Teoremas de ângulos na circunferência

Fixe uma corda, mova pontos na circunferência e veja uma escolha escondida — qual arco é intercetado — gerar quatro teoremas clássicos.

Exemplo resolvido — Teoremas de ângulos na circunferência

O invariante	2 × 70,0°
Ângulo inscrito ∠APB	70,0°
Ângulo ao centro correspondente	140,0°
Ângulo de comparação ∠AQB	70,0°

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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O centro vê o dobro do que vê a circunferência 🖖

Una O a A, B e P. Cada par de raios forma um triângulo isósceles, logo os ângulos da base são iguais. Ao seguir esses ângulos em torno de P, o ângulo em O fica exatamente duas vezes ∠APB. O arco verde é essencial: o ângulo ao centro deve apoiar-se no mesmo arco e pode por isso ser reflexo, não o menor AOB.

A invariância resiste ao movimento, não à passagem por um extremo 🖖

Mantenha A e B fixos e deslize P num arco. O triângulo muda, mas ∠APB não, pois continua a intercetar o mesmo arco oposto. Ao atravessar A ou B, o arco intercetado muda para o resto do círculo. O novo ângulo é suplementar do antigo — uma mudança de significado numa fronteira, não um erro numérico.

Tales é o caso especial de uma linha 🖖

Faça AB um diâmetro. O ângulo ao centro correspondente é então um ângulo raso de 180°, e o ângulo em P vale metade: 90°. A recíproca também funciona: os três vértices de um triângulo retângulo pertencem ao círculo cujo diâmetro é a hipotenusa. O ponto médio da hipotenusa fica assim à mesma distância dos três vértices.

Um quadrilátero cíclico consiste em dois arcos que formam uma circunferência completa 🖖

Coloque P e Q em lados opostos de AB. ∠APB vê um arco de A a B e ∠AQB vê o outro. Os arcos totalizam 360°, logo os meios-ângulos totalizam 180°. Esse é todo o teorema do quadrilátero cíclico. A recíproca também é útil: se os ângulos opostos somam 180°, os quatro vértices estão numa circunferência.

Problemas resolvidos na íntegra

Provar que o centro vê o dobro, com uma linha que a ferramenta nunca desenha 6 passos
A e B estão, respetivamente, nas posições 330° e 110° da circunferência, e P está em 220°. O painel indica que o ângulo em P mede 70° e que o ângulo ao centro mede 140°. Demonstre que o segundo é o dobro do primeiro, em vez de se limitar a ler os valores, e determine depois o que essa demonstração pressupõe, sem o explicitar, sobre a posição de P.
1. Meça primeiro o arco. Indo no sentido anti-horário de A a 330° até B a 110° percorre-se 140°, e esse arco é aquele em que P não se encontra. O ângulo ao centro que se apoia nele é 140° por definição, porque um ângulo ao centro é simplesmente o seu arco.
  
  $A B ⌢ = 11 0^{\circ} - 33 0^{\circ} (mod 360) = 14 0^{\circ}$
2. Agora a construção, e ela é toda a demonstração: trace a reta de P a passar pelo centro O e deixe-a sair do círculo em D. Nada mais é adicionado.
3. OA e OP são ambos raios, pelo que o triângulo OAP é isósceles e os ângulos em A e em P são iguais. Chame α a esse ângulo, de modo que ∠OPA = ∠OAP = α.
  
  $O A = O P = r \Rightarrow ∠ O P A = ∠ O A P = α$
4. O ângulo ∠AOD é externo ao triângulo OAP no vértice O, e um ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes: ∠AOD = α + α = 2α.
  
  $∠ A O D = α + α = 2 α$
5. Aplicando o mesmo argumento ao outro lado, obtemos ∠DOB = 2β, em que β = ∠OPB. Podemos somar os dois resultados enquanto o prolongamento de OP encontra a circunferência no arco AB: ∠AOB = 2α + 2β = 2(α + β), e α + β é precisamente ∠APB.
  
  $∠ A O B = 2 α + 2 β = 2 (α + β) = 2 ∠ A P B$
6. Assim, o ângulo ao centro é o dobro do ângulo inscrito; neste caso, 2 × 70° = 140°. Repare no que a demonstração utilizou: dois raios, um triângulo isósceles de cada lado e um ângulo externo. Não foi preciso conhecer comprimentos, usar coordenadas nem medir o arco.
  
  $2 \times 7 0^{\circ} = 14 0^{\circ}$
Resposta

140° = 2 × 70°, e o painel indica 70,0000° onde quer que coloque P. Desloque P de 150° para 290°: os dois triângulos isósceles mudam de forma em sentidos opostos, e os seus ângulos da base compensam exatamente a diferença. É assim que um invariante se revela por dentro. Depois dos 290°, a figura muda e a demonstração exige um segundo caso. O prolongamento de OP passa então pela circunferência para além de B, em vez de a encontrar no arco AB; os ângulos da base passam a ser 75° e 5°, e os dois ângulos ao centro têm de ser subtraídos, não somados. O ângulo em P permanece inalterado. O teorema de Tales segue imediatamente: se AB for um diâmetro, o ângulo ao centro é um ângulo raso, de 180°, pelo que todos os ângulos inscritos medem 90° e qualquer triângulo inscrito numa semicircunferência é retângulo, seja qual for a posição do vértice. Não se trata de um teorema distinto, mas deste mesmo resultado aplicado a um arco que ocupa metade da circunferência. A linha auxiliar do desenho mostra aquilo que o painel não consegue mostrar: o painel representa os ângulos; a linha revela a razão.
Onde se posicionar para obter o ângulo mais amplo 7 passos
Os dois pontos marcados enxergam a corda AB sob um ângulo de 60°. Determine o que veria um ponto fora da circunferência. Depois disso, decida onde um chutador se deve posicionar para ter a visão mais ampla das traves.
1. Os pontos A e B situam-se a 320° e 80°. O arco entre eles, onde P não se encontra, mede assim 120°. A sua metade é 60°. O ponto Q apresenta o mesmo valor por estar apoiado no mesmo arco que P.
  
  $A B ⌢ = 8 0^{\circ} - 32 0^{\circ} (mod 360) = 12 0^{\circ} ⟹ ∠ A P B = ∠ A QB = 6 0^{\circ}$
2. Passemos à própria corda. O ângulo central correspondente a este arco é o dobro do inscrito. Uma corda mede 2R vezes o seno da metade do ângulo central. Teremos então AB = 2 sen 60° = √3 nesta circunferência de raio 1.
  
  $A B = 2 R sin (∠ A P B) = 2 sin 6 0^{\circ} = 3 = 1.7321 (R = 1)$
3. Leia isto de trás para frente. Fixe a corda. Deixe a circunferência variar. O seno do ângulo inscrito é AB ÷ 2R. Consequentemente, uma circunferência menor a passar por A e B resulta num ângulo maior. A menor de todas tem AB como diâmetro e produz 90°. A circunferência escolhida para o posicionamento decide tudo o resto.
  
  $sin (∠ A P B) = \frac{A B}{2 R} ⟹ R smaller \Rightarrow ∠ A P B larger, R = \frac{A B}{2} \Rightarrow ∠ A P B = 9 0^{\circ}$
4. Fora da circunferência, o ângulo já não é de 60°. Visto do interior, as duas retas cortam também um segundo arco. O ângulo passa a ser a metade da soma de ambos. Um pouco mais para o lado de dentro do arco original, a medida ronda os 71,6°. Do lado de fora corresponde à metade da diferença, aproximadamente 51,4°. A circunferência é a fronteira exata entre ver mais e ver menos.
  
  $inside: \frac{1}{2} (A B ⌢ + C D ⌢) = 71. 6^{\circ} > 6 0^{\circ} > 51. 4^{\circ} = \frac{1}{2} (A B ⌢ - C D ⌢) : outside$
5. Isto resolve o caso do chute. As traves de rugby distam 5,6 m uma da outra. Um try é marcado a 10 m da trave mais próxima. A partir da base da linha de recuo, as traves encontram-se a 10 m e 15,6 m de distância. Qualquer ponto que as veja sob o mesmo ângulo pertencerá a uma mesma circunferência que passe por ambas.
  
  $a = 10 m, b = 15.6 m, tan ∠ = \frac{( b - a ) x}{x ^{2} + ab}$
6. Cada ponto da linha de recuo assenta em exatamente uma dessas circunferências. O ângulo atinge o máximo na menor circunferência que consiga alcançar a linha. Trata-se daquela que lhe é tangente. O ponto de contacto define uma tangente traçada a partir da base. O comprimento de uma tangente equivale à média geométrica dos dois segmentos da secante. O cálculo é x² = 10 × 15,6 = 156.
  
  $x^{2} = F A \cdot F B = ab = 156 ⟹ x^{*} = 156 = 12.49 m$
7. Temos então x = √156 = 12,49 m, local onde o ângulo atinge 12,64°. Na marca dos 10 m mede 12,34°. Aos 20 m já caiu para 11,39°. Quando chega aos 30 m, desce para 9,04°.
  
  $tan ∠_{m a x} = \frac{b - a}{2 ab} = \frac{5.6}{24.98} = 0.2242 \Rightarrow 12.6 4^{\circ}; ∠ (10) = 12.3 4^{\circ}, ∠ (20) = 11.3 9^{\circ}, ∠ (30) = 9.0 4^{\circ}$
Resposta

Posicione-se com 12,49 m de recuo. Trata-se da média geométrica das duas distâncias, e não da sua média aritmética de 12,8. Afastar-se mais desperdiça ângulo de forma tão garantida como ficar perto demais. O máximo ocorre num verdadeiro ponto interior e não num dos extremos. Os 12,8 m que não usou não representam um valor perdido. São precisamente o raio da circunferência onde acabou de se colocar. Tudo isto corresponde ao teorema do arco capaz interpretado ao inverso. Em vez de calcularmos o ângulo visto por um ponto sobre a circunferência, procuramos descobrir que circunferência a passar por A e B interceta o exato lugar onde nos encontramos.

$x^{*} = ab = 12.49 m (geometric mean), R = \frac{a + b}{2} = 12.8 m (arithmetic mean)$

Percurso de aprendizagem

As regras do triângulo e de onde vêm

Conduz a A circunferência unitária o ângulo ao centro como o dobro do inscrito, ângulos iguais no mesmo segmento e o ângulo reto de Tales.

Referências (2)

the central-angle, same-segment, cyclic-quadrilateral and semicircle theorems Euclid. Elements, Book III, Propositions 20, 21, 22 and 31.
a modern synthetic-geometry treatment of circle theorems Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. (1967). Geometry Revisited. Mathematical Association of America.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-09-03

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

o ângulo que não muda - Um arco central de 140° produz um ângulo de 70° na circunferência — exatamente metade, sempre.
dois pontos · mesmo ângulo - Arraste P para qualquer ponto do mesmo arco: o ângulo fica nos 60°, porque o arco que ele vê nunca muda.
um diâmetro força 90° - Um diâmetro subtende 90° de qualquer dos lados. Tales, e o único caso que se confirma a olho.
os opostos somam 180° - Passe para o outro lado da corda e a igualdade torna-se suplementaridade: 100° de um lado, 80° do outro.
o arco reflexo escondido - O ângulo é obtuso, 110°, porque interceta o arco reflexo de 220° e não o menor.