これは機械翻訳であり、原文は英語です。 原文を読む
千年にわたって算術の天井だった規則
たすきがけを教えることには、数学の側からのもっともな反対論がある。認知の側からのより強い賛成論もあり、歴史は後者の味方である。
エイブラハム・リンカーンは、ジェシー・W・フェルのために書いた短い自伝のなかで、自分が受けた教育をこう述べている。
もちろん、成人したころの私はたいして物を知らなかった。それでもどうにか、読み書きはでき、三数法までの計算はできた。だが、それだけだった。
エイブラハム・リンカーン、1859年12月20日
記録に残る歴史の大半において、大多数の人にとって三数法こそが数学教育の終着点だった。課程が止まる前に習う、最後の一項目である。
規則はこうだ。三つの量が与えられたとき、同じ比になる四つ目を求める。りんご3個が2.40なら、7個ではいくらか。四つの数を正方形に並べ、そこに十字を引く。答えは数の置かれた位置から出てくる。
7世紀に書き留められる
ブラフマグプタは628年、『ブラーマスプタシッダーンタ』にこの規則を記した。その記述で目を引くのは、そこに欠けているものだ。方程式がなく、未知数もない。
彼が名を挙げる量は三つ、プラマーナ、パラ、イッチャーで、慣例的には基準量、果、要求量と訳される。これらを組み合わせる規則を与え、あわせて、三つのうち二つは同じ種類の量であり残る一つはそうでない、と注意している。この最後の条件が実際に効いている。りんごを金額で割ることを止める制約であり、格子の形では幾何がそれを強制する。同種のものが同種の下に並び、正方形を正しく並べさえすれば、単位はひとりでに整う。
この定式は旅をした。イェンス・ホイルップは、それと分かるほど同じ言い回しが数世紀のちのアラビア語文献に、さらにイタリアのアバコ書、すなわち1202年のフィボナッチ『算盤の書』に続く算術学校で教えられた商業算術のなかに現れることをたどっている。イングランドには「黄金律」として届いた。ケンタッキーにも届き、リンカーンにも届いた。
反対の言い分
たすきがけは手続きであり、手続きは理解なしに実行できる。格子を覚えた生徒は、比例が何であるかのモデルを何ひとつ持たないまま、比例の問題に正しい答えを出せてしまう。さらに悪いことに、格子は数学の残り全体が乗っている乗法的な構造を隠す。20%の増加が1.2倍であること、増加を繰り返せば複利になること、それが姿を変えた指数関数であること。倍率で考える生徒は複利にも放射性崩壊にも微分方程式にも進める。2×2の格子で考える生徒が進める先は、次の2×2の格子である。
そして壊れる。うまくいくのは、一方の量が他方の一定倍であるときだけだ。反比例には別の並べ方が要る。古典の文献はそれを知っていて用意していた。ヴィヤスタ・トライラーシカ、すなわち逆三数法で、ブラフマグプタは順の規則の直後にこれを与えている。だから正直な不満の中身は、この方法がそこで失敗することではなく、学ぶ側が二つの規則のどちらにいるのかを知っていなければならないのに、格子はそれを何も教えてくれないことである。本当の壁は冪の関係だ。ケプラーの T² ∝ a³ を出してくれる四数の正方形の並べ方は、存在しない。
それでも支持する言い分
どちらの方法についても、半分だけ覚えている人が何をどう間違えるかを考えてみるとよい。
公式の壊れ方は、覚え違いである。そして覚え違えた公式は音を立てずに壊れる。自信ありげでもっともらしい、間違った数を返し、答えのどこにも狂いを示すものがない。図の壊れ方は、図が出てこないことだ。これは派手に壊れ、人を原理へ引き戻す。
実務で起きる百分率の誤りは、ほぼすべてが基準の誤りである。その百分率が何に対する百分率なのかが分かっていない。20%引きで60になったジャケットは元がいくらだったかと尋ねれば、多くの人は60から20%を引いて48と答える。倍率の形はこれを防いでくれない。新 = 旧 × (1 + r) では基準が暗黙のままで、旧が指すものの内側に隠れており、そこがまさに取り違えられている当のものだからである。
格子では、100 はひとつのマスである。紙の上に出ている。「何に対する百分率か」は、覚えておくものではなく目で見るものになり、答えは 75 と出る。
教える価値のある表現とは
生き残る表現とそうでない表現を分けているのは、どうやら次の四つの問いである。
複数の手続きを一つにまとめられるか。 部分を求める、全体を求める、百分率を求める、変化のあとの値を求める。教科書の手続きが四つ、覚え分けるものが四つ。格子ではこれが一つの動作になる。欲しい数に丸をつける、それだけだ。認知的な負荷は、個々の手続きの難しさよりも、手続きが何種類あるかに従う。
見えない量を画面に載せられるか。 先ほどの基準がそれである。
位置が意味を担っているか。 格子では対角線が割り算、残る二つが掛け算になり、この規則はどの隅に丸をつけても変わらない。空間による符号化と言語による符号化を合わせたものは、言語だけのものよりはるかによく残る。
人が飛ばす段階が見えているか。 格子では20%の増加は「20」ではなく、100に対する120である。変化を比に直すというこの中間の段階こそ人が省くところで、よい表現は完成した120を差し出す代わりにそこを見せる。
Cross-Multiplication Grid はこの四つの試験を軸に作られており、応用の広さを主張ではなく目に見えるものにするために、12の実例を収めている。
格子が正当である理由
この方法がたまたまうまくいく手品にすぎないのなら、以上のことに意味はない。だがこれは相似三角形についての主張である。
1メートルの棒を地面に立て、その影を測る。隣に立つ木の影も測る。太陽は十分に遠いので光線は事実上平行に届き、棒とその影がつくる三角形は、木とその影がつくる三角形とまったく同じ角をもつ。角が等しければ辺は比例する。ユークリッド『原論』第6巻命題4である。こうして、誰にも届かない高さが、誰でも歩幅で測れる三つの長さになる。
ピラミッドを影から測る方法はこれで全部であり、格子で埋めるのも同じ正方形である。比例は、数をどこに書くかという約束事ではない。形についての定理である。
認知上の理由からある方法を教えることは、それを万能なものとして教えてよい許可にはならないし、混乱を偽りの自信に取り替えても勝ちではない。それでも、レシートの裏で組み立て直せる表現は、正確に思い出さなければならない公式に勝る。この形で覚えた人が数十年後もなお使い続けているのは、そのためである。