Laboratório de pavimentações regulares

Escolhe o polígono e quantos se encontram num canto. Se os ângulos não chegarem a 360°, a superfície fecha-se num sólido; se derem certo, a pavimentação fica plana; se passarem, só pode viver no espaço hiperbólico.

Exemplo resolvido — Laboratório de pavimentações regulares

Ângulo do canto de um polígono	90°
q deles num canto	270°
O que falta para 360°	+90°
O teste	2 < 4
Vértices − arestas + faces	2
Defeito angular total	720°
Peças desenhadas	6

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Cinco, três e infinitas — a partir de uma só desigualdade 🖖

Tudo nesta página decorre de uma única comparação. Um polígono regular de p lados tem cantos de 180(p−2)/p graus; põe q deles à volta de um ponto e obténs q·180(p−2)/p. Se for menos de 360°, o canto tem folga e tem de dobrar; se for exatamente 360°, fica plano; se for mais, não se consegue construir com peças planas. Reescritos, esses três casos são (p−2)(q−2) menor, igual ou maior do que 4 — e o primeiro tem exatamente cinco soluções inteiras, o segundo exatamente três. Não é uma reformulação moderna: é a observação com que Euclides fecha os Elementos XIII, afastando um sexto sólido com o argumento de que seis triângulos num canto «fariam quatro ângulos retos» e ficariam portanto planos.

Num sólido, a curvatura está espremida nos cantos 🖖

Um cubo é plano em todo o lado, exceto em oito pontos. Atravessa uma face e nada se curva; dá a volta a um vértice e encontras 270° onde uma superfície plana te teria dado 360°. Os 90° em falta são a curvatura, e não há outro sítio onde ela possa estar. Agora soma: 8 × 90° = 720°. Faz o mesmo ao icosaedro e dá 12 × 60° = 720°. Ao dodecaedro, 20 × 36° = 720°. O total nunca se mexe, para nenhum poliedro convexo, regular ou não — Descartes reparou nisso por volta de 1630. São os mesmos 720° = 2 × 360° que a fórmula de Euler V − A + F = 2 está a contar, e é o teorema de Gauss-Bonnet do Pitágoras: lá o excesso angular de um triângulo era curvatura × área, espalhada suavemente pela superfície; aqui é a mesma quantidade concentrada em pontos.

Kepler construiu o sistema solar com eles, e Escher foi buscar o outro caso 🖖

Os cinco sólidos atraíram mais teoria do que conseguem suportar. Kepler, no Mysterium Cosmographicum (1596), encaixou-os uns dentro dos outros para fixar o espaçamento dos seis planetas conhecidos — uma bela ideia, e errada; passou o resto da carreira a substituí-la pelas órbitas que realmente funcionam. O caso hiperbólico teve de esperar que houvesse um plano hiperbólico onde o desenhar. Coxeter publicou uma figura dessas nos anos 50, Escher viu-a e perguntou-lhe como estava feita; da resposta saíram as quatro gravuras Circle Limit, em que as peças encolhem para a borda não por ficarem pequenas, mas porque o disco é o mapa de uma superfície infinita. Põe 7 lados e 3 por canto e estás a ver a mesma construção.

Doze pentágonos, sempre 🖖

Uma bola de futebol não é uma escolha de design. Pega em qualquer gaiola fechada cujas faces sejam pentágonos e hexágonos e onde se juntem exatamente três em cada canto, e conta os pentágonos: são doze. Sempre — por maior que seja e por mais hexágonos que tenha. Três faces por canto dão 3V = 2A, e V − A + F = 2 reduz-se então a doze pentágonos, com o número de hexágonos a cancelar-se por completo. É isto ler alguma coisa numa forma sem a medir. Uma bola tem 12 pentágonos e 20 hexágonos; o buckminsterfulereno C₆₀ tem 12 pentágonos e 20 hexágonos; uma cúpula geodésica do tamanho de um edifício continua a ter exatamente 12 pentágonos escondidos entre os hexágonos. A razão são os 720° desta página. Três hexágonos num canto dão exatamente 360°, portanto são planos e não contribuem com nada — cada grau dos 720° tem de ser suportado por um pentágono, e a 60° cada um são precisos doze. É também por isso que tantos vírus constroem cápsides icosaédricas: um recipiente fechado montado a partir de uma única proteína repetida tem pouquíssimas opções, e Caspar e Klug apuraram em 1962 quais.

Os outros dois casos também não são decorativos 🖖

O caso plano não é apenas possível, é ótimo. De todas as maneiras de dividir uma superfície em regiões de igual área, a pavimentação hexagonal é a de menor perímetro total — conjeturado durante dois mil anos e demonstrado por Thomas Hales em 2001. Um favo é um resultado de economia de cera, não de estética. O caso hiperbólico ganha o seu lugar com o crescimento que se vê no disco: cada anel tem mais peças do que o anterior. Uma árvore ramifica-se do mesmo modo, e uma árvore não se desenha no plano sem amontoar os ramos exteriores, porque o plano só oferece área proporcional a r². O espaço hiperbólico oferece exponencialmente mais, por isso hierarquias e redes sem escala cabem lá com folga — e é por isso que os mergulhos hiperbólicos são hoje uma forma corrente de as modelar e desenhar. E consegue-se segurar uma: a alface, a couve e o coral encrespam-se porque o bordo em crescimento ganha comprimento mais depressa do que a superfície atrás dele ganha área, e uma superfície com mais perímetro do que o plano comporta não tem outro remédio senão ondular.

Problema resolvido na íntegra

A sobra inutilizada de 90° quando três quadrados se encontram num vértice 5 passos
Três quadrados encontram-se num canto e deixam 90° por usar. Descubra o que acontece a esse resto — e por que razão ele decide se obtém um piso plano, um sólido ou nenhum dos dois.
1. O ângulo interno de um polígono regular resulta do facto de os seus ângulos externos somarem uma volta completa. Um quadrado dá 90°, e esse único número é toda a informação necessária para a questão.
  
  $interior angle of a regular p -gon = \frac{180 ( p - 2 )}{p} = \frac{180 \times 2}{4} = 9 0^{\circ}$
2. Junte três deles à volta de um canto e usa 270°, deixando 90° de sobra. Num piso plano isso é um espaço vazio, e a figura não pode pavimentar o plano.
  
  $q = 3 : 3 \times 9 0^{\circ} = 27 0^{\circ} ⟹ 36 0^{\circ} - 27 0^{\circ} = 9 0^{\circ} left over$
3. O espaço vazio não é desperdício. Dobre o canto para cima até as arestas se encontrarem e o ângulo restante transforma-se em curvatura — o canto passa a ser um vértice de um sólido. Se isso é sequer possível é decidido por um produto, e 2 é menor do que 4.
  
  $(p - 2) (q - 2) = 2 \times 1 = 2 < 4 ⟹ it closes into a solid$
4. O sólido em que ele se fecha é o cubo. Conte os seus elementos e a relação de Euler verifica-se, tal como para todo o poliedro convexo: vértices menos arestas mais faces é igual a 2.
  
  $V = 8, E = 12, F = 6 : V - E + F = 8 - 12 + 6 = 2$
5. Agora some o ângulo restante em todos os oito cantos. 720° — e o teorema de Descartes diz que todo o poliedro convexo dá exatamente isso, qualquer que seja a sua forma. O cubo, o tetraedro e um bloco de 900 faces perfazem todos 720°.
  
  $8 \times 9 0^{\circ} = 72 0^{\circ} = 4 π (Descartes: the same total for every convex polyhedron)$
Resposta

A ferramenta apresenta 90° por canto, 270° em redor de um vértice, 90° de sobra, o teste como 2 < 4, o 2 de Euler, e um defeito total de 720°. Um produto decide tudo: (p−2)(q−2) menor do que 4 fecha-se numa esfera, igual a 4 fica plano, maior do que 4 só cabe no espaço hiperbólico. É por isso que existem exatamente cinco sólidos platónicos e exatamente três pavimentações regulares do plano — {3,6}, {4,4}, {6,3}, o triângulo, o quadrado e o hexágono, e mais nada, nunca. Defina p = 6, q = 3 e observe o resto a ir para zero.

$(p - 2) (q - 2) < 4 sphere, = 4 plane, > 4 hyperbolic$

Referências (6)

Why there is no sixth Platonic solid: Euclid, Elements, Book XIII, Proposition 18 and its closing Remark, which rules out further regular solids on the grounds that six equilateral triangles at a corner "will be equal to four right angles" and so lie flat. The edition by David E. Joyce, Clark University.
The hyperbolic tilings and Escher: H. S. M. Coxeter, "The Non-Euclidean Symmetry of Escher’s Picture ‘Circle Limit III’." Leonardo 12(1), 19–25, 1979.
The nested solids of Kepler: Johannes Kepler, Mysterium Cosmographicum. Tübingen, 1596 — the model that spaced the six known planets by inscribing the five regular solids between their spheres, and which Kepler spent the following decades replacing.
Why the honeycomb is hexagonal: Thomas C. Hales, "The Honeycomb Conjecture." Discrete & Computational Geometry 25, 1–22, 2001 — the proof that the regular hexagonal tiling divides a surface into equal areas with the least total perimeter.
Why so many viruses are icosahedral: D. L. D. Caspar and A. Klug, "Physical Principles in the Construction of Regular Viruses." Cold Spring Harbor Symposia on Quantitative Biology 27, 1–24, 1962.
Hyperbolic space for hierarchies and networks: D. Krioukov, F. Papadopoulos, M. Kitsak, A. Vahdat and M. Boguñá, "Hyperbolic geometry of complex networks." Physical Review E 82, 036106, 2010.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-11

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Problemas de exemplo

O cubo {4,3} - Três quadrados num canto dão 270°, ou seja, 90° a menos do que é preciso para ficar plano. É essa falta que dobra a superfície, e oito cantos × 90° = 720° fecham-na num cubo.
Icosaedro {3,5} - Cinco triângulos chegam a 300° e sobram 60°. Doze vértices × 60° dão outra vez 720° — o mesmo total do cubo, e de qualquer sólido convexo.
Favo {6,3} - Três hexágonos encontram-se exatamente nos 360°. Não sobra nada, portanto nada dobra, e a pavimentação percorre o plano para sempre. Só três pavimentações regulares o conseguem.
Heptágonos {7,3} - Três heptágonos dão 385,71°, mais do que os 360° que cabem num canto plano. A pavimentação existe, mas só no espaço hiperbólico — é esta a imagem que Escher foi buscar.
Cinco quadrados {4,5} - Cinco quadrados em cada canto: 450°, uns bons 90° a mais. No papel é impossível; no disco é banal, e cada anel de peças é maior do que o anterior.