L1: 基礎
多くのデータを1つの数字で：要約統計
MATHここにある三つのツールは、ひとつの授業を形作ります。要約値とはいわば非可逆圧縮であり、どのように圧縮するかが、その要約が何を正しく伝えているかを決定づけます。それぞれのステップは、単一の数値による要約が抱える特有の限界を浮き彫りにし、その課題を次のステップへと手渡していくのです。
数学
いくつかの規則を決めた時点で、その帰結はもう自分の裁量ではなくなります。そこから導かれるものが予想どおりであることはまれで、ここにあるツールは、どの帰結を引き受けることになったのかを見せるためにあります。
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章
単体のツールではなく、短い系列として。各ステップは次のステップに具体的なものを渡すので、順番に進める価値があります。
L1: 基礎
三角形の公式は、どこから来るのか
MATH三角形と円に関する基本的な定理を、実際の依存関係に沿って導き出す六つのツール。根拠なく主張される事柄は一つもありません。すべての法則が、直前の法則の必然的な帰結として現れます。そして道のりの最後で最初の法則を座標平面上に置き直したとき、距離の公式へと姿を変えるのです。
L1: 基礎
数を書き下すということ
MATH三つのツールが一つの筋道をつくります。世の中には最後まで書き切れない数があります。その数にもっとも近い短い表し方は当てづっぽうではなく探し出せますし、数を打ち切ることには測れる代償があります。
L1: 基礎
xについて解く：マイナス記号からの積み上げ
MATH方程式の解法を、概念が本来依存しあう順序で組み立てていく六つのツールです。マイナス記号の働きから出発し、最後は三つの未知数を一度に解く機械的な手法へと至ります。各段階は、次の段階へ具体的なものを一つ手渡します。式の操作、操作に対する制限、あるいはその操作が数学的に許されるかどうかの判定です。
L2: 中等
時間の経過とお金の価値
MATH四つのツールが形作る、一つの概念。お金は時点が異なれば価値も変わるということ、そして繰り返される支払いは一つの数式に集約できるということです。ここにある各ステップは、次のステップへと特定の要素を確実に手渡していきます。
L2: 中等
2つの値が衝突するとき
MATH誕生日問題は一見するとパーティーの余興のようですが、実は衝突について考察するための標準的な道具なのです。そして続く第2段階で、計算機科学者たちは別の名前で再びこの問題に出会うことになります。
L2: 中等
二次式を超えて
MATH道具は四つ。どれも、前の道具が限界を迎えるからこそ存在します。解がすっきりしていれば因数分解が役立ち、そうでなければ解の公式を使います。二次を超えれば割り算が活躍し、二つの多項式が上下に重なり合ったときにできるのが有理関数です。
L2: 中等
円運動と波は同じ運動
MATH三つの道具。この一連の学習の核心は、これらが三つの別々のテーマではないという点にあります。正弦波とは等速円運動を真横から見た姿であり、重力がその回転を担うとき、それは揺れる振り子として現れるのです。
L2: 中等
なぜ、近づけばすべてはまっすぐに見えるのか
MATHひとつのアイデアをめぐる、五つのツール。なめらかな曲線は、十分に拡大すると直線と区別がつきません。導関数が測るもの、テイラー展開が拡張するもの、そして複数の方向において勾配が行うこと。そのすべてが、この単一の事実に基づいているのです。道のりは、計算がすっきりとまとまる角度の測り方から出発します。そして最後には、最も急な傾斜が、実際に測ったどの方向をも上回る丘の斜面へと至ります。
L3: 学部
データへの直線あてはめ
MATH散らばった点のグラフを、確固たる根拠のある数値へと変える三つのツール。そこに至る道筋は、統計学ではなく幾何学を通ります。幾何学こそが、統計に嘘をつかせないからです。
L3: 学部
三つの数値計算法と、それぞれの限界
MATHニュートン法、シンプソンの公式、そしてオイラー法。これらはみな、同じ一つのエンジンで動いています。十分に小さな区間のなかでは、曲線を直線とみなすという仕組みです。だからこそ、どの手法にもバグではない、必然的な破綻が存在します。どの破綻がどの手法に属しているのか。それを知ることこそが、生きた知識となるのです。ここでのすべてのステップは、固有の名前を持つ誤差とそれが縮小していく割合を、次のステップへと手渡していきます。
全プロセスの詳細解説
- 料金の分岐点5と、多く買うほど安くなる範囲
- 1つの数で決着する大ピラミッドの2つの偶然
- 384,400 km離れて空の0.5181°を覆う月の直径
- 指数の引き算による太陽と月の平均距離の比
- 1から10のペアリングでは到達できない平方和
- 単純なサインとコサインの和として示されるシフトしたコサイン
- y′ = −y/x の曲線群
- 球とそれに外接する円柱において2:3の比が二度現れる理由、そしてそれが偶然ではない理由
- A = (2, 1) と B = (−1, 2) の張る面積
- 閉形式による0から2までの y = x² の弧長
- π を3と3.4641の間に挟む六角形
- 3 + 2i とその共役複素数の乗算による積の証明
- 半軸が4と3で焦点が c = 2.6458 の楕円
- 傾いた楕円の傾斜角、2つの軸と離心率
- リンゴ3個が2.4のときの7個の値段
- x = 1におけるf(x) = x²の傾きと接線
- y′ = x − y の x = 8 におけるオイラー法の解
- 1000個の細胞から始まり1時間あたり8%で増殖する培養
- 矩形波を近似し1.182に達する5つのサイン波
- f(x) = x²とg(x) = 2x + 3の合成
- 点 (2, 4)（f(x) = x² 上、(4, 2) へ対称移動）
- 誤差平方和が1.3714となる6点
- sin x / x → 1 の証明（すべての ε に対する δ を使用）
- 2¹⁰ = 1024 と 10³ = 1000 が近い理由
ここでわかること
これらのツールから生まれた記事
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Every rule you memorised in algebra is about the same one move
There are two moves in school algebra: add something to both sides, or multiply both sides by something. Adding has never needed a warning, and every rule you had to memorise is about the other one.
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The fraction for π that nothing smaller has beaten in 1,500 years
Zu Chongzhi wrote down 355/113 in the fifth century. It is still the best fraction for π that anyone can reach with three digits over three, and the reason is a single large number sitting in π’s continued fraction.
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Two countries measured the same border and disagreed by 227 kilometres
Spain put its border with Portugal at 1,214 km. Portugal put the same border at 987 km. Both had measured carefully; they had used different rulers, and a shorter ruler always finds more coast.
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π is in the bell curve, and there is no circle anywhere in it
Drop needles on floorboards and you can measure π. Collide two blocks and you can count it. Neither has a circle anywhere in it. π is really about rotation and the sum of two squares; circles are just where most of us meet it first.
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You typed one digit. The answer came back with six.
A calculator cannot be more precise than what you fed it, and none of them say so. Here is what the extra digits actually mean, why a reciprocal is the worst place to forget it, and why this site prints them anyway.
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Halving the step size should halve the error. The tool says 1.73.
"First order" is a promise about the limit, not about the step size you are running. The gap between the promise and the measurement is itself first order, which is why an error estimate built on the promise is wrong in a predictable direction.
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Newton's method can double its mistake every step, and the answer was 0.01 away
The standard way to solve an equation numerically converges so fast it feels like cheating. Give it the cube root and it walks away from the answer, doubling the distance every step, forever.
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Primes thin out at a rate you can name
The density of primes near a number n is about one in ln n. That one fact tells you how many primes lie below any bound, why they never run out, and how long a computer must search to find a 1024-bit one.
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Twice as tall is four times the paint, and eight times the concrete
Lengths scale as k, areas as k² and volumes as k³. Getting this wrong is probably the most expensive arithmetic mistake ordinary people make.
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The rule that was the ceiling of arithmetic for a thousand years
Cross-multiplication is usually dismissed as a procedural trick. It was written down in 628 CE, carried across three continents, and was the end of the mathematics syllabus for most people who ever received one.
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Every football has twelve pentagons, and it could not have any other number
Any closed cage of pentagons and hexagons with three faces at each corner has exactly twelve pentagons. Always twelve, whatever size the ball, and the proof never counts a single one.
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Pythagoras is not a fact about triangles
a² + b² = c² fails on a sphere and fails the other way in hyperbolic space. What the theorem actually asserts is that the surface you are standing on is flat.
この分野のすべてのツール
Calculus & Analysis
オイラー法ビジュアライザー
オイラー法のステップで1階常微分方程式を解き、厳密な参照曲線と比較しよう。
テイラー級数エクスプローラー
関数とその展開中心のまわりでのテイラー多項式を比較します。
フーリエ級数ビルダー
調波（ハーモニクス）から矩形波・三角波・のこぎり波を組み立てます。部分和、個々の正弦波成分、ギブス現象のオーバーシュートを確認できます。
ラプラス変換ラボ
常微分方程式やシステムで使われる代表的な関数について、順変換と逆変換を学ぶ。
リーマン和エクスプローラー
左和・右和・中点和・台形和を使って積分を近似します。
偏微分と勾配
各座標軸に沿った曲面の傾きを測り、実際に最も急に下る方向を見つけましょう。勾配、進む方向によって変わる傾き、そして平坦な点が山の頂上なのか、谷底なのか、あるいはそのどちらでもないかを判定する手法について学びます。
傾き場と常微分方程式ソルバー
傾き場 dy/dx = f(x,y) を可視化し、クリックしてRK4法による解曲線を追加しよう。
媒介変数曲線
アニメーションによる軌跡描画と接線ベクトルで x(t), y(t) の媒介変数曲線を描画
弧長と回転体
数値解析により弧長、表面積、体積を推定する。
微分・接線エクスプローラー
関数曲線上の点をドラッグすると、接線と傾きがリアルタイムで更新されます — 微積分の幾何学的な核心。
数値積分ラボ
長方形法・台形法・シンプソン法を比較して定積分を近似します。
極座標曲線
掃引アニメーションと面積計算を伴う極座標曲線 r(θ) を描画
極限エクスプローラー
両側から極限に近づけ、不連続点を分類する
Linear Algebra & Geometry
2次元固有ベクトルエクスプローラー
2×2線形変換による固有方向とスケーリングを可視化します。
PCA 2D/3D ビジュアライザー
2Dデータを主成分空間に射影し、説明分散とスコアを調べる。
ピタゴラス・ラボ
a² + b² = c² を相似三角形から証明し、そのうえでわざと壊します。曲率スライダーが平面を球面や双曲面に曲げると斜辺が動く — この定理は三角形についての事実ではなく、平坦さについての事実だからです。
ピラミッドの幾何学
底辺の長さと高さから、正四角錐の斜辺の高さ、面積、体積、側面角を計算します。
ベクトル計算機
2D/3Dベクトルの内積、外積、なす角を計算します
ベジェ曲線エクスプローラー
制御点をドラッグしてベジェ曲線とデカステリョのアルゴリズムを探索します
円とπの秘密
円周、面積、衝突、確率、無限級数にπが現れる理由を、7つの対話型実験で確かめます。
円周角の定理ラボ
1つの円上で4点を動かし、中心角と円周角、同じ弧に対する角、タレスの定理、円に内接する四角形を結び付けます。
円錐曲線エクスプローラー
一般の二次係数から円錐曲線を分類してグラフ表示します。
円錐曲線パラメータ・エクスプローラー
標準形のパラメータと向きから、楕円・放物線・双曲線を調べます。
最小二乗法ジオメトリ・エクスプローラー
点をドラッグして、線形フィットと二次フィットを比較し、残差バーとSSEへの影響を確認します。
座標幾何エクスプローラー
グリッド上で2点をドラッグし、距離・中点・傾き・直線の方程式を読み取ります。距離の公式の背後にある直角三角形も描かれます。
正則タイル張りラボ
正 p 角形を、各頂点に q 枚ずつ。すべてを決めるのは一つの不等式です。(p−2)(q−2) と 4 の大小が、球面・平面・双曲円板を分けます — タイル張りは 5 通り、3 通り、あるいは無限通り。
相似三角形ラボ
三角形を拡大・縮小して、何が変わるかを見る道具。長さは倍率どおり、面積はその 2 乗、角度はまったく動きません。大きい三角形は、実際に収まる個数どおりに分割して描かれます。
立体ラボ：球・円錐・円柱
5つの視覚実験で、球・円柱・円錐の体積、全表面積、拡大縮小を比較します。
行列変換ビジュアライザー
2×2行列が平面をどう変換するかを見る — 固有ベクトル、行列式、面積の拡大縮小
面積と周長
Calculate and compare area and perimeter for ordinary shapes, then scale every length.
Algebra & Precalculus
ガウスの消去法
三つの未知数を含む三つの方程式も、未知数が二つの場合と同じ消去法に、行の入れ替えを一つ加えるだけで解くことができます。計算の順序を整えることで、パズルは確実な手順へと変わります。そしてその過程におけるひとつの選択が、コンピュータが正しい答えを導き出せるかどうかを決定づけるのです。
サイン・コサイン波エクスプローラー
振幅・周波数・位相のずれ・垂直方向のずれをインタラクティブなスライダーで操作しながら y = A·sin(Bx + C) + D を探索します。
一次方程式
自分で方程式を操作して解いてみましょう。手順は一つひとつ判定されます。「両辺に同じことをする」と誰もが教わりますが、それが絶対のルールというわけではありません。
三角形ソルバー
正弦定理・余弦定理を使って辺や角から三角形を解きます。SSAのあいまいなケースにも対応。
不等式
自分で操作を行って不等式を解いてみましょう。方程式で使える方法はすべてここでも使えます。ただし、大小関係を逆転させる操作が1つと、全く使えない操作が1つだけあります。
二次方程式ソルバー
ax² + bx + c = 0 の解を、判別式の計算過程とともに求めます。複素数解にも対応。
分数はどこまで真値に迫れるか
連分数と、そこから得られる近似分数。3桁の分母をもつ355/113が、なぜπを小数第7位まで正確に近似できるのか。そして、なぜφは何よりも近似しにくいのか。
区分的モデリング・ラボ
2区間の区分線形モデルを作成し、分岐点での連続性を調べます。
単位円エクスプローラー
単位円上のsin、cos、tanを探索します。角度を変えると直角三角形、座標、ピタゴラスの定理がリアルタイムで更新されます。
多項式の割り算トレーナー
商・余り・計算過程を明示しながら、多項式の筆算による割り算を練習します。
対数エクスプローラー
リアルタイムの底スライダーで y = log_b(x) を探索し、ln(x) や log10(x) と比較します。
式の展開と因数分解
括弧を展開することを長方形の面積として捉え、因数分解では同じ図を逆向きに読む。三項式が整数の範囲で因数分解できるかどうかは、試す前にひとつの判定でわかる。
指数関数的増加・減少エクスプローラー
変化率を設定して、増加も減少も等しく扱うひとつの方程式から、倍加時間、半減期、そして任意の時点における量を読み取ってみましょう。
有理関数エクスプローラー
零点1つ・極1つを持つ有理関数の零点・極・漸近線を調べる。
無理方程式チェッカー
√(ax+b)=cx+d を解き、両辺を2乗することで生じる無関係解(外来解)を除外します。
等式の変形
式を一つずつ逆算して、任意の文字について解いてみましょう。目的の文字が2回登場して変形できなくなるまでは、方程式を解くのと全く同じ手順です。
論理矛盾ラボ
解が一意な真実・嘘パズルを生成し、可能世界を消去しながら、実際の推論を示すヒントを得られます。
逆関数エクスプローラー
f(x)とf⁻¹(x)がy=xを軸に鏡映しになる様子を見て、いつ制限が必要になるかを確かめる。
連立方程式
未知数が二つある二つの方程式は、二本の直線として描かれます。たった一つの数値が、それらがただ一点で交わるかどうかを決定します。そして交わる場合、その解をどの程度信用できるかについても、同じ数値が教えてくれます。
関数合成計算機
f(g(x))とg(f(x))の関数合成をステップごとに計算します。独自の関数、式、定義域の警告、グラフに対応しています。
Number Theory & Arithmetic
Discrete Math & Sequences
シグマ総和ツール
シグマ記法による有限和を計算し、部分和の推移を確認します。
宇宙のスケール探検
亜原子スケールから宇宙スケールまでズームし、10のべき乗を使って大きさを比較します。
定常マルコフ連鎖エクスプローラー
遷移行列、kステップ後の状態確率、長期的な定常分布を調べる。
宝くじの数学
プール数、選択数、ボーナスボールといったパラメータから任意の宝くじを組み立て、期待値の内訳、還元の構成、時間経過によるジャックポット確率を確認できます。数学はあなたの味方ではありません。
数列と級数の基礎
第n項と部分和を使って、等差数列と等比数列を比較します。
級数の収束エクスプローラー
部分和 SN と無限級数の収束を可視化——調和級数、バーゼル級数、階乗級数、等比級数、望遠鏡型級数など。
黄金比とフィボナッチ螺旋
フィボナッチの成長、螺旋の構成、φへの収束を可視化します。
その他のツール
ゴールキーパーの反応時間
シュートの飛行時間と、反応の遅れ・加速度から求めるゴールキーパーの到達距離を比較します。
たすき掛けの格子
4つの数、1つの十字、1つの規則。百分率も、増加も、割引も、日常の比も、公式を思い出すのではなく図を見て解く。ほとんどの人が間違える「逆算」も含めて。
ニュートン法ビジュアライザー
接線を繰り返し使って根を求め、収束の挙動を観察します。
フェルミ推定
適当に推測した6つの数字を掛け合わせるだけで、実際の値と2倍も違わない答えを導き出せます。これは決して偶然ではありません。掛け合わせによる誤差は対数をとることで足し算に変換され、独立した誤差の足し合わせは互いに打ち消し合う性質を持っているからです。
分数の足し算と、その間違い
二つの分数を正しく足し、次に分子どうし・分母どうしを足してどこに落ちるかを見ます。二番目の答えは和としては誤りで、別のことには正確です。
加重平均ラボ
グループの大きさが異なる場合に平均の平均をとると誤った全体値になる理由と、正しい加重平均の計算方法を理解します。
双曲線関数エクスプローラー
sinh、cosh、tanhを円関数(三角関数)とその幾何学的意味と比較します。
循環小数
好きな分数と底（進数）を入力して、小数がどこで終わるか、あるいはなぜ永遠に続くのかを確かめてみましょう。小数が有限で終わるかどうかは、分数と同じくらい底にも関係しています。そして、それを決める法則には例外がありません。
振り子の位相ポートレート
位相ポートレート、セパラトリックス、正確な周期計算で非線形振り子を探る
損益分岐点計算機
固定費、単価、変動費から、数量ベースと売上高ベースの損益分岐点を計算します。
端数処理：六つのルールとその代償
六つの丸め方式の比較、二段階の丸めによる結果の変化、そして丸められた数値の列が本来の合計からどれほど乖離するかを観察します。
複素数電卓
複素数の演算をアルガン図(複素平面)上に極形式と直交形式で可視化する
角度の単位にラジアンが使われる理由
ラジアンは、弧の長さが半径と角度の積になるように定められている。この単位を選んだからこそ、正弦の導関数は余弦になる。単位を切り替えて、別々の三つの公式すべてに同じ係数0.017453が現れる様子を確かめよう。
負の数
自由に動かせる数直線で、負の数の3つの法則を暗記せずに目で見て確かめましょう。負の数を引くと足し算になるのは、引き算とはそもそも逆の数を足すことだからです。