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La fracción de π que ninguna más pequeña ha superado en 1.500 años
355/113 coincide con π en siete cifras decimales. La siguiente fracción que la supera necesita un denominador 147 veces mayor y mejora el error en un 0,2 %.
Algún tiempo antes del año 500, en las dinastías del Sur, Zu Chongzhi calculó que π se sitúa entre 3,1415926 y 3,1415927. También anotó una fracción: 355/113. Quince siglos después, sigue siendo la mejor fracción para π a la que se puede llegar con tres cifras sobre tres, y es mejor de lo que a simple vista tendría derecho a ser.
Cuánto mejor
355/113 equivale a 3,1415929204 frente a los 3,1415926536 de π. El error es de 2,7 × 10⁻⁷, lo que supone siete cifras decimales para una fracción de seis dígitos.
Para comprenderlo, basta preguntarse qué otra opción había. Recorra cada denominador del 1 al 112, tome el numerador más cercano para cada uno y conserve el resultado más próximo. La ganadora es 333/106, y se desvía 8,3 × 10⁻⁵: 312 veces más lejos. Entre un denominador de 106 y un denominador de 113 ocurre algo que vale más que cada mejora lograda en los cien pasos anteriores.
Y ninguna fracción le arrebata el récord durante mucho tiempo. 355/113 es la fracción más cercana a π para todo denominador hasta 16.603. La primera fracción que finalmente la supera es 52163/16604, que necesita un denominador 147 veces mayor para reducir el error en un 0,21 %.
El 292
El motivo resulta evidente en cuanto π se escribe como fracción continua:
π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, …]
Al truncar dicha expresión tras cada término, las fracciones que se obtienen son 3, luego 22/7, después 333/106 y a continuación 355/113. Estas son las convergentes, y un teorema de esta materia establece que cada una de ellas es la mejor aproximación racional disponible para su tamaño: ninguna fracción con un denominador más pequeño se aproxima más. How Close a Fraction Can Get no cita tanto ese teorema como lo lleva a cabo, examinando cada denominador menor e informando de lo que encuentra.
El término decisivo es el 292. Un término grande significa que el resto en ese punto era casi nulo, y un resto casi nulo es otra forma de decir que la fracción de la que ya se disponía era casi exacta. Así pues, la convergente inmediatamente anterior al 292 obtiene siete decimales. Compárese esto con 22/7, situada tras un término de solo 7 y que logra tres.
El tamaño del término siguiente indica lo buena que es la fracción de la que ya se dispone. Zu Chongzhi no contaba con las fracciones continuas; el método es de Euler, doce siglos más tarde. Lo que él tenía era el número, y el número es el mismo en ambos casos.
Qué números son fáciles
Algunos irracionales son mucho más dóciles que otros, y el desarrollo muestra cuáles. √2 es [1; 2, 2, 2, …] y e es [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …], patrones que se pueden enunciar y demostrar. Al comparar cada error con el cuadrado de su denominador, √2 se estabiliza en 0,354, e oscila y π da bandazos según el término que acaba de superar.
El caso extremo es el número áureo, [1; 1, 1, 1, …]. Cada término es el menor posible, por lo que cada convergente supone la menor mejora posible respecto a la anterior, y esa misma medida se estabiliza en 0,447. Ese número es 1/√5, y Hurwitz demostró en 1891 que ningún irracional puede permanecer por encima de él para siempre. φ se pega justo al techo. Llamarlo el número más irracional parece un adorno retórico; es una medida, y 0,447 es el valor en el que habita.
Lo que nadie sabe
π no presenta ningún patrón de ese tipo. Sus términos se han calculado hasta miles de millones y jamás se ha hallado una regla en ellos, lo que deja abierta una pregunta de apariencia sencilla: ¿permanecen acotados o existe algún término por ahí mucho mayor que 292?
De existir, justo después de él se encuentra una fracción que aproxima a π mucho mejor de lo que le correspondería por su tamaño, exactamente igual que hace 355/113. Nadie puede decir si tal cosa existe. Ningún teorema explica el 292. Es, sencillamente, lo que hace π.