Explorador do Círculo Unitário

sen, cos & tan — visualizados no círculo unitário

Valores iniciais — Explorador do Círculo Unitário

Ângulo	45

Altere qualquer controlo acima e os resultados são recalculados.

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A tangente leva o nome de uma reta de verdade 🖖

Desenhe a reta vertical x = 1. Ela toca a circunferência num único ponto, e é isso que a torna uma tangente. Agora prolongue o raio de ângulo θ até essa reta: ele chega exatamente à altura tan θ. A 60° o raio passa por (0,5000, 0,8660) e se estende até (1, 1,7321) — o mesmo 1,7321 que esta ferramenta mostra para tan 60°. Esse segmento é o que deu nome à função, e também explica a divergência: quando θ se aproxima de 90°, o raio fica paralelo à reta e nunca mais a encontra, por isso o visor indica +∞ em vez de um número.

Onde as coordenadas são a resposta 🖖

O círculo unitário é simplesmente um círculo de raio 1 centrado na origem. Escolha qualquer ângulo θ e o ponto onde ele encontra o círculo tem exatamente as coordenadas (cos θ, sin θ) — como o raio é 1, nenhuma escala é necessária. A identidade pitagórica cos²θ + sin²θ = 1 é então apenas a fórmula da distância disfarçada: cada ponto fica a exatamente uma unidade do centro.

A palavra seno significa seio 🖖

O nome seno é o fóssil de um erro de tradução. Os matemáticos indianos chamavam a semicorda de ardha-jyā; os sábios árabes a transliteraram como jiba, escrita sem vogais como jb. Leitores posteriores a confundiram com jaib — seio, dobra ou baía —, de modo que os tradutores latinos escolheram sinus, "uma dobra da veste". Cada sin θ que você escreve evoca um deslize de copista de séculos atrás.

O CÍRCULO UNITÁRIO — QUE FAMÍLIA DE ÂNGULOS, E O QUE FIXA OS SINAIS?

Em que caso do círculo unitário você está?

Um círculo de raio 1 carrega toda a trigonometria: o ponto do ângulo θ tem coordenadas (cos θ, sin θ), e isso é a definição, não uma consequência. Quase todo ângulo que lhe pedirem cai numa de três famílias: a diagonal de 45°, o par 30° e 60° recortado do triângulo equilátero, e os quatro ângulos que pousam sobre os eixos. Tudo o que está fora do primeiro quadrante é um desses com um sinal grudado.

45° — o caso isósceles, em que seno e cosseno são iguais sinθ = cosθ = √2/2

30° e 60° — duas leituras do mesmo triângulo sinθ = cos(90° − θ)

Sobre um eixo — uma coordenada é zero e a tangente quebra cosθ = 0 ⇒ tanθ → ±∞

Passado o primeiro quarto — os tamanhos se repetem, só os sinais mudam ±f(θ′), θ′ = θ − 180°

45° — o caso isósceles, em que seno e cosseno são iguais

O que você sabe: Metade de um ângulo reto. O ponto está sobre a diagonal y = x, então as duas coordenadas têm de ser iguais e tan θ = 1.

Valores: sinθ = cosθ = √2/2

Exemplo resolvido: θ = 45° → sin θ = cos θ = √2/2 ≈ 0,7071, tan θ = 1

Abrir este caso: 45°

45° — o caso isósceles, em que seno e cosseno são iguais. O ponto de 45° cai exatamente sobre a diagonal, então as duas coordenadas valem √2/2. Metade de um ângulo reto. O ponto está sobre a diagonal y = x, então as duas coordenadas têm de ser iguais e tan θ = 1. — O ponto de 45° cai exatamente sobre a diagonal, então as duas coordenadas valem √2/2.

30° e 60° — duas leituras do mesmo triângulo

O que você sabe: Metade de um triângulo equilátero tem lados 1, 1/2 e √3/2. Qual comprimento é o seno e qual é o cosseno depende só de em que ângulo agudo você se coloca.

Valores: sinθ = cos(90° − θ)

Exemplo resolvido: θ = 30° → sin θ = 1/2 = 0,5, cos θ = √3/2 ≈ 0,8660, tan θ = 1/√3 ≈ 0,5774. Em 60° os dois primeiros trocam de lugar.

Abrir este caso: 30°

30° e 60° — duas leituras do mesmo triângulo. O ponto de 30° fica baixo e bem à direita; em 60° esses mesmos dois comprimentos trocam de papel. Metade de um triângulo equilátero tem lados 1, 1/2 e √3/2. Qual comprimento é o seno e qual é o cosseno depende só de em que ângulo agudo você se coloca. — O ponto de 30° fica baixo e bem à direita; em 60° esses mesmos dois comprimentos trocam de papel.

Sobre um eixo — uma coordenada é zero e a tangente quebra

O que você sabe: Os ângulos 0°, 90°, 180° e 270° põem o ponto sobre um eixo, então uma das duas coordenadas é exatamente zero.

Valores: cosθ = 0 ⇒ tanθ → ±∞

Exemplo resolvido: θ = 90° → sin θ = 1, cos θ = 0, e tan θ = sin θ / cos θ não tem valor nenhum

Abrir este caso: 90°

Sobre um eixo — uma coordenada é zero e a tangente quebra. Em 90° o ponto está no alto do círculo: altura 1, largura 0 e nenhuma tangente. Os ângulos 0°, 90°, 180° e 270° põem o ponto sobre um eixo, então uma das duas coordenadas é exatamente zero. — Em 90° o ponto está no alto do círculo: altura 1, largura 0 e nenhuma tangente.

Passado o primeiro quarto — os tamanhos se repetem, só os sinais mudam

O que você sabe: Depois de 90°, as coordenadas mantêm os tamanhos que tinham no ângulo de referência até o eixo horizontal. O quadrante decide quais são negativas.

Valores: ±f(θ′), θ′ = θ − 180°

Exemplo resolvido: θ = 180° → sin θ = 0, cos θ = −1. E sin 210° = −sin 30° = −0,5, porque 210° tem ângulo de referência 30° e fica no terceiro quadrante.

Abrir este caso: 180°

Passado o primeiro quarto — os tamanhos se repetem, só os sinais mudam. Meia volta leva o ponto a (−1, 0); os sinais de cada quadrante estão marcados em volta do círculo. Depois de 90°, as coordenadas mantêm os tamanhos que tinham no ângulo de referência até o eixo horizontal. O quadrante decide quais são negativas. — Meia volta leva o ponto a (−1, 0); os sinais de cada quadrante estão marcados em volta do círculo.

Problema resolvido na íntegra

Um limite inferior para π usando apenas o seno impresso a 45° 5 passos
Estabeleça um limite inferior para π utilizando apenas o seno apresentado a 45°. Este é o estado por omissão, θ = 45°, o caso isósceles em que o seno e o cosseno são iguais.
1. 45° bissecta o primeiro quadrante, pelo que o ponto cai sobre a reta y = x e as duas coordenadas não podem diferir. A equação da circunferência fica então com apenas uma incógnita.
  
  $x = y, x^{2} + y^{2} = 1 \Rightarrow 2 x^{2} = 1 \Rightarrow sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2} = 0.7071$
2. A linha da identidade é essa equação da circunferência reordenada, e 45° é o único ângulo no primeiro quadrante que a divide em duas metades iguais. É também o único em que a tangente, uma razão entre dois números iguais, é exatamente 1.
  
  $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 0.5000 + 0.5000 = 1, tan 4 5^{\circ} = \frac{0.7071}{0.7071} = 1.0000$
3. Um octógono regular inscrito no círculo corresponde a oito triângulos idênticos que se unem no centro, cada um com dois lados de comprimento 1 e um ângulo de 45° entre eles. A área de um tal triângulo é ½ab sin C, pelo que o seno já presente no ecrã é a única quantidade de que o octógono precisa.
  
  $A_{8} = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot sin 4 5^{\circ} = 4 \times 0.70711 = 2.82843$
4. O círculo unitário tem área π, pelo que a razão entre as duas áreas indica que fração do círculo o octógono abrange. Oito lados deixam um décimo do círculo de fora.
  
  $\frac{A _{8}}{π} = \frac{2.82843}{3.14159} = 0.9003$
5. Duplicar o número de lados exige o seno de metade do ângulo, e a fórmula do ângulo metade obtém-no a partir do cosseno já apresentado. A mesma fórmula ½ab sin C trata depois da figura de dezasseis lados.
  
  $sin 22. 5^{\circ} = \frac{1 - cos 4 5 ^{\circ}}{2} = 0.146447 = 0.38268 \Rightarrow A_{16} = 8 sin 22. 5^{\circ} = 3.06147$
Resposta

A ferramenta apresenta sin 45° = cos 45° = 0,7071, tan 45° = 1,0000 e a identidade como 0,5000 + 0,5000 = 1. Essas quatro casas decimais levam o octógono a 2,8284 e, após uma redução do ângulo para metade, o 16-gono a 3,0615. Ambos são limites inferiores e não estimativas: um polígono desenhado no interior do círculo não pode conter mais área do que o próprio círculo. Continuando a duplicar, o défice diminui por um fator de cerca de 4 de cada vez — 9,97%, 2,55%, 0,64%, 0,16% — de modo que um polígono de 96 lados — a contagem com que o próprio Arquimedes trabalhou — fornece 3,1394 por este método das áreas, correto até duas casas decimais e não mais. Esse fator de 4 é a razão pela qual o método acabou por ser abandonado: cada dígito correto adicional custa aproximadamente mais duas duplicações, e cada duplicação é mais uma raiz quadrada calculada à mão.

$A_{n} = \frac{n}{2} sin \frac{36 0 ^{\circ}}{n} ↗ π : A_{8} = 2.8284, A_{16} = 3.0615, A_{32} = 3.1214, A_{96} = 3.1394$

Percurso de aprendizagem

As regras do triângulo e de onde vêm

Conduz a Geometria analítica seno, cosseno e tangente para qualquer ângulo — incluindo o ângulo em que a tangente não tem valor nenhum.

Referências (3)

The reference definitions of sine and cosine, and their periodicity: NIST Digital Library of Mathematical Functions, §4.14 — Trigonometric Functions: Definitions and Periodicity.
Where sine and cosine stopped being ratios in a triangle and became functions of a number: L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, Volume I. Lausanne, 1748.
The radian as an SI unit, and why an angle in it is a ratio of two lengths: Bureau International des Poids et Mesures, The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-17

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Problemas de exemplo

0° - O raio está sobre o eixo x, por isso a sua extremidade é (1, 0) e o cosseno vale 1 pela simples razão de que a coordenada x é o próprio cosseno. A tangente é zero porque o raio encontra a reta x = 1 no próprio eixo.
30° - Temos metade de um triângulo equilátero, daí ser este o valor que todos têm de memorizar: se dividirmos ao meio um triângulo equilátero de lado unitário, o cateto menor mede exatamente metade. O seno de 30° é 0,5, sem qualquer aproximação.
45° - É o único ângulo em que o seno e o cosseno são iguais, pois o triângulo é isósceles e o ponto pertence à reta y = x. A tangente vale exatamente 1, portanto o prolongamento do raio encontra a reta tangente à mesma altura que a própria circunferência.
60° - É o mesmo meio triângulo equilátero dos 30°, visto na outra orientação. Os valores trocam de lugar: o que era o cosseno passa a ser o seno. A tangente atinge √3, pelo que é preciso prolongar bastante o raio para lá da circunferência até encontrar a reta x = 1.
90° - O raio aponta na vertical para cima e nunca encontra a reta x = 1. É este o significado geométrico de a tangente não estar definida, e não uma falha de cálculo. Ao aproximarmo-nos de 90° por valores inferiores, o valor indicado cresce sem limite; não deixa simplesmente de funcionar no último passo.
180° - Meia volta coloca o ponto em (−1, 0), pelo que o cosseno se torna negativo pela primeira vez, enquanto o seno regressa a zero. A tangente volta a ser zero, e os dois ângulos para os quais tan = 0 ficam em extremos opostos da circunferência.
270° - Após três quartos de volta, chegamos a (0, −1), onde o seno atinge o seu valor mínimo. O raio aponta na vertical para baixo e volta a ser paralelo à reta x = 1, por isso este é o segundo ângulo em que a tangente não está definida. Esses dois ângulos distam exatamente meia volta entre si, que é o período da tangente, não o da circunferência.