本記事は自動翻訳によるものであり、原文は英語です。 原文を読む
1,500年間、これより小さな分数が超えられなかったπの分数
355/113は、小数点以下7桁までπと一致する。これを超える次の分数は、147倍大きな分母を必要とし、誤差の改善は0.2%にとどまる。
南朝の時代、500年より少し前、祖沖之はπが3.1415926と3.1415927の間に挟まれることを導き出した。彼はまた、355/113という一つの分数を書き残した。15の世紀が過ぎ去った今もなお、これは分子3桁・分母3桁で到達できる最高のπの分数であり、その精度は一見して予想されるものを遥かに超えている。
どのくらい優れているのか
πの真の値3.1415926536に対し、355/113の値は3.1415929204である。誤差は2.7 × 10⁻⁷であり、合計6桁の数字で構成される分数でありながら小数点以下7桁まで一致している。
その凄さを実感するには、他にどのような選択肢が存在したかを考えてみればよい。分母を1から112まで一つずつ調べ、それぞれに対して最も近い分子を取り、最も精度の高い結果を残す。その勝者は333/106であるが、誤差は8.3 × 10⁻⁵あり、312倍も離れている。分母106から分母113の間に、それまでの100段階におけるすべての改善を合わせた以上の出来事が起きているのである。
そして、その後きわめて長い間、この記録が破られることはない。分母が16,603に至るまで、あらゆる分母の中で355/113が最もπに近い分数であり続ける。ついにこれを上回る最初の分数は52163/16604であるが、誤差を0.21%減少させるために、147倍も大きな分母を必要とするのである。
292という数
その理由は、πを連分数として書き表した瞬間に明らかになる。
π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, …]
この連分数を各項の段階で打ち切ると、次々と得られる分数は 3、22/7、333/106、そして355/113となる。これらは近似分数と呼ばれ、この分野の定理によれば、各近似分数はそのサイズにおいて可能な最良の有理数近似である。つまり、これより小さな分母を持つ分数が、それ以上に元の数へ近づくことはできない。How Close a Fraction Can Get は、この定理を引用するというよりも実際に検証してみせるものであり、あらゆる小さな分母を探ってその結果を報告している。
重要となる項は292である。項が大きいということは、その時点で残された余りがほぼ無に等しかったことを意味し、余りがほぼ無いということは、その時点で手の中にある分数がすでに極めて正確であったと言い換えることができる。そのため、292の直前に位置する近似分数は小数点以下7桁の精度に達する。わずか7という項の後に位置し、小数点以下3桁にとどまる22/7と比較されたい。
次の項の大きさは、現在手にしている分数がどれほど優れているかを示している。祖沖之は連分数を用いていなかった。その手法が生み出されたのは1,200年後、オイラーによってである。彼が手にしていたのは数そのものであり、数そのものはどのような方法を取ろうとも変わりはない。
どの数が扱いやすいのか
無理数の中には、他のものよりはるかに有理数近似に応じやすいものが存在し、連分数展開はその違いを明らかに示している。√2は [1; 2, 2, 2, …] であり、eは [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …] である。これらは記述および証明が可能な規則的パターンを持っている。各誤差を分母の2乗と比較すると、√2は0.354に落ち着き、eは変動し、πはどの項を通過したばかりかによって大きく揺れ動く。
極端な例は黄金比 [1; 1, 1, 1, …] である。すべての項が取り得る最小の値であるため、どの近似分数も前のものに対する改善が最小限にとどまり、同じ測定値は0.447へと落ち着く。この数値は 1/√5 であり、フルヴィッツは1891年に、いかなる無理数もこの値を永遠に上回り続けることはできないと証明した。φはこの上限の天井にぴったりと接している。これを「最も無理数らしい数」と呼ぶのは一見修辞的な誇張に思えるかもしれないが、これは測定に基づく事実であり、0.447こそがその位置を示している。
誰も知らないこと
πにはそのようなパターンが存在しない。その項は何十億もの長さにわたって計算されてきたが、そこにいかなる法則も見出されておらず、一見ありふれた次のような未解決の問いを残している。すなわち、それらの項は一定の範囲に収まり続ける（有界である）のか、それとも遥か遠くに292を遥かに凌ぐ巨大な項が存在するのだろうか？
もし存在するならば、その直後には、まさに355/113がそうであるように、同等の規模の分数ではあり得ないほどの精度でπを近似する分数が位置することになる。そのようなものが存在するかどうかは誰にも分からない。292という項の存在を説明する定理は存在せず、それはπがたまたま取った値に過ぎないのである。