Calculadora de triângulos: LLL, LAL, ALA, AAL e LLA

Resolva triângulos com lados e ângulos conhecidos. Veja cada etapa, compare soluções LLA e aprenda quando usar as leis dos senos ou dos cossenos.

Exemplo resolvido — Solucionador de Triângulos

Caso	SSS

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Quando um único conjunto de dados divide a realidade 🖖

Três medidas nem sempre correspondem a três factos. No caso LLA, os mesmos valores descrevem dois triângulos diferentes, pois o seno não permite distinguir um ângulo do seu suplemento: sin(θ) = sin(180° − θ). Há um só conjunto de dados e dois triângulos, sem que os cálculos favoreçam qualquer deles.

Por que sempre é preciso um lado 🖖

Três valores conhecidos costumam determinar um triângulo, mas pelo menos um deve ser um lado. Três ângulos sozinhos (AAA) fixam a forma, mas não o tamanho: um triângulo minúsculo e outro gigante podem ter ângulos idênticos. A ferramenta usa duas regras: a lei dos cossenos quando você conhece os três lados (SSS) ou dois lados e o ângulo entre eles (SAS), e a lei dos senos nos demais casos.

Um círculo oculto define a razão 🖖

Na lei dos senos, a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) tem um valor que importa conhecer: é igual a 2R, o diâmetro da única circunferência que passa pelos três vértices (a circunferência circunscrita). Assim, cada triângulo traz consigo uma circunferência, e a lei dos senos mede, na verdade, o seu tamanho. Se o raio da circunferência circunscrita duplicar, todas as razões entre um lado e o seno do ângulo oposto também duplicam.

Teoria dos triângulos — Caso a caso

Qual caso de triângulo você tem?

Comece pelos valores marcados como conhecidos. O padrão deles—não a aparência do triângulo—determina o método. É preciso conhecer pelo menos um lado.

LLL - três lados c² = a² + b² − 2ab cos C

LAL - dois lados e o ângulo incluído c² = a² + b² − 2ab cos C

ALA/AAL - dois ângulos e um lado C = 180° − A − B; a / sin A = c / sin C

LLA - caso ambíguo sin B = b sin A / a; B′ = 180° − B

AAA — três ângulos não bastam A + B + C = 180° ⇒ ∞ △

LLL - três lados

O que você conhece: Os três comprimentos de lado: a, b e c.

Método: c² = a² + b² − 2ab cos C

Exemplo resolvido: a = 3, b = 4, c = 5 produz um triângulo retângulo.

Abrir este caso: LLL

LLL - três lados. LLL: três lados fixos determinam um triângulo quando a desigualdade triangular é satisfeita. Os três comprimentos de lado: a, b e c. — LLL: três lados fixos determinam um triângulo quando a desigualdade triangular é satisfeita.

LAL - dois lados e o ângulo incluído

O que você conhece: Dois lados e o ângulo incluído entre eles.

Método: c² = a² + b² − 2ab cos C

Exemplo resolvido: a = 7, b = 5, C = 60° determina o lado oposto c.

Abrir este caso: LAL

LAL - dois lados e o ângulo incluído. LAL: os lados destacados e o ângulo incluído determinam um único triângulo. Dois lados e o ângulo incluído entre eles. — LAL: os lados destacados e o ângulo incluído determinam um único triângulo.

ALA/AAL - dois ângulos e um lado

O que você conhece: Dois ângulos e qualquer lado (ALA ou AAL).

Método: C = 180° − A − B; a / sin A = c / sin C

Exemplo resolvido: A = 40°, B = 75°, c = 8 fornece primeiro C = 65°.

Abrir este caso: ALA

ALA/AAL - dois ângulos e um lado. ALA/AAL: dois ângulos fixam a forma e um lado fixa a escala. Dois ângulos e qualquer lado (ALA ou AAL). — ALA/AAL: dois ângulos fixam a forma e um lado fixa a escala.

LLA - caso ambíguo

O que você conhece: Dois lados e um ângulo não incluído, oposto a um deles.

Método: sin B = b sin A / a; B′ = 180° − B

Exemplo resolvido: a = 7, b = 9, A = 40° cria dois triângulos válidos.

Abrir este caso: LLA ambíguo

LLA - caso ambíguo. LLA: os mesmos dados podem se cruzar em dois pontos e formar dois triângulos. Dois lados e um ângulo não incluído, oposto a um deles. — LLA: os mesmos dados podem se cruzar em dois pontos e formar dois triângulos.

AAA — três ângulos não bastam

O que você conhece: Os três ângulos, mas nenhum comprimento de lado.

Método: A + B + C = 180° ⇒ ∞ △

Exemplo resolvido: 30°, 60°, 90° descreve infinitos triângulos de tamanhos diferentes.

AAA precisa de um lado — abrir ALA/AAL

AAA — três ângulos não bastam. AAA: os mesmos ângulos descrevem triângulos semelhantes pequenos e grandes. Os três ângulos, mas nenhum comprimento de lado. — AAA: os mesmos ângulos descrevem triângulos semelhantes pequenos e grandes.

Problemas resolvidos na íntegra

Resolução do triângulo 3-4-5 apenas a partir dos três lados 5 passos
O triângulo 3-4-5 tem um ângulo reto e ninguém precisa que lhe digam em que vértice se encontra. Resolva-o apenas a partir dos três lados e, em seguida, encontre os dois círculos nele escondidos. Este é o caso LLL.
1. Com três lados e nenhum ângulo, o único ponto de partida é a lei dos cossenos, rearranjada de modo a dar o cosseno do ângulo oposto ao lado que se deixa no membro esquerdo.
  
  $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{16 + 25 - 9}{40} = 0.8 ⟹ A = 36.869 9^{\circ}$
2. Repita para o segundo ângulo. Nada aqui é ainda uma aproximação — 0,8 e 0,6 são exatos, e as casas decimais só surgem quando se calcula o arcosseno.
  
  $cos B = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c} = \frac{9 + 25 - 16}{30} = 0.6 ⟹ B = 53.130 1^{\circ}$
3. O terceiro ângulo obtém-se de graça, a partir da soma dos ângulos. Aplique-lhe a lei dos cossenos ainda assim e o numerador é 9 + 16 − 25 = 0, pelo que o cosseno é exatamente zero: este triângulo é retângulo porque 3² + 4² é por acaso igual a 5², e por nenhuma outra razão.
  
  $C = 18 0^{\circ} - A - B = 9 0^{\circ}, cos C = \frac{9 + 16 - 25}{24} = 0$
4. A fórmula de Heron necessita apenas do perímetro e dos três lados. Devolve 6, que é também ½ × 3 × 4 — as duas fórmulas têm de concordar, e aqui pode vê-las a fazê-lo.
  
  $s = \frac{12}{2} = 6, K = 6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 = \frac{1}{2} ab$
5. Dois raios que o painel nunca menciona. Num triângulo retângulo, a hipotenusa é um diâmetro do círculo circunscrito, pelo que R = 2,5. O círculo inscrito tem r = (a + b − c)/2 = 1, e a área é igual a r × s, o que volta a dar 6.
  
  $R = \frac{c}{2} = 2.5, r = \frac{a + b - c}{2} = 1, K = r s = 1 \times 6 = 6$
Resposta

A ferramenta apresenta A = 36,8699°, B = 53,1301°, C = 90° e um perímetro de 12. O passo 3 é o que se deve reter: Pitágoras não é um teorema separado ao lado da lei dos cossenos; é a lei dos cossenos avaliada em 90°, onde o termo −2ab·cos C se anula. Tudo aquilo pelo qual o ângulo reto é famoso resulta desse único termo se anular, razão pela qual a lei dos cossenos funciona em qualquer triângulo e Pitágoras funciona apenas num tipo.

$cos C = 0 ⟺ a^{2} + b^{2} = c^{2} : Pythagoras is the cosine law at 9 0^{\circ}$
Dois lados de 7 e 5 com um ângulo de 60° entre eles 5 passos
Dois lados de 7 e 5 com um ângulo de 60° entre eles. Encontre o terceiro lado e ambos os ângulos restantes — e obtenha o segundo ângulo a partir da lei dos cossenos em vez da lei dos senos, propositadamente. Este é o caso LAL.
1. O ângulo conhecido situa-se entre os dois lados conhecidos, que é precisamente a disposição para a qual a lei dos cossenos foi concebida: ela devolve o lado oposto a esse ângulo.
  
  $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C = 49 + 25 - 2 (35) (\frac{1}{2}) = 39 ⟹ c = 6.245$
2. Aos 60°, o cosseno é exatamente ½, pelo que todo o termo −2ab·cos C se reduz a −ab e a expressão passa a a² + b² − ab. Essa é uma forma útil de reconhecer; 60° é o único ângulo em que ela surge.
  
  $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} ⟹ c^{2} = a^{2} + b^{2} - ab$
3. Agora para o ângulo A. A lei dos senos funcionaria e é mais fácil de introduzir, mas o arcosseno devolve um ângulo no primeiro quadrante e o seu suplemento é igualmente válido — pelo que devolveria dois candidatos sem forma de escolher. A lei dos cossenos devolve um cosseno com sinal, e o cosseno é injetivo ao longo de todo o intervalo que um ângulo de um triângulo pode assumir.
  
  $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{25 + 39 - 49}{62.45} = 0.2402 ⟹ A = 76.102 1^{\circ}$
4. O último ângulo resulta da soma dos ângulos, que não pode ser ambígua.
  
  $B = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 76.102 1^{\circ} = 43.897 9^{\circ}$
5. A área não necessita de nenhum dos ângulos que acabou de encontrar, nem do terceiro lado: dois lados e o ângulo entre eles já são suficientes.
  
  $K = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} (7) (5) sin 6 0^{\circ} = 15.155$
Resposta

A ferramenta apresenta c = 6,245, A = 76,1021° e B = 43,8979°. O passo 3 explica por que razão o caso LAL é um caso seguro e o caso LLA não o é. A lei dos cossenos nunca pode ser ambígua, porque cos θ assume cada valor uma única vez entre 0° e 180°; a lei dos senos pode sê-lo sempre, porque sin θ assume cada valor duas vezes. Quando são dados dois lados e o ângulo compreendido entre eles, o triângulo já está determinado e a aritmética limita-se a lê-lo. O problema seguinte é o que acontece quando não está.

$SAS is never ambiguous: cos θ is one-to-one on (0^{\circ}, 18 0^{\circ})$
O caso LLA de a = 7, b = 9, A = 40° 5 passos
a = 7, b = 9, A = 40° — e o painel indica duas soluções enquanto apresenta um triângulo. Encontre o outro. Este é o caso LLA.
1. Trace uma perpendicular a partir do vértice oposto até à reta onde se situa o ângulo conhecido. O seu comprimento é h = b·sin A = 5,7851, e o lado a tem de alcançar essa reta: se for demasiado curto, não há triângulo; se for exatamente h, há um; se for mais longo do que h, há dois — até que a exceda b, altura em que o segundo se fecha. Aqui h < a < b, logo há dois.
  
  $h = b sin A = 9 sin 4 0^{\circ} = 5.7851, h < a < b$
2. A lei dos senos dá o seno de B, e o arcosseno devolve o ramo agudo.
  
  $sin B = \frac{b sin A}{a} = \frac{9 sin 4 0 ^{\circ}}{7} = 0.826441 ⟹ B_{1} = 55.734 9^{\circ}$
3. O ramo obtuso tem o mesmo seno. Só sobrevive se ainda deixar espaço para um terceiro ângulo, e 40° + 124,2651° é inferior a 180°, pelo que sobrevive.
  
  $B_{2} = 18 0^{\circ} - 55.734 9^{\circ} = 124.265 1^{\circ}, A + B_{2} = 164.2 7^{\circ} < 18 0^{\circ}$
4. Complete o primeiro triângulo: o terceiro ângulo, depois o terceiro lado pela lei dos senos, e depois a área.
  
  $C_{1} = 84.265 1^{\circ}, c_{1} = \frac{a sin C _{1}}{sin A} = 10.8356, K_{1} = 31.3423$
5. Complete o segundo da mesma forma. O mesmo a, o mesmo b, o mesmo A — e um triângulo com menos de um terço do tamanho.
  
  $C_{2} = 15.734 9^{\circ}, c_{2} = \frac{a sin C _{2}}{sin A} = 2.9532, K_{2} = 8.5424$
Resposta

O painel indica LLA (2 soluções) e apresenta h = 5,7851, B = 55,7349°, c = 10,8356 e uma área de 31,3423 — o primeiro ramo. O segundo, com c = 2,9532 e área 8,5424, fica para si, e esse é o estado honesto do caso: os dados não determinam o triângulo, pelo que nenhuma calculadora lhe pode entregar a resposta. Qualquer grandeza medida desta forma — um rumo e duas distâncias, um alcance de radar com um ângulo fora do eixo — carrega a mesma bifurcação, e a saída nunca passa por mais aritmética. É mais uma medição, ou uma razão física pela qual uma das duas é impossível.

$sin θ = sin (18 0^{\circ} - θ) : two triangles, and the panel prints one$

Percurso de aprendizagem

As regras do triângulo e de onde vêm

Conduz a Ângulos na circunferência

Referências (1)

The circle hiding behind the law of sines, and why one dataset can describe two triangles: G. Van Brummelen, "Sines, cosines, and their relatives", chapter 2 of Trigonometry: A Very Short Introduction. Oxford University Press, 2020.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-17

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Problemas de exemplo

LLL - Três lados e nenhum ângulo: só a lei dos cossenos permite começar. O triângulo 3-4-5 revela-se retângulo, e a razão está nos cálculos: 9 + 16 − 25 é zero, logo o cosseno desse ângulo é exatamente zero.
LAL - Dois lados e o ângulo compreendido entre eles. É preciso começar pela lei dos cossenos, porque a lei dos senos exige um lado e o respetivo ângulo oposto, que ainda não são conhecidos.
ALA - Dois ângulos determinam imediatamente o terceiro: 40° e 75° deixam 65°. A partir daí, basta uma proporção da lei dos senos, e o único lado conhecido fixa a escala de todo o triângulo.
LLA ambíguo - O caso em que três medidas não correspondem a três factos. Com os mesmos dados, o lado desconhecido pode medir 10,836 ou 2,953, pois o seno não permite distinguir 55,7° de 124,3°, e ambos os ângulos formam um triângulo.