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数学

いくつかの規則を決めた時点で、その帰結はもう自分の裁量ではなくなります。そこから導かれるものが予想どおりであることはまれで、ここにあるツールは、どの帰結を引き受けることになったのかを見せるためにあります。

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章

単体のツールではなく、短い系列として。各ステップは次のステップに具体的なものを渡すので、順番に進める価値があります。

L1: 基礎

多くのデータを1つの数字で：要約統計

MATHここにある三つのツールは、ひとつの授業を形作ります。要約値とはいわば非可逆圧縮であり、どのように圧縮するかが、その要約が何を正しく伝えているかを決定づけます。それぞれのステップは、単一の数値による要約が抱える特有の限界を浮き彫りにし、その課題を次のステップへと手渡していくのです。

  1. 01比例と割合
  2. 02加重平均
  3. 03平均値 vs 中央値
  4. 04ばらつきと偏差

L1: 基礎

三角形の公式は、どこから来るのか

MATH三角形と円に関する基本的な定理を、実際の依存関係に沿って導き出す六つのツール。根拠なく主張される事柄は一つもありません。すべての法則が、直前の法則の必然的な帰結として現れます。そして道のりの最後で最初の法則を座標平面上に置き直したとき、距離の公式へと姿を変えるのです。

  1. 01面積と周長
  2. 02相似な三角形
  3. 03ピタゴラスの定理
  4. 04任意の三角形を解く
  5. 05円周角の定理
  6. 06単位円
  7. 07座標幾何

L1: 基礎

xについて解く：マイナス記号からの積み上げ

MATH方程式の解法を、概念が本来依存しあう順序で組み立てていく六つのツールです。マイナス記号の働きから出発し、最後は三つの未知数を一度に解く機械的な手法へと至ります。各段階は、次の段階へ具体的なものを一つ手渡します。式の操作、操作に対する制限、あるいはその操作が数学的に許されるかどうかの判定です。

  1. 01負の数
  2. 021次方程式
  3. 03不等式
  4. 04等式の変形
  5. 052つの式を同時に
  6. 063つ以上の式を同時に

L2: 中等

桁の概念

MATH三つの道具、一つの習慣。数量が差ではなく倍率で異なるとき、数を数えるのはやめて、指数を数えましょう。一つ目は物差しを作り、二つ目はその目盛りを辿り、三つ目はデータが一切なくともそこに数値を刻むのです。

  1. 01対数
  2. 02宇宙のスケール
  3. 03フェルミ推定

L2: 中等

三角関数の恒等式と方程式

MATH両辺が定義されている角なら、恒等式は常に成り立ちます。問題で与えられた関数を、求めたい関数へと自在に置き換えられるのはそのためです。本章は、逆数関数と三つのピタゴラスの恒等式から始まります。電卓が返してくる逆三角関数、そこから導かれる方程式、そして加法定理。さらにその先にある倍角の公式や三角関数の合成、恒等式の証明へと歩みを進めます。

  1. 01三角関数の相互関係
  2. 02逆三角関数
  3. 03三角方程式
  4. 04加法定理

L2: 中等

なぜ、近づけばすべてはまっすぐに見えるのか

MATHひとつのアイデアをめぐる、五つのツール。なめらかな曲線は、十分に拡大すると直線と区別がつきません。導関数が測るもの、テイラー展開が拡張するもの、そして複数の方向において勾配が行うこと。そのすべてが、この単一の事実に基づいているのです。道のりは、計算がすっきりとまとまる角度の測り方から出発します。そして最後には、最も急な傾斜が、実際に測ったどの方向をも上回る丘の斜面へと至ります。

  1. 01弧度法
  2. 02極限
  3. 03導関数
  4. 04リーマン和エクスプローラー
  5. 05テイラー級数
  6. 06複数の方向

L2: 中等

曲面上の幾何学

GEO紙の上で証明された幾何学の法則は、曲面の世界では通用しません。そして、それぞれの法則が成り立たない度合いこそが、内側から曲率を測る尺度となるのです。まっすぐな道を進んでもコンパスの指す方位は変わります。向きを固定して運んだ矢は、元の場所に戻ってくると回転しています。円の周長を測っても本来の長さにはならず、双曲平面上の三角形は内角の和が π に届くことすらありません。

  1. 01大円航路
  2. 02平行移動
  3. 03驚異の定理
  4. 04双曲平面

L2: 中等

証明の手法

MATH証明とは、あらゆる場合を完全に網羅する論拠のことです。誰も確かめようとしないケースすら、そこには含まれます。この論拠を築き上げる四つの道筋をこれから見ていきましょう。数学的帰納法、ものを箱に振り分ける考え方、どんな操作も変えることのできない量、そして要素をペアにする手法です。最初の道筋は、40回連続で素数を生み出し、その次に 41 × 41 を与える一つの数式から出発します。

  1. 01数学的帰納法
  2. 02鳩の巣原理
  3. 03不変量
  4. 04五角数定理

L2: 中等

微分法：変化率はどう結びつくか

MATH導関数とは変化率です。微分の公式はどれも、それらの変化率がどう結びつくかを教えてくれます。関数の積として掛け合わされているとき、別の関数の内側に入り込んでいるとき、あるいは誰も y について解いていない方程式のままのとき。最後の二つのページでは、実際の講義で問われる実践的な問題へとこれらの公式を役立てます。ある一瞬の変化の速さ、そしてどれが最善の選択かという問いです。

  1. 01積の微分法
  2. 02合成関数の微分法
  3. 03陰関数の微分法
  4. 04関連変化率
  5. 05最適化

L3: 学部

データへの直線当てはめ

MATH散らばった点の集まりを、確かな根拠のある数値へと変える七つの道具。そこから、その数値がどうやって導かれたのか、どの程度信用できるのか、誰も正解を教えてくれない時に何が起きるのかを問いかけ、最後には、最初から確率でしかなかった予測をどう評価するのかへと向かいます。この道筋では統計学よりも幾何学を辿ります。幾何学こそが、統計を嘘のない誠実なものにしてくれるからです。

  1. 01ベクトル
  2. 02最小二乗法の幾何学
  3. 03線形回帰
  4. 04勾配降下法
  5. 05過学習
  6. 06k-means法
  7. 07キャリブレーション

L3: 学部

ものを動かす行列

MATH手がかりを減らしながら、一つの問いを四度繰り返します。この行列は、実際のところ空間に何をしているのか。列ベクトルが直接の答えです。固有ベクトルは、生き残る方向について答えてくれます。そのような方向がないときはSVDが答えを出し、PCAは同じ仕組みを観測データの群れへと向けます。

  1. 01行列による変換
  2. 02固有ベクトル
  3. 03特異値分解
  4. 04主成分

L3: 学部

最適反応、そして誰も計算しないときに起こること

MATH四つのゲームと一つの操作。それは、相手がどんな手に出ようと最適な応答となる手を見つけ出すことだ。第一のゲームはそれ単独で決着がつく。第二のゲームではその位置を特定するのにマス目全体を要し、第三のゲームでは代償を伴う。そして第四のゲームにおいては、誰も計算などしない。それにもかかわらず、集団は自ずと答えに行き着くのだ。

  1. 01囚人のジレンマ
  2. 02ナッシュ均衡
  3. 03共有地の悲劇
  4. 04協調の進化

L3: 学部

三つの数値計算法と、それぞれの限界

MATHニュートン法、シンプソンの公式、そしてオイラー法。これらはみな、同じ一つのエンジンで動いています。十分に小さな区間のなかでは、曲線を直線とみなすという仕組みです。だからこそ、どの手法にもバグではない、必然的な破綻が存在します。どの破綻がどの手法に属しているのか。それを知ることこそが、生きた知識となるのです。ここでのすべてのステップは、固有の名前を持つ誤差とそれが縮小していく割合を、次のステップへと手渡していきます。

  1. 01ニュートン法
  2. 02数値積分
  3. 03オイラー法

L3: 学部

積分法

MATH微分は手順の実行ですが、積分は未知の関数の探索です。そのため、この章の練習問題はすべて同じ方法で答え合わせをします。求めた関数を微分し、被積分関数と見比べるのです。置換積分と部分積分は、それぞれ合成関数の微分と積の微分の公式を逆向きに読んだものにほかなりません。部分分数分解は、初等的な解が常に存在することが保証されている一大関数族を扱うための手法です。そして最後のページでは、e⁻ˣ² にはそのような解が存在しないことを証明します。

  1. 01原始関数
  2. 02置換積分
  3. 03部分積分
  4. 04部分分数分解
  5. 05三角関数の積分
  6. 06解法の選択
  7. 07公式が存在しない場合

L3: 学部

積分の応用

MATH積分とは、こまやかに積み重なった総量のこと。面積も移動距離も体積も、すべてその現れです。本章では「積み重なり」と「変化率」を結びつける定理から解き起こし、二つの曲線に挟まれた面積、物体の運動、断面のスライスから求める体積へと視野を広げていきます。

  1. 01微積分学の基本定理
  2. 02曲線に挟まれた面積
  3. 03累積と運動
  4. 04断面による体積
  5. 05円筒殻法
  6. 06二つの立体の合成
  7. 07二重積分
  8. 08極座標の二重積分

L3: 学部

熱伝導方程式、波動方程式、ラプラス方程式

PHYひとつの演算子であるラプラシアンを土台としながら、時間の振る舞いだけが異なる三つの方程式。熱は忘却します。最も鋭い細部から先に。波は乱れを彼方へ運び去りますが、平面上ではいつまでも波紋が届き終えることはありません。ラプラス方程式には時間が一切含まれません。それは熱が忘却の果てに行き着く先、すなわち、すべての点が周囲の平均値と等しくなった状態なのです。

  1. 01熱伝導方程式
  2. 02地中の季節
  3. 03波動方程式
  4. 04ラプラス方程式

全プロセスの詳細解説

ここでわかること

これらのツールから生まれた記事

この分野のすべてのツール

Calculus & Analysis

2曲線間の面積
区間 [−1, 1] で x³ と x が囲む面積は ½ ですが、両者の差をそのまま定積分すると 0 になってしまいます。曲線が交差する場所では、積分を分割しなければなりません。曲線を二つ選んで、面積と符号付き積分の値がどこで食い違っていくか確かめてみましょう。
オイラー法ビジュアライザー
ステップ幅を半分にすればオイラー法の誤差も半分になるはずです。x = 8 において h = 0.2 のときの比率は 1.731285 となり、これを 1.9933 まで引き上げるには h = 0.005 が必要で、これは同じ八単位の区間を進むのに 1600 回のステップを踏むことになります。
テイラー級数エクスプローラー
3次の展開では真の値 0.84147 に対し sin 1 = 0.83333 が得られます。ここで重要なのは 1/120 = 0.0083333 という数字で、これは答えを出す前に分かる誤差の上限値であり、実際の誤差を 2.4% だけ過大に見積もっています。
フーリエ級数ビルダー
五つの高調波による矩形波のオーバーシュートは 1.182 に達し、項数を増やしてもこのピークは 1.17898 に収束するだけで決して解消されません。不連続点では高調波が 1/k で減衰するのに対し、折れ点では 1/k² で減衰するため、不連続点でのみ波打ち現象が起こるのです。
ラプラス変換ラボ
常微分方程式やシステムで使われる代表的な関数について、順変換と逆変換を学ぶ。
ラプラス方程式：定常状態の平板
正方形の平板の一辺を100 °C、残り三辺を0 °Cに保ちます。下から四分の三の高さにある点の温度は何度になるでしょうか。フーリエ級数による厳密解は54.05を示します。一方、その点から20,000体のランダムウォーカーを放ち、最初にどの辺にたどり着くかを数え上げるアプローチでも、54.13 ± 0.35という見事な一致を見せます。
リーマンの再配列
1 − ½ + ⅓ − ¼ + … の順序を入れ替えると、和をπにできます。100,000項まで足すと、正の項99,259個と負の項741個で3.1415535になります。同じ項がさまざまな目標値に向かう様子を観察し、また、各項を2乗した級数ではなぜ和を変えられないのかを見てみましょう。
リーマン和エクスプローラー
左和・右和・中点和・台形和を使って積分を近似します。
三角関数の積分
sinの奇数乗は一周期で正負の面積が打ち消し合い、偶数乗は周期ごとに面積が積み重なります。∫sin³xは一度の置換で積分でき、∫sin²xには半角の公式が必要になる理由が、ここにあります。x = sin θで描かれる円の上で、∫√(1 − x²)を三角形と扇形に分けてみましょう。練習問題も自動で生成され、答えは微分して確かめられます。
二つの立体の組み合わせ
中心軸が直交する半径 r の二つの円柱は、体積 16r³/3 という、π を一切含まない美しい共通立体をつくり出します。また、球をくり抜いて高さ h の環を作ると、もとの球がどれほど大きくても体積は常に πh³/6 に保たれます。共通部分や和、差によって二つの立体を組み合わせ、断面を一枚ずつ積み上げてその体積を解き明かしてみましょう。
二重積分
e^(y²) は初等関数で表せる原始関数をもたないので、∫₀¹∫ₓ¹ e^(y²) dy dx はこの順序のままでは式になりません。逆向きに切れば (e − 1)/2 ≈ 0.8591 です。z = f(x, y) の下の体積を二度の切断で求め、領域を両方向から記述し、二つの順序で答えが食い違う、このページでただ一つの関数に出会いましょう。
偏微分と勾配
東へ歩くと地面は 3、北へは 4 上昇し、最も急な方向には 5 上昇します。その勾配の半分に抑えられた道は、45° ではなく 60° 外れて走らねばならず、移動距離も二倍になります。
傾き場と常微分方程式ソルバー
傾き場 dy/dx = f(x,y) を可視化し、クリックしてRK4法による解曲線を追加しよう。
円筒殻法
sin x の山を y 軸のまわりに回転させると、円筒殻法なら一行で 2π² ≈ 19.7392 が求まります。同じ値を得るのに、円環法では arcsin を持ち出さねばなりません。四つの立体で二つの切り方を比べ、なぜ片方が遥かに扱いやすいのかを確かめてみましょう。
最適化：箱と缶
30 cm四方の板の四隅から正方形を切り取るとき、切り込みを 5 cm にすると容積最大の 2,000 cm³ の箱ができます。これが 4 cm だと容積は 3.2% 減ってしまいます。蓋のない箱と材料を最小にする缶の最適化を一歩ずつ解き明かしましょう。接線の傾きが 0 になる瞬間を確かめ、深さの制限があるとなぜ境界ぎりぎりの箱が最善になるのかを見ていきます。
初等関数で表せない積分
なぜ ∫e^(−x²) dx には公式がないのか。仮定ではなく証明します。任意の多項式に e^(−x²) を掛けたものに対してリウヴィルの判定法を適用し、公式が存在する被積分関数がどれほど少ないか数え上げ、「公式なし」が正解になり得る積分で練習します。
原始関数
積分のべき乗の公式は n = −1 では成り立たないと言われています。n = −0.99 とすると、xⁿ の教科書にある原始関数は x = 4 で 101.40 になります。そのうち 100.00 は定数 1/(n + 1) です。残りの 1.3959 は ln 4 = 1.3863 に近づいています。続いて、自分で原始関数を入力してみてください。入力された式をそれぞれ微分し、正解かどうかを判定します。
収束半径
1/(1 + x²) はすべての実数上で滑らかですが、0を中心とするテイラー級数は 1 を超えると発散します。x = 1.1 における関数の値が 0.4524887 であるのに対し、次数 80 では 1,121.975 となってしまいます。複素数平面上で中心をドラッグして、±i にある極がどのように半径を決定するかを観察してみてください。
合成関数の微分法
合成関数の微分法が教えてくれるのは、連なる関数の変化率が掛け合わされるということです。微小な区間が各関数を通ってどう伸縮するかを確かめ、自分で求めた dy/dx を入力してつまずきの原因を突き止めましょう。内側の因数を忘れても、なぜ特定の一点だけ検算を通ってしまうのか、その理由も明らかになります。
変化の蓄積と運動
速度 t² − 4t + 3 で 4 秒間動くと、物体は初期位置から 4/3 離れた地点に達しますが、実際に動いた道のりはその 3 倍にあたる 4 に達します。速度を選んで変位・移動距離・平均速度を比べ、平均値がどの瞬間に実現されているかを確かめてみましょう。
媒介変数曲線
(cos t, sin t) と (cos 2t, sin 2t) は全く同じ円を描くため、図を見ただけでは両者を区別できません。一方でリサジュー曲線を考えると、t = π のときの速度は 2 であり、曲率半径は 0.444 となります。
弧長と回転体
全く同じ曲線を同じ 800 分割で計算しても、弧長の誤差は 0.9% になるのに対し、表面積の誤差は 0.08% で済みます。弧長の被積分関数は両端で約 71 まで跳ね上がりますが、表面積の計算ではそこでゼロが掛けられるため誤差が抑えられます。
微分・接線エクスプローラー
関数曲線上の点をドラッグすると、接線と傾きがリアルタイムで更新されます — 微積分の幾何学的な核心。
微積分学の基本定理
e^(−t²) は初等関数の式を持ちませんが、0 から 1 までの面積は 0.7468 であり、面積関数はその地点で 1 における曲線の高さと同じ 0.3679 の割合で増加します。x を動かして、面積の傾きがどの場所でも曲線と一致する様子を確かめてみましょう。
数値積分ラボ
区間 [0, 1] での eˣ の分割数を二倍にすると、誤差は左側和で 2 分の一、台形公式で 4 分の一、シンプソン公式では 16 分の一に減少します。小数第六位の精度を得るには 462 個の台形、あるいは六つのシンプソン区間が必要です。
断面積分による体積
y = x と y = x² で囲まれた領域を x 軸のまわりに回転させると、体積は 2π/15 = 0.4189 になります。面積ではなく半径を先に引き算すると得られるのは 0.1047、本来のきっかり 4分の1 です。六つの立体の断面を動かし、断面積 A(x) の下の面積として体積が積み重なっていく様子をご覧ください。
極座標での二重積分
極座標では面積要素は r dr dθ です。r を落とすと単位円板の面積は 2π、つまり円周の長さになってしまいます。r を残せば、初等的な原始関数をもたない e^(−x²) から、実数直線全体での ∫e^(−x²) dx = √π が得られます。扇形、カージオイド、原点からずれた円板、正方形の上で、極座標のセルを一つずつ積分していきます。
極座標曲線
バラ曲線 r = cos(kθ) は、k が奇数のときは k 枚、偶数のときは 2k 枚の花びらを持つため、cos 3θ は 3 枚、cos 4θ は 8 枚の花びらを描きます。カージオイドが囲む面積は 4.7124 であり、これは単位円のちょうど一つ半に相当します。
極限エクスプローラー
両側から極限に近づけ、不連続点を分類する
積の微分と商の微分
uv の微分がなぜ u′v′ ではなく u′v + uv′ になるのか。辺が伸びる長方形を眺めると、増える面積は二つの帯と一つの角であり、極限で消え去るのはその角の部分です。刻み幅を小さくしていくと、二つの帯がまさに公式の形へと落ち着く様子や、同じ図から商の微分公式が読み取れる理由が実感できます。自分で求めた導関数の検算も行えます。
積分法を選ぶ
試験に出る積分には、章の見出しがついていません。最初の一手を、積分表、置換積分、部分積分、部分分数分解、三角関数による変形から選んでみましょう。このページでは、その積分を実際に探索し、選んだ手から積分表の形にたどり着けるか、何手かかるかを示します。章全体からの混合問題で、二つの技法を続けて使う問題もあります。
置換積分
置換によって 2x cos(x²) は cos u に変わり、0 ≤ x ≤ 2 の範囲ではどちらも −0.7568 となります。置換後に x の積分区間をそのまま使うと 0.9093 となり、符号が逆になってしまいます。面積を細かく切り分けた短冊が x 軸から u 軸へと移動する様子を観察したら、自動生成される問題で練習してみましょう。微分を使って自力で答え合わせができるようになっています。
部分分数
有理関数を部分分数分解で積分し、入力した答えを確認できます。目隠し法、重因数や二次因数、極の間の各区間における単一の積分定数、そして根の公式は存在しないが積分は初等関数で表せる x⁵ − x − 1 まで扱います。
部分積分
部分積分とは、ある積分を別の積分にすり替える手法です。その成否はuの選び方にかかっています。x²eˣの場合、u = x²とすれば二段階で基本公式にたどり着きますが、u = eˣとするとx⁵eˣ/60へと膨れ上がってしまいます。ここでは二つの選択肢から生じる計算の連鎖を並べて比較し、∫eˣ sin xを方程式として解く方法を学びます。答え合わせ機能付きの練習問題も用意しました。
関連変化率
壁を滑り落ちるはしご、満たされていく円錐、伸びゆく影。自らの手で解き明かす関連変化率のレッスンです。関係式を微分し、調べたい瞬間を代入し、運動から直接測った変化率と照合しましょう。摩擦のない床を一定速度で引かれる一様なはしごが、壁を離れる高さまで突き止めます。
陰関数の微分
デカルトの正葉線 x³ + y³ = 6xy は、x = 1 の上に三つの点を持ち、それぞれの傾きは 1.0409、0.3373、−1.3782 と異なります。傾きが y にも左右されざるを得ない理由はここにあります。自らの手で両辺を微分し、∂F/∂y = 0 で公式が立ち行かなくなる瞬間や、曲線が交差して 0/0 を示す原点の姿を確かめてみましょう。

Linear Algebra & Geometry

2次元固有ベクトルエクスプローラー
2×2線形変換による固有方向とスケーリングを可視化します。
PCA 2D/3D ビジュアライザー
2Dデータを主成分空間に射影し、説明分散とスコアを調べる。
ガウスの驚異の定理
一つの点からあらゆる方向へ同じ距離だけ歩き、その足跡が描く輪を測ってみましょう。円柱の上ならちょうど 2πr となり、球面ではそれより短く、鞍型面では長くなります。これが、曲面の外に出ることなく測られたガウス曲率です。
グラム・シュミットの直交化法
射影を引き去りながら正規直交基底を作ります。アルゴリズムを2行入れ替えるだけで、10⁻⁸しか離れていない列に対する答えが直角から60°へと変わってしまいます。
コンパスと定規による作図
コンパスと目盛りのない定規だけで、正17角形は作図できます。ガウスが18歳で証明した通りです。しかし正7角形は決して作図できず、誰も60°の角を三等分することはできません。作図の過程を順に追ってみましょう。そして、残りの作図を禁じる代数学を確かめてみてください。
ジンバルロックとクォータニオン
ヨー、ピッチ、ロールを備えた三つのリングからなるジンバルを動かしてみてください。二つのリングがピタリと重なるのを確認したら、それには全く影響されない四元数の値を読み取ってみましょう。なぜピッチが90°になると自由度が一つ失われてしまうのか。そしてなぜ360°の回転で四元数が−1になるのかについて考えていきます。
ピタゴラス・ラボ
a² + b² = c² を相似三角形から証明し、そのうえでわざと壊します。曲率スライダーが平面を球面や双曲面に曲げると斜辺が動く — この定理は三角形についての事実ではなく、平坦さについての事実だからです。
ピックの定理：点を数えて面積を求める
格子点上に頂点を持つ多角形を描きます。内部と辺上の点を数えるだけで、面積を正確に求めることができます。例えば、内部に53個、辺上に8個の点があれば、長さを一切測ることなく面積が 56 であるとわかります。ただし、三次元空間においてはこの二つの点の数だけで体積を決定することはできません。
ピラミッドの幾何学
クフ王の大ピラミッドにおける π と φ の暗合は、建造者が用いた 11/14 という一つのセケドに起因する全く同じ偶然です。その八倍は 6.28571 となり 2π = 6.28319 に、斜面の比率 1.6186 は φ = 1.618034 にそれぞれ近似しています。
ベクトル計算機
2D/3Dベクトルの内積、外積、なす角を計算します
ベジェ曲線エクスプローラー
制御点をドラッグしてベジェ曲線とデカステリョのアルゴリズムを探索します
三角形の中心とオイラー線
三角形をドラッグして動かしてみましょう。四つの中心のうち三つが常に一本の直線上にあり、重心がその直線を常に 2 : 1 の比に分けることがわかります。二つの辺が等しいときにのみ、内心もその線上に重なります。
円とπの秘密
円周、面積、衝突、確率、無限級数にπが現れる理由を、7つの対話型実験で確かめます。
円周角の定理ラボ
1つの円上で4点を動かし、中心角と円周角、同じ弧に対する角、タレスの定理、円に内接する四角形を結び付けます。
円錐曲線エクスプローラー
B² − 4AC は2次形式部分の行列式の −4 倍であるため、座標軸をどのように回転させても値が変わりません。4x² + xy + 2y² = 16 の場合は −31 となり、これは 13.3° 傾いた離心率 0.737 の楕円であることを示しています。
円錐曲線パラメータ・エクスプローラー
準線の項目があるのは放物線だけです。なぜなら、放物線だけが一本の準線によって定義され、その頂点が焦点と準線の両方からちょうど 3 の距離にあるからです。a = 4、b = 3 の楕円の場合、焦点は c = 2.645751 の位置になります。
最小二乗法ジオメトリ・エクスプローラー
点をドラッグして、線形フィットと二次フィットを比較し、残差バーとSSEへの影響を確認します。
双曲平面
ポアンカレ円板上で三角形の頂点をドラッグして、三角形が大きくなるにつれて内角の和が小さくなる様子を観察してください。双曲平面上のいかなる三角形も、面積がπを超えることはありません。直線の外にある一点を通る無数の直線が、その直線と決して交わらないことも確認できます。
座標幾何エクスプローラー
グリッド上で2点をドラッグし、距離・中点・傾き・直線の方程式を読み取ります。距離の公式の背後にある直角三角形も描かれます。
正則タイル張りラボ
正 p 角形を、各頂点に q 枚ずつ。すべてを決めるのは一つの不等式です。(p−2)(q−2) と 4 の大小が、球面・平面・双曲円板を分けます — タイル張りは 5 通り、3 通り、あるいは無限通り。
球面上の平行移動
三つの直角を持つ三角形に沿って、矢印の向きを変えずに一周させると、矢印は90°回転して戻ってきます。球上の頂点をドラッグして、その回転が内部の面積、角超過、そしてフーコーの振り子とどのように対応するかを観察してみましょう。
相似三角形ラボ
三角形を拡大・縮小して、何が変わるかを見る道具。長さは倍率どおり、面積はその 2 乗、角度はまったく動きません。大きい三角形は、実際に収まる個数どおりに分割して描かれます。
立体ラボ：球・円錐・円柱
球は、それに外接する円柱と比較して体積も表面積も三分の二になります。これは、円柱の側面積だけでも球の表面積と等しいためです。同じ体積で比較すると、表面積は円柱で14.5%、円錐で26.0%大きくなります。
行列変換ビジュアライザー
2×2行列が平面をどう変換するかを見る — 固有ベクトル、行列式、面積の拡大縮小
角度の追跡
重なり合う三角形の中で角度を追いかけましょう。次に、同じパズルが消去法で解かれる様子を観察してください。すべての図形の定理は一次方程式であり、このツールは両方の解法を示します。
鏡映と平面の合同変換
ある図形を一枚の鏡で反射させ、さらに45°で交わる二枚目の鏡で反射させると、結果は90°の回転になります。間隔2で並ぶ平行な二枚の鏡であれば、移動量4の平行移動になります。平面のあらゆる合同変換は高々三回の鏡映として表すことができます。このページでは、鏡を使って回転、平行移動、滑り反射を作ります。
面積と周長
台形の花壇は 24.94 m の縁取りの中に 32.00 m² を収めますが、同じ縁取りでも円ならば 49.51 m² を収めます。一・五倍の大きさで作っても、縮尺が相殺されるためコンパクトさは 0.646 のまま変わりません。

Algebra & Precalculus

sec・csc・cot と三角関数の相互関係
第 II 象限で sin θ = 3/5 なら cos θ = −4/5 です。平方根だけに頼ると +4/5 と答えてしまいます。tan, cot, sec, csc を単位円の 2 本の接線までの長さとして描くと、三つの相互関係は、一つの直角三角形を三通りの大きさにしたものだとわかります。
ガウスの消去法
三つの未知数を含む三つの方程式も、未知数が二つの場合と同じ消去法に、行の入れ替えを一つ加えるだけで解くことができます。計算の順序を整えることで、パズルは確実な手順へと変わります。そしてその過程におけるひとつの選択が、コンピュータが正しい答えを導き出せるかどうかを決定づけるのです。
グラフの変換：平行移動、拡大縮小、反転
(x − 3)² は放物線を右へ動かします。√(2x − 6) は 6 ではなく x = 3 から始まります。(2x)² は 4x² と同じ曲線になります。y = a·f(bx + c) + d で動かされた七つの基本グラフについて、それぞれの注目点の移動先を計算します。
サイン・コサイン波エクスプローラー
波の平行移動量は −C ではなく −C/B なので、B = 2 の場合は括弧内の数値が示す半分の距離しか移動しません。任意の a cos x + b sin x は、位相も含めて振幅 √(a² + b²) の単一の波にきれいに合成されます。
一次方程式
四つのボタンの裏にあるのは、二つの操作です。足し算は常に安全ですが、掛け算は0以外のすべての数で安全です。x = 3 の両辺に 0 を掛けると 0 = 0 となり、これはすべての x で成り立ちますが、x については何も語らなくなってしまいます。
三角形ソルバー
三つの測定値が常に三つの事実を確定させるわけではありません。a = 7、b = 9、A = 40° は面積 31.3423 と 8.5424 の二つの三角形を表し、計算上はどちらを優先する根拠もありません。
三角方程式の解き方
sin(2x − 30°) = √3/2 の解は、0°から360°の間に四つあります。関数の中の角が円を二周するためです。度数法でも弧度法でも、区間内のすべての解をグラフと単位円で確かめられます。一般解や、sin、cosについての二次方程式も扱います。
三角関数の加法定理
sin 45° + sin 30° = 1.2071 は、正弦がとりうる値の範囲を超えています。一方、sin 75° = (√6 + √2)/4 ≈ 0.9659 です。座標軸を A だけ回転させると、sin(A ± B) と cos(A ± B) に現れる四つの積を、二つの直角三角形の辺として読み取れます。どの象限でも、各積の符号まで図から確かめられます。
不等式
−4x ≥ 12 は x ≤ −3 を与え、x = −3 のとき両辺は 12 になるため、端点は解に含まれます。x を掛ける操作が最初から拒否されるのは、その符号がまだ誰にもわからないからです。
二次方程式ソルバー
ax² + bx + c = 0 の解を、判別式の計算過程とともに求めます。複素数解にも対応。
分数はどこまで真値に迫れるか
連分数と、そこから得られる近似分数。3桁の分母をもつ355/113が、なぜπを小数第7位まで正確に近似できるのか。そして、なぜφは何よりも近似しにくいのか。
区分的モデリング・ラボ
大口割引を適用すると、八単位の価格が 9.6 であるのに対し、十単位では 9.5 になります。7.916667 単位から割引の分岐点までの間は少ない量により高い代金を払うことになりますが、これは価格表のすべての値下げの段差で生じる逆転現象です。
単位円エクスプローラー
正接（タンジェント）の名前は接線に由来します。60°の半径を x = 1 まで伸ばすと高さ 1.7321 に達し、これが 90° で +∞ になる理由です。sin 45° の値ひとつから、八角形は π の下限を 2.8284 と定め、16角形は 3.0615 と定めます。
多項式の割り算トレーナー
商・余り・計算過程を明示しながら、多項式の筆算による割り算を練習します。
対数エクスプローラー
リアルタイムの底スライダーで y = log_b(x) を探索し、ln(x) や log10(x) と比較します。
式の展開と因数分解
括弧を展開することを長方形の面積として捉え、因数分解では同じ図を逆向きに読む。三項式が整数の範囲で因数分解できるかどうかは、試す前にひとつの判定でわかる。
指数関数的増加・減少エクスプローラー
変化率を設定して、増加も減少も等しく扱うひとつの方程式から、倍加時間、半減期、そして任意の時点における量を読み取ってみましょう。
文章題：物語から方程式へ
ヒューゴはカイより18歳年上で、9年後には二人の年齢の和が54歳になります。自分で方程式を立てると、問題文との一致や不足している条件が示され、解法も一段階ずつ確認できます。十四種類の問題があり、数値を変えるたびに新しい問題に取り組めます。
有理関数エクスプローラー
(x − 1)/(x + 2) をその水平漸近線である y = 1 と等置すると −1 = 2 となるため、この曲線は決してそこへ到達しません。他の曲線は自身の水平漸近線と自由に交差しますが、垂直漸近線こそが決して越えられない厳密な壁なのです。
無理方程式チェッカー
√(x − 1) = x − 2 の解は 3.618 となり、棄却される 1.382 は符号を反転させたペアの式の厳密解になります。誰もが習う根号内の正負の確認ではどちらの候補も棄却されず、右辺の符号だけがそれを判定できるのです。
等式の変形
式を一つずつ逆算して、任意の文字について解いてみましょう。目的の文字が2回登場して変形できなくなるまでは、方程式を解くのと全く同じ手順です。
論理矛盾ラボ
三人の話し手が8つの可能世界を切り開き、他者についての文はその数を半分にします。話し手自身を含む文は8のうち6を残すため、他の文が半分を消去するのに対し、盤面の四分の一しか消去しません。
逆三角関数
sin⁻¹(sin 150°) は 150° ではなく 30° になります。arcsin、arccos、arctan がなぜ決まった値域の中で値を返すのか、負の値を入力したときに何が起きるのか、そして cos(sin⁻¹ x) の符号が直角三角形からどうして迷いなく決まるのかを確かめてみましょう。
逆関数エクスプローラー
f(x)とf⁻¹(x)がy=xを軸に鏡映しになる様子を見て、いつ制限が必要になるかを確かめる。
連立方程式
未知数が二つある二つの方程式は、二本の直線として描かれます。たった一つの数値が、それらがただ一点で交わるかどうかを決定します。そして交わる場合、その解をどの程度信用できるかについても、同じ数値が教えてくれます。
関数合成計算機
f(g(x))とg(f(x))の関数合成をステップごとに計算します。独自の関数、式、定義域の警告、グラフに対応しています。

Number Theory & Arithmetic

コラッツ予想
偶数なら半分に。奇数なら3倍して1を足す。27から始めると9,232まで駆け上がり、1にたどり着くまでに111ステップかかります。すぐ隣の26なら、たった十ステップです。どんな初期値から始めても必ず最後は1に行き着くという証明は、まだ誰にもなされていません。
チェックディジット：Luhn、バーコード、ISBNと見逃される間違い
Luhn方式は09と90を除く隣り合う数字の入れ替えをすべて検出しますが、バーコードは差が5であるすべてのペアを見逃し、一つ飛ばしでの数字の入れ替えは常にどちらの検証もすり抜けます。任意の数字を入力して、そのチェックディジットがどのような間違いを見落とすか確認してみましょう。
合同算術の時計
フェルマーの小定理により、計算するまでもなく 7¹² mod 13 は 1 になります。三回の平方と一回の掛け算でこれが裏付けられ、その過程でゼロ以外のすべての剰余を一度ずつ通過することから、7 が原始根であることがわかります。
素数の篩とウラムの螺旋
エラトステネスの篩のアニメーションとウラムの螺旋による素数分布の可視化
音楽数学ラボ
純正な完全五度を十二回重ねると 129.7463 に到達しますが、七オクターブは 128 にしかなりません。この 23.46 セントのズレがピタゴラスコンマであり、平均律はすべての完全五度を 1.955 セントずつ低くすることでこの帳尻を合わせています。

Discrete Math & Sequences

2×2ゲームにおけるナッシュ均衡
行プレイヤーの度胸への報酬を 5 から 12 へ上げると、その混合戦略は 33.3% のままですが、利得は 1.67 から 1.20 へ下がります。行動を変えたのは相手のドライバーであり、33.3% ではなく 10.0% の確率で避けるようになりました。
コモンズの悲劇
共有の牧草地にいるのが一人であれば、最適な行動をとります。しかし二人目が加わると過剰利用が始まります。人がどれだけ増えても全体の利用量が最適値の二倍を上回ることはありません。一方で、残存する価値の割合には下限がなく、底なしに落ち込んでいきます。
シグマ総和ツール
シグマ記法による有限和を計算し、部分和の推移を確認します。
不変量
3 × 3のスライディングパズルの配置の半分には決して到達できません。向かい合う二つの角を切り落としたチェス盤をタイルで敷き詰めることは不可能ですし、ケーニヒスベルクの橋をすべて渡り切ることもできません。実際にそれぞれを試してみて、どのような操作を行っても決して変化しない「量」を見つけてみましょう。
五角数定理
(1 − x)(1 − x²)(1 − x³)… を展開すると、ほとんどの項が打ち消し合います。200個の括弧を展開した後、x²⁰⁰ までの係数で残るのはわずか23個であり、すべて ±1 で、五角数の位置に現れます。フランクリンの対応付けによるその証明を確認し、それを用いて p(n) を計算してみましょう。
協調の進化
無条件の協調者ばかりの世界に現れた一パーセントの裏切り者は、第21世代には全体の99.2%を占めます。しかし、155までに彼らは絶滅します。協調は復活しますが、かつての協調者たちは戻ってきません。
囚人のジレンマとアクセルロッドのトーナメント
一回の対戦における最適な選択は明らかですが、それは両者にとって不利な結果を招きます。しかし、八人の対戦相手とゲームを繰り返し、四ラウンド目に入ると、その答えは変化します。
宇宙のスケール探検
亜原子スケールから宇宙スケールまでズームし、10のべき乗を使って大きさを比較します。
定常マルコフ連鎖エクスプローラー
八ステップを経ても、マルコフ連鎖は定常分布から 0.08893 だけ離れていますが、この分布は正確に 8/13、3/13、2/13 であり、どこから開始しても同じになります。PageRank とは、まさにこの計算をウェブ全体規模で実行したものなのです。
宝くじの数学
ドイツのロトとユーロミリオンズの可能な組み合わせは、全く異なる計算過程を経るにもかかわらず、どちらも正確に 139,838,160 通りです。くじの本当の価値を決めるのは 28.6% という還元率ですが、その数字はどのくじ券にも一切印刷されていません。
数列と級数の基礎
等差数列の長さを二倍にしても、その和が二倍になるわけではありません。8項で 80 の場合、16項では 288 となり 3.6 倍になります。一方、等比級数において n 項までの和を求めた後、極限値に対して不足している割合は正確に rⁿ となります。
数学的帰納法
n² + n + 41 は n の40個の連続する値に対して素数となりますが、その次は 41 × 41 となります。数学的帰納法による証明をドミノ倒しとして視覚化し、すべての馬が同じ色であるという論証の中に潜む、一つの破綻したステップを見つけ出しましょう。
級数の収束エクスプローラー
調和級数は 50 項を足しても 4.499205 にしかなりませんが、それでも発散します。この成長は完全に対数的なものであり、和が 10 に達するには約 12,000 項、100 に達するには 1.5 × 10⁴³ 項が必要になります。
鳩の巣原理
1から16までの数から9つ選ぶと、必ず一方が他方を割り切るペアが含まれます。6人が集まれば、互いに知り合いの3人、あるいは互いに見知らぬ3人が必ず存在します。箱を選び、鳩の巣原理がどのように衝突を強いるのかを観察してください。
黄金比とフィボナッチ螺旋
144/89 は φ から 5.6461 × 10⁻⁵ ズレており、その分母に対するフルヴィッツの下限は 5.6459 × 10⁻⁵ となります。フィボナッチ数列による近似分数はすべてこの限界値に着地しますが、これこそが「最も無理数らしい無理数」の真の意味なのです。

その他のツール

ゴールキーパーの反応時間
0.20 s の反応時間はボールの飛行時間の 28% を占め、キーパーが守れるはずの範囲の 48% を犠牲にします。80 km/h のシュートを 16 m 手前から受けた場合、キーパーは 0.99 m 届かず、シュートの速度が 59.1 km/h まで落ちて初めてセーブ可能になります。
たすき掛けの格子
4つの数、1つの十字、1つの規則。百分率も、増加も、割引も、日常の比も、公式を思い出すのではなく図を見て解く。ほとんどの人が間違える「逆算」も含めて。
ニュートン法ビジュアライザー
接線を繰り返し使って根を求め、収束の挙動を観察します。
フェルミ推定
適当に推測した6つの数字を掛け合わせるだけで、実際の値と2倍も違わない答えを導き出せます。これは決して偶然ではありません。掛け合わせによる誤差は対数をとることで足し算に変換され、独立した誤差の足し合わせは互いに打ち消し合う性質を持っているからです。
分数の足し算と、その間違い
二つの分数を正しく足し、次に分子どうし・分母どうしを足してどこに落ちるかを見ます。二番目の答えは和としては誤りで、別のことには正確です。
加重平均ラボ
グループの大きさが異なる場合に平均の平均をとると誤った全体値になる理由と、正しい加重平均の計算方法を理解します。
双曲線関数エクスプローラー
cosh 1 = 1.543081 は 0.7616 c におけるローレンツ因子に相当します。β = tanh φ と置くと相対性理論は双曲線三角法へと姿を変えます。ラピディティは足し合わせることができるため、二回の 1 のブーストは tanh 2 = 0.9640 c を与えるのです。
循環小数
好きな分数と底（進数）を入力して、小数がどこで終わるか、あるいはなぜ永遠に続くのかを確かめてみましょう。小数が有限で終わるかどうかは、分数と同じくらい底にも関係しています。そして、それを決める法則には例外がありません。
指数法則、そしてなぜ a⁰ は 1 になるのか
指数法則のすべてを計算過程とともにひとつの画面にまとめました。ある底の累乗を縦に並べてみれば、a⁰ の値はもはや暗記するような規則ではなくなります。
振り子の位相ポートレート
30° から放たれた長さ 1 m の振り子は周期 2.0410 s で振れますが、微小角近似の公式が予測するのは 2.0061 です。周期を 10 s にするには鉛直から 0.182° 以内で放つ必要があり、20 s では 7.2 × 10⁻⁵ 度という極めて小さな角度が要求されます。
損益分岐点計算機
単価 6、変動費 2.4 で固定費 1800 の場合、500 単位で損益分岐点に達します。価格を 10% 下げると 600 単位が必要になりますが、単位あたりのコストを同じ 10% 下げても損益分岐点は 6.25% しか改善しません。
演算の順序と、見解が分かれる数式
数式を入力して、一回の演算ごとに式が簡約されていく様子を見てみましょう。ここでは四つの規則で同じ数式を読み解きますが、どれも同じ答えになるとは限りません。
端数処理：六つのルールとその代償
六つの丸め方式の比較、二段階の丸めによる結果の変化、そして丸められた数値の列が本来の合計からどれほど乖離するかを観察します。
複素数電卓
i を掛けるという操作は純粋な四分の一回転を意味します。3 + 2i は −2 + 3i となり、絶対値は 3.606 のまま、偏角だけが 33.7° から 123.7° へと移動します。つまり、引き伸ばされることなく回転するのです。
角度の単位にラジアンが使われる理由
ラジアンは、弧の長さが半径と角度の積になるように定められている。この単位を選んだからこそ、正弦の導関数は余弦になる。単位を切り替えて、別々の三つの公式すべてに同じ係数0.017453が現れる様子を確かめよう。
負の数
自由に動かせる数直線で、負の数の3つの法則を暗記せずに目で見て確かめましょう。負の数を引くと足し算になるのは、引き算とはそもそも逆の数を足すことだからです。
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