Laboratório de triângulos semelhantes

Define os três lados e depois arrasta o fator de escala. Os ângulos ficam quietos, os lados seguem k e a área segue k × k.

Exemplo resolvido — Laboratório de triângulos semelhantes

Lados	3, 4, 5 → 6, 8, 10
Perímetro	12 → 24 (×2)
Área	6 → 24 (×4)
Ângulos	36,87°, 53,13°, 90,00° — inalterados
Cópias do triângulo pequeno que cabem	4

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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O dobro da altura é quatro vezes a tinta 🖖

Este é o erro de aritmética mais dispendioso que a maioria das pessoas comete, embora a aritmética não seja o problema. Duplicar as dimensões de uma figura não equivale a obter duas figuras. Equivale a obter quatro. Uma pizza com o dobro do diâmetro corresponde a quatro pizzas. Uma fotografia com o dobro da largura precisa de quatro vezes mais píxeis. Um modelo à escala 1:2 requer um quarto do material, não metade. Escolha um número inteiro para k e a ferramenta deixa de se limitar a afirmar o resultado: o triângulo maior aparece dividido nas cópias que realmente contém, para que possa contá-las.

Porque são exatamente k² 🖖

Divide cada lado do triângulo ampliado em k partes iguais e une as marcas com paralelas aos três lados. O resultado pavimenta sem folgas, e todas as peças são congruentes com o original — são k², das quais k na fila de baixo. Em nenhum ponto desse argumento se diz que forma tinha o triângulo, e é por isso que a lasca fina dá 16 tal como o 3-4-5. Euclides enuncia o resultado geral nos Elementos VI.19: «os triângulos semelhantes estão entre si na razão duplicada dos lados correspondentes» — e «razão duplicada» é a maneira dele de dizer o quadrado da razão.

É a medição que se atribui a Tales 🖖

Uma vara e a sua sombra formam um triângulo; uma árvore e a sua sombra formam outro. O sol está suficientemente longe para que os raios cheguem paralelos, portanto os dois triângulos têm ângulos iguais e, logo, lados proporcionais — e uma altura a que ninguém chega transforma-se em três comprimentos que qualquer pessoa mede a pé. É todo o método para medir uma pirâmide pela sombra, e é o mesmo quadrado que se preenche na grelha de multiplicação cruzada: 3 está para 4 como a árvore está para 20. São os triângulos semelhantes que tornam essa grelha legítima em vez de um truque.

Problema resolvido na íntegra

Quantas cópias do triângulo 3-4-5 original cabem dentro da ampliação 5 passos
Duplique todos os lados de um triângulo 3-4-5 e a área não duplica. Determine o que acontece a cada grandeza e quantas cópias do original cabem na ampliação.
1. Multiplicar os três lados pelo mesmo fator de escala mantém o triângulo semelhante, e 6-8-10 continua a satisfazer Pitágoras — como tem de ser, uma vez que a relação é homogénea nos lados.
  
  $(3, 4, 5) \times 2 (6, 8, 10), 6^{2} + 8^{2} = 100 = 1 0^{2}$
2. O perímetro é uma soma de comprimentos, pelo que varia na mesma proporção. Doze passa a vinte e quatro.
  
  $P : 12 \to 24 = k P, A : 6 \to 24 = k^{2} A$
3. A área é o produto de dois comprimentos, pelo que varia com o quadrado do fator. Seis passa a vinte e quatro — o mesmo número que o perímetro neste caso, o que é uma coincidência destes lados em particular e uma boa razão para não extrapolar a partir de um único exemplo.
4. Os ângulos não se alteram de todo. Dependem apenas de razões entre lados, e a mudança de escala mantém inalterada cada razão — que é o significado de semelhante.
  
  $tan^{- 1} \frac{3}{4} = 36.8 7^{\circ}, tan^{- 1} \frac{4}{3} = 53.1 3^{\circ}, 9 0^{\circ} — unchanged$
5. Assim, quatro cópias do original cabem na ampliação, e isso é visível: o triângulo duplicado divide-se em quatro triângulos congruentes com o original.
  
  $\frac{A ^{'}}{A} = k^{2} = 4 ⟹ 4 copies tile the enlargement$
Resposta

A ferramenta apresenta lados de 6, 8, 10, perímetro de 12 → 24, área de 6 → 24, ângulos inalterados e 4 cópias que cabem na figura. A regra resume-se numa linha: o comprimento varia com k, a área com k², o volume com k³ e o ângulo com k⁰; o expoente é igual à dimensão da grandeza medida. Por isso, duplicar o diâmetro da forma indicada numa receita quadruplica a área da base e faz o bolo sair mal. Também explica por que razão um animal com o dobro da altura teria oito vezes o peso apoiado numa secção transversal dos ossos apenas quatro vezes maior: a tensão nas patas duplicaria, impedindo-o de ser uma simples cópia ampliada de si próprio. Defina o fator como 3 e a área aumenta nove vezes.

$P \propto k, A \propto k^{2}, V \propto k^{3}, angles \propto k^{0}$

Percurso de aprendizagem

As regras do triângulo e de onde vêm

Conduz a Pitágoras o fator de escala — ampliar uma figura multiplica cada comprimento por k e não move nenhum ângulo.

Referências (3)

Equal angles give proportional sides: Euclid, Elements, Book VI, Proposition 4 — "In equiangular triangles the sides about the equal angles are proportional." David E. Joyce's edition, Clark University.
The area result, and the phrase "duplicate ratio": Euclid, Elements, Book VI, Proposition 19 — "Similar triangles are to one another in the duplicate ratio of the corresponding sides." David E. Joyce's edition, Clark University.
Thales and the shadow measurement: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, "Thales of Miletus", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews — which sets out the ancient reports of the pyramid measurement and their disagreements.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-11

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Problemas de exemplo

Duplicar - Os lados 3, 4, 5 passam a 6, 8, 10. O perímetro duplica, de 12 para 24 — mas a área vai de 6 para 24, quatro vezes mais, e o triângulo grande aparece desenhado com exatamente 4 cópias do pequeno.
Vara e árvore - Uma vara de 3 m com uma sombra de 4 m, e uma árvore cuja sombra mede 20 m. O mesmo sol, o mesmo triângulo, portanto a árvore tem 15 m. A área, essa, é 25 vezes maior, não 5.
Equilátero - Os três ângulos ficam nos 60°, faça o k o que fizer. Os lados 6 passam a 9, o perímetro 18 passa a 27, e a área é multiplicada por 2,25.
Reduzir a metade - Reduzir é a mesma regra ao contrário. Partir cada lado ao meio reduz o perímetro para metade, de 48 para 24, e a área para um quarto, de 96 para 24.
Uma lasca fina - A forma são os ângulos, não o aspeto. Esta lasca escala exatamente como um triângulo confortável: ×4 nos lados, ×16 na área, e cabem lá dentro 16 cópias.