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A fração para π que nada mais pequeno superou em 1 500 anos
355/113 coincide com π até sete casas decimais. A fração seguinte que a supera necessita de um denominador 147 vezes maior e melhora o erro em 0,2%.
Algum tempo antes do ano 500, nas Dinastias do Sul, Zu Chongzhi calculou que π se situa entre 3,1415926 e 3,1415927. Registou também uma fração: 355/113. Quinze séculos mais tarde, continua a ser a melhor fração para π que alguém consegue alcançar com três dígitos sobre três, e é melhor do que teria qualquer razão óbvia para ser.
Quão melhor
355/113 resulta em 3,1415929204, contra os 3,1415926536 de π. O erro é de 2,7 × 10⁻⁷, o que representa sete casas decimais a partir de uma fração de seis dígitos.
A forma de ter noção disto é perguntar o que mais estava disponível. Percorra todos os denominadores de 1 a 112, tome o numerador mais próximo para cada um e guarde o resultado mais aproximado. O vencedor é 333/106, que falha por 8,3 × 10⁻⁵ — 312 vezes mais distante. Algo acontece entre o denominador 106 e o denominador 113 que vale mais do que todas as melhorias nos cem passos anteriores.
E nenhuma fração volta a tirar-lhe o recorde durante muito tempo. 355/113 é a fração mais próxima de π para todos os denominadores até 16 603. A primeira fração que finalmente a supera é 52163/16604, que necessita de um denominador 147 vezes maior para reduzir o erro em 0,21%.
O 292
A razão torna-se visível no momento em que π é escrito como uma fração contínua:
π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, …]
Truncando essa expressão após cada termo, as frações que daí resultam são 3, depois 22/7, depois 333/106 e depois 355/113. Estes são os convergentes, e um teorema desta matéria afirma que cada um deles é a melhor aproximação racional disponível para a sua dimensão: nenhuma fração com um denominador menor se aproxima mais. How Close a Fraction Can Get não cita tanto esse teorema quanto o executa, percorrendo todos os denominadores menores e relatando o que encontra.
O termo que importa é o 292. Um termo grande significa que o resto naquele ponto era quase nulo, e um resto quase nulo é outra forma de dizer que a fração que já tínhamos na mão era quase exata. Assim, o convergente imediatamente antes do 292 obtém sete casas decimais. Compare-se com 22/7, que se situa após um termo de apenas 7 e alcança três.
O tamanho do termo seguinte indica quão boa é a fração que já se tem na mão. Zu Chongzhi não dispunha de frações contínuas; o método é de Euler, mil e duzentos anos mais tarde. O que ele tinha era o número, e o número é o mesmo de qualquer das formas.
Que números são fáceis
Alguns irracionais são muito mais prestáveis do que outros, e o desenvolvimento indica quais. √2 é [1; 2, 2, 2, …] e e é [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …] — padrões que podem ser enunciados e demonstrados. Comparando cada erro com o quadrado do respetivo denominador, √2 estabiliza em 0,354, e oscila, e π avança aos solavancos dependendo do termo que acaba de ultrapassar.
O caso extremo é a proporção áurea, [1; 1, 1, 1, …]. Cada termo é o menor que um termo pode ser, pelo que cada convergente é a menor melhoria possível em relação ao anterior, e a mesma medição estabiliza em 0,447. Esse número é 1/√5, e Hurwitz demonstrou em 1891 que nenhum irracional se pode manter acima dele para sempre. φ encosta-se precisamente ao teto. Chamar-lhe o número mais irracional parece um floreado; é uma medição, e 0,447 é onde ela habita.
O que ninguém sabe
π não apresenta nenhum padrão desse tipo. Os seus termos foram calculados até aos milhares de milhões e nunca se encontrou neles qualquer regra, o que deixa aberta uma questão de aspeto simples: permanecerão limitados, ou existirá algures um termo muito maior do que 292?
Se existir, logo a seguir a ele estará uma fração que aproxima π melhor do que seria razoável esperar para o seu tamanho, exatamente como faz 355/113. Ninguém consegue dizer se tal coisa existe. Nenhum teorema explica o 292. É simplesmente o que π faz.