Explorador de geometria analítica

Dois pontos determinam um segmento e uma reta inteira. Arraste um deles para ligar o triângulo retângulo, a distância exata, o ponto médio, o vetor diretor, a inclinação, as equações da reta e a mediatriz.

Exemplo resolvido — Explorador de geometria analítica

Cateto horizontal Δx	3,0
Cateto vertical Δy	4,0
Distância AB	5,00
Distância exata	5
Ponto médio	(2,5; 3)
Vetor diretor	(3; 4)
Declive	4/3
Inclinação θ	53,1°

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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A fórmula da distância é Pitágoras com o triângulo apagado 🖖

Costuma ser ensinada como coisa para decorar, e não é: baixe uma horizontal a partir de um ponto e uma vertical a partir do outro, e encontram-se em ângulo reto. Os catetos são Δx e Δy, o segmento é a hipotenusa, e d² = Δx² + Δy² é a² + b² = c² com o triângulo por desenhar. Esta ferramenta desenha-o. Experimente a predefinição 3-4-5 — catetos de 3 e 4, distância exatamente 5 — é o mesmo triângulo que aparece em todas as fichas de exercícios desde Euclides.

Um segmento vertical tem comprimento e não tem declive 🖖

Ponha os dois pontos em x = 3 e a ferramenta indica uma distância de 10 e um declive indefinido. As duas coisas estão certas, e é o par delas que interessa. O segmento está visivelmente ali e mede visivelmente 10 unidades, portanto «indefinido» não pode querer dizer que a reta falta ou é estranha — quer dizer que Δy ÷ Δx divide por zero, e a falha pertence à fórmula, não à reta. Uma reta vertical continua a ter equação, x = 3; apenas não é da forma y = mx + c, porque essa forma pressupõe que a cada x corresponde exatamente um y.

O ponto médio é exato onde a distância não é 🖖

O ponto médio é uma média: some os dois x, divida por dois, e o mesmo para os y. É aritmética, e cai num número que se pode escrever exatamente. A distância exige uma raiz quadrada, e raízes de somas de quadrados quase nunca são racionais. A diagonal unitária mostra as duas coisas ao mesmo tempo — o ponto médio é exatamente (0,5; 0,5) enquanto a distância é 1,41 e continua para sempre. Os mesmos dois pontos, uma resposta exata e outra aproximada, e a diferença está inteiramente na operação a que foi preciso recorrer.

A mediatriz é uma equação de equidade 🖖

Ative a mediatriz. Cada ponto P da reta verde satisfaz PA = PB. Ao elevar as distâncias ao quadrado, x² e y² cancelam-se: uma condição que parecia quadrática torna-se uma reta. No exemplo 3-4-5 é 6x + 8y = 39.

Problemas resolvidos na íntegra

A distância da origem à reta 4x − 3y = 1 7 passos
A ferramenta apresenta a reta que passa por A e B como 4x − 3y = 1, e o segmento como tendo exatamente 5. Pergunte-lhe a que distância essa reta passa de um ponto que não lhe pertence — a origem, por exemplo —, e não obterá qualquer resposta. Deduza essa distância recorrendo apenas aos dois pontos.
1. Tudo o que se segue provém de uma única subtração. B − A é o trajeto de A para B: três na horizontal, quatro na vertical, que é exatamente o que as duas linhas dos catetos indicam.
  
  $A B = B - A = (4 - 1, 5 - 1) = (3, 4)$
2. Esses catetos formam os lados de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o segmento, de modo que o seu comprimento é Pitágoras e nada mais. Este é o par onde a raiz dá um número exato. Como 25 é um quadrado perfeito, a linha de valor exato exibe 5 em vez de um radical.
  
  $∣ A B ∣ = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$
3. A equação não requer qualquer divisão. Todos os pontos da reta mantêm a mesma inclinação com A. Ao eliminar a fração, a expressão transforma-se em Δy·x − Δx·y, igual ao valor dessa combinação no ponto A. Esta é a forma que consta na página, e é a única que se mantém válida num segmento vertical, quando se torna impossível escrever y = mx + c.
  
  $Δ y x - Δ x y = Δ y a_{x} - Δ x a_{y} : 4 x - 3 y = 4 (1) - 3 (1) = 1$
4. Agora analise os coeficientes que acabou de produzir. O par (4, −3) corresponde a (Δy, −Δx): o segmento rodado num ângulo reto. A rotação de um vetor não altera o seu comprimento, logo, a normal tem 5 de comprimento — o mesmo 5 de AB. Isso não é um mero acaso desta configuração; é uma propriedade válida para qualquer par de pontos e é o que torna o passo seguinte tão simples.
  
  $n = (Δ y, - Δ x) = (4, - 3), ∣ n ∣ = 4^{2} + (- 3)^{2} = 5 = ∣ A B ∣$
5. Avance uma unidade ao longo da normal e o primeiro membro sofrerá uma variação de 5, que é o próprio comprimento da normal. Consequentemente, o valor que a expressão assume em qualquer ponto corresponde à distância até à reta multiplicada por 5. Substitua pela origem: o numerador reduz-se a 1, o denominador é esse mesmo 5, e a reta passa a exatamente um quinto de distância da origem.
  
  $d (P) = \frac{∣4 p _{x} - 3 p _{y} - 1∣}{∣ n ∣}, d (O) = \frac{∣0 - 0 - 1∣}{5} = \frac{1}{5} = 0.2$
6. Percorra esse quinto e alcançará a própria reta. O pé da perpendicular encontra-se em (0,16; −0,12), e se substituir esses valores de volta em 4x − 3y, o resultado será 0,64 + 0,36 = 1 — sobre a reta, e a 0,2 do ponto de partida.
  
  $F = O - \frac{n \cdot O - 1}{∣ n ∣ ^{2}} n = \frac{1}{25} (4, - 3) = (0.16, - 0.12), 4 (0.16) - 3 (- 0.12) = 0.64 + 0.36 = 1$
7. Uma consequência surge de forma imediata. Se o denominador da fórmula da distância é |AB|, então |AB| vezes essa distância equivale ao dobro da área do triângulo que tem O, A e B nos seus vértices.
  
  $[O A B] = \frac{1}{2} ∣ A B ∣ d (O) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 0.2 = 0.5, \frac{1}{2} ∣ x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A} ∣ = \frac{1}{2} ∣1 \cdot 5 - 4 \cdot 1∣ = 0.5$
Resposta

A reta passa a 0,2 da origem, e o triângulo OAB possui uma área de exatamente ½. Verifique a área através de um percurso que não menciona distâncias em momento algum: a fórmula de Shoelace resulta em ½|x_Ay_B − x_By_A| = ½|5 − 4| = ½. São duas deduções que não partilham qualquer passo após a primeira subtração, chegando ao mesmo número. A ferramenta acompanha o raciocínio até à terceira linha e depois silencia-se. A distância até um ponto, o pé da perpendicular e a área são elementos que ela não calcula.

$d (P) = \frac{∣ n \cdot P - c ∣}{∣ n ∣}, ∣ n ∣ = ∣ A B ∣ = 5 ⟹ d (O) = \frac{1}{5} = 0.2, [O A B] = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 0.2 = 0.5$
O que as leituras dos dois catetos revelam sobre a malha 6 passos
O painel indica Δx = 10,0 e Δy = −10,0. Calcule por quantos pontos da malha este segmento passa no seu trajeto e decida se os dois catetos, por si só, bastariam para obter a resposta.
1. Primeiro o comprimento, pois será dividido mais à frente. √(10² + 10²) = √200 = 10√2. O painel exibe este valor duas vezes: 14,14 arredondado e 10√2 exato.
  
  $A B = (10, - 10), ∣ A B ∣ = 1 0^{2} + 1 0^{2} = 200 = 102 = 14.14$
2. Vamos escrever o segmento como um percurso. X(t) = A + t(Δx, Δy) = (−5 + 10t, 6 − 10t), com t a variar de 0 a 1.
  
  $X (t) = A + t (Δ x, Δ y) = (- 5 + 10 t, 6 - 10 t), 0 \leq t \leq 1$
3. X(t) tem coordenadas inteiras quando tΔx e tΔy são ambos inteiros. Isso acontece exatamente quando t é múltiplo de 1/g, sendo g o máximo divisor comum de |Δx| e |Δy|. Aqui g = mdc(10, 10) = 10, logo t avança em décimos.
  
  $X (t) \in Z^{2} ⟺ t Δ x, t Δ y \in Z ⟺ t = \frac{m}{g}, g = g cd (∣Δ x ∣, ∣Δ y ∣) = g cd (10, 10) = 10$
4. Cada décimo avança de (Δx/g, Δy/g) = (1, −1), gerando nove pontos estritamente entre as extremidades: (−4, 5), (−3, 4) e assim sucessivamente até (4, −3). Encontram-se uniformemente espaçados, à distância de √2 entre si, porque o comprimento também é dividido por g.
  
  $(\frac{Δ x}{g}, \frac{Δ y}{g}) = (1, - 1) : (- 4, 5), (- 3, 4), \dots, (4, - 3) — g - 1 = 9 points, spaced \frac{∣ A B ∣}{g} = 2$
5. A mesma divisão indica quando o comprimento resulta num valor inteiro. |AB| = g√((Δx/g)² + (Δy/g)²), portanto o radical reside inteiramente no par reduzido. Neste caso, esse par é (1, 1) e nada consegue eliminar a √2. Na predefinição 3-4-5, temos g = 1 e o par reduzido é (3, 4), um par de catetos de um terno pitagórico. É por esse motivo que a distância surge exatamente como 5.
  
  $∣ A B ∣ = g (\frac{Δ x}{g})^{2} + (\frac{Δ y}{g})^{2} = 10 1^{2} + 1^{2}; (3, 4) : g = 1, 3^{2} + 4^{2} = 5$
6. O ponto médio não exige cálculos adicionais. É o ponto onde t = ½, logo incide sobre a malha exatamente quando ½ é múltiplo de 1/g. Ou seja, quando g é par. Aqui, g = 10 e o ponto médio (0, 1) é o quinto dos nove. Na predefinição 3-4-5 temos g = 1, e o ponto (2,5; 3) fica entre as linhas da malha.
  
  $M = (\frac{a _{x} + b _{x}}{2}, \frac{a _{y} + b _{y}}{2}) \in Z^{2} ⟺ Δ x, Δ y both even : (0, 1) ✓, (3, 4) \Rightarrow (2.5, 3) \times$
Resposta

Nove, e sim. O máximo divisor comum dos dois catetos determina tudo e ambos constam do painel: um segmento entre pontos da malha cruza outros g − 1, o seu comprimento só é racional quando o par reduzido é pitagórico, e o seu ponto médio só é um ponto da malha quando g é par. Este último teste tem uma consequência que vale a pena reter. Um ponto da malha enquadra-se numa de quatro classes consoante a paridade das suas duas coordenadas. Assim, entre cinco pontos quaisquer, dois têm de partilhar a mesma classe, e o ponto médio desses dois recai sobre a malha.

$g = g cd (∣Δ x ∣, ∣Δ y ∣) : g - 1 lattice points between, ∣ A B ∣ \in Q ⟺ (\frac{Δ x}{g}, \frac{Δ y}{g}) is a Pythagorean pair$

Percurso de aprendizagem

As regras do triângulo e de onde vêm

Referências (2)

the origin of describing a curve by the coordinates of its points Descartes, R. (1637). La Géométrie, appendix to Discours de la méthode. Leiden: Jan Maire.
the theorem the distance formula is an application of Euclid. Elements, Book I, Proposition 47.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-20

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Problemas de exemplo

3-4-5 - Catetos de 3 e 4 dão uma distância de exatamente 5 — Pitágoras, em coordenadas.
Horizontal - Um par horizontal: o declive é 0 e a distância é apenas o percurso, 10.
Vertical - 10 unidades de comprimento e nenhum declive — «indefinido» é um facto sobre a fórmula, não sobre a reta.
Declive negativo - Desce exatamente tão depressa quanto avança: declive -1, distância 14,14.
Diagonal unitária - O ponto médio é exatamente (0,5; 0,5), ao passo que a distância, 1,41, nunca termina.