分数はどこまで真値に迫れるか

分母が1000未満の分数の中で355/113が最もπに近いことを示し、それがどこまで最良の分数であり続けるかを調べてください。

1. まず展開を行います。π = [3; 7, 15, 1, 292, …] なので、近似分数は3、次に22/7、続いて333/106、そして355/113となります。

   $$\pi =[3;7,15,1,292,\dots ]$$

2. 各近似分数は、直前の二つの分数から導かれます。新しい項を掛け、さらに一つ前のものを足します。この手順にπ自体の値は必要なく、その項だけで計算できます。

   $$\frac{p_n}{q_n}=\frac{a_n{p}_{n-1}+p_{n-2}}{a_n{q}_{n-1}+q_{n-2}}$$

3. 355/113は3.1415929204で、πの3.1415926536との差は2.7 × 10⁻⁷。3桁どうしの分数で、有効数字7桁に達している。

   $$\frac{355}{113}=3.1415929204\dots ,\pi =3.1415926536\dots$$

4. 次に1から112までのすべての分母に対して最も近い分子を選び、その中で最も誤差の小さいものを探します。結果は333/106で、誤差は8.3 × 10⁻⁵となり、355/113と比べて312倍も離れています。

   $$\underset{q\le 112}{\min }\left|\pi -\frac{p}{q}\right|=\left|\pi -\frac{333}{106}\right|\approx 8.3\times 10^{-5}$$

5. 探索範囲を1000まで広げても新しいものは現れません。依然として355/113が最も近い分数です。

6. この優位性がどこまで続くのか調べるためさらに探索を進めると、これを上回る最初の分数は52163/16604でした。つまり、16,603までのすべての分母において、355/113がπに最も近い分数だということです。

   $$\frac{52163}{16604}\text{first beats it}:q\times 147,\text{error}-0.2\%$$

7. そして、これを上回ることで何が得られるかを見てください。52163/16604は分母が147倍も大きいにもかかわらず、誤差は0.2%しか縮まりません。これこそがこの分野の全体像です。優れた分数は周囲のものより桁違いに良く、次の真の改善を見つけるにははるか先まで進まなければならないのです。