letras no sentido horário resultará no sentido anti-horário. Compor duas reflexões produz uma isometria que mantém a orientação. Se as retas se cruzarem, obtemos uma rotação pelo dobro do ângulo entre elas. Se forem paralelas, temos uma translação correspondente ao dobro da distância que as separa. Três reflexões originam uma reflexão simples ou uma reflexão deslizante, e todas as isometrias do plano derivam da composição de, no máximo, três reflexões.

O que significa cada símbolo

α
o ângulo do primeiro espelho para o segundo. A rotação é de 2α
d
a distância entre dois espelhos paralelos. A translação é 2d, em ângulo reto com eles
det
o determinante da parte linear: +1 se o movimento mantiver a orientação, −1 se a inverter
g
o deslocamento de uma reflexão deslizante, ao longo do seu eixo
M
a transformação combinada sob a forma de matriz, sendo o produto das reflexões na ordem inversa de aplicação

Dois espelhos formam uma rotação com o dobro do seu ângulo 🖖

Pressione Dois espelhos cruzados. Os espelhos encontram-se a 45°. Refletir o F num e depois no outro gera uma rotação de 90° em torno da interseção, o que corresponde ao dobro do ângulo entre eles. Cada reflexão inverte a figura. Duas inversões devolvem a orientação original, e uma isometria que mantenha a orientação fixando um ponto é uma rotação em torno do mesmo. Agora, escolha Espelhos paralelos. Dois espelhos distanciados de 2 deslizam o F em 4, o dobro do espaço, na direção perpendicular. Uma translação atua como uma rotação cujo centro se deslocou para o infinito, e os espelhos paralelos são espelhos concorrentes em que o ponto de encontro sofreu o mesmo destino.

A ordem de dois espelhos decide a direção 🖖

Selecione Dois espelhos cruzados e, em seguida, Os mesmos, invertidos. As retas continuam as mesmas. Apenas a ordem de aplicação foi alterada, e a rotação passa de +90° para −90°. A segunda composição anula a primeira, pois cada reflexão desfaz-se a si própria. Com três espelhos por um único ponto, a ordem deixa de ter importância. Prima Três por um ponto e inverta-os. O resultado será a mesma reflexão isolada, e não uma diferente. A ordem afeta dois espelhos, a menos que sejam coincidentes ou perpendiculares. No caso de três, importa exceto se convergirem num único ponto ou forem todos paralelos.

Três espelhos geram o movimento que dois não conseguem 🖖

Qualquer movimento rígido do plano enquadra-se numa de cinco categorias: a identidade, uma reflexão, uma rotação, uma translação ou uma reflexão deslizante. Esta última consiste numa reflexão sobre uma reta seguida de um deslizamento ao longo da mesma. Pegadas na areia são o exemplo perfeito do dia a dia. Pressione Três num triângulo. Três retas que não se intersetam num único ponto e não são todas paralelas originam um deslizamento numa reta a 60°, com um comprimento de 6. Um só espelho não consegue deslizar e dois não conseguem inverter. Logo, nenhuma quantidade menor de reflexões produz este resultado. Selecione Construir deslizamento ou Construir uma rotação para inverter o processo. A página encontrará os espelhos necessários para o movimento solicitado. São sempre precisas, no máximo, três reflexões.

Problema resolvido na íntegra

  1. O efeito de dois espelhos cruzados numa figura 5 passos

    Dois espelhos passam pela origem, o primeiro a 10° do eixo x e o segundo a 55°. Efetue a reflexão no primeiro e depois no segundo. Em seguida, descubra a que movimento único este par equivale. Pressione Dois espelhos cruzados para verificar.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. Uma reflexão numa reta que passa pela origem com um ângulo a tem a seguinte matriz:

    2. Aplicar a primeira e depois a segunda implica multiplicá-las, nessa ordem, a partir da direita:

    3. Ao efetuar a multiplicação, o produto resulta numa matriz de rotação:

    4. O seu ângulo corresponde ao dobro do ângulo do primeiro para o segundo espelho:

    5. Ambas as retas passam pela origem, e como nenhuma reflexão a desloca, a origem é o centro:

    Resposta

    O par forma uma rotação de 90° em torno da origem, o dobro dos 45° que separam os espelhos. O seu determinante é +1, logo o F mantém a orientação natural. Troque a ordem e o ângulo passa a −90°: trata-se das mesmas duas retas, mas com a rotação no sentido oposto.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.