本稿は機械翻訳によるものであり、英語の原文が正式な文書です。 原文を読む
1000年にわたり算術の上限であり続けた規則
たすき掛けを教えることに反対する数学的な論拠は確かに存在します。しかし、それを支持する認知面からの論拠はさらに説得力があり、歴史も後者に味方しています。
エイブラハム・リンカーンは、ジェシー・W・フェルのために書いた短い自伝の中で、自身が受けた学校教育について次のように記しています。
もちろん成人した頃の私は多くを知りませんでした。それでもどうにか、読み書きができ、三数法までの計算ができました。しかし、それだけでした。
エイブラハム・リンカーン、1859年12月20日
記録に残る歴史の大半において、ほとんどの人々にとって三数法は数学教育の終着点そのものでした。カリキュラムが終わる前に学ぶ、最後の事柄だったのです。
その規則とは次のようなものです。3つの量が与えられたとき、同じ比例関係にある4つ目の量を求める。リンゴ3個が2.40であるなら、7個はいくらになるか。4つの数値を四角く並べ、そこに交差線を引きさえすれば、数値の配置から答えが自然と導かれます。
7世紀に書き記された規則
ブラーマグプタは西暦628年の『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』の中でこの規則を提示しましたが、その記述において際立っているのは、何が欠けているかという点です。そこには方程式もなければ、未知数も存在しません。
彼は3つの量――プラマーナ、ファラ、そしてイッチャー（慣例的にはそれぞれ基準量、果量、所望量）と名付け、それらを組み合わせる規則を与えています。さらに、3つのうち2つは同種のものであり、3つ目はそうではないという指摘も添えています。この最後の条件こそが、極めて実質的な働きをしています。それがあるからこそリンゴを通貨で割ってしまうような誤りが防がれるのであり、格子の形式においてはそれが幾何学的な配置によって担保されます。同種のものは同種のものと上下に並び、正方形の枠を正しく配置しさえすれば、単位はおのずと整合するのです。
この定式化は各地へと伝播しました。イェンス・ホイルップが辿ったように、それと明らかに分かる同一の表現が、数世紀後のアラビア語史料に、そして1202年のフィボナッチによる『算盤の書』に続く計算学校で教えられた商業算術であるイタリアのアバコ書へと現れていきます。イギリスには「黄金律」として伝わりました。そしてケンタッキーへ、リンカーンへと至ったのです。
反対の論拠
たすき掛けは一つの手順であり、手順というものは理解を伴わずに実行できてしまいます。この格子を学んだ生徒は、比例とは何であるかについてのモデルをまったく持たないままでも、比例の問題に正解を出すことができます。さらに悪いことに、格子は数学の他の多くの領域の基盤となっている乗法構造を覆い隠してしまいます。すなわち、20%の増加とは1.2を掛けることであり、繰り返しの増加は複利のように積み重なり、これが形を変えた指数関数にほかならないという事実です。乗数で考える生徒は、複利、放射性崩壊、そして微分方程式へと進む準備が整います。一方で、2×2の格子で考える生徒が準備できているのは、さらなる2×2の格子だけです。
そして、この方法は破綻します。ある量が別の量の一定の倍数である場合にしか通用しません。反比例には異なる配置が必要であり、古典的なテキストはそれを用意していました。ブラーマグプタは正三数法の直後に、逆三数法であるヴャスタ・トライラーシカを挙げています。したがって、率直な批判点は、この手法がそこで通用しないことではなく、格子を見ても自分が2つの規則のどちらにいるのか学習者にはまったく分からないという点にあります。そして真の壁となるのが累乗関係です。四角の中に4つの数値をどう配置しようとも、ケプラーのT² ∝ a³を導き出すことはできません。
それでも肯定すべき論拠
それぞれの解法をあやふやに覚えているとき、何が、どのように失敗するのかを考えてみてください。
公式の破綻パターンは記憶違いです――そして誤って記憶された公式は、静かに破綻します。いかにも自信ありげに、もっともらしい誤った数値を返し、その答えには何かが狂っていることを示す兆候が一切ありません。それに対して図の破綻パターンは図が描けないということであり、これは明白に破綻して、人を基本原理へと立ち返らせます。
実際に人々が犯す割合の計算誤りのほぼすべては、もとにする量の誤認です。その割合がどの量に対する割合なのかが分かっていないのです。20%引きされて60になった上着の元の値段はいくらかと尋ねれば、多くの人は60から20%を引いて48と答えるでしょう。乗数の形式はこの誤りを防いではくれません。なぜなら、new = old × (1 + r) において基準量は暗黙的であり、old が指すものの内側に隠れてしまっているからです。そしてそれこそが、まさに人々が取り違えている対象なのです。
しかし格子においては、100は一つのマス目です。紙の上に存在しているのです。「何に対する割合か」は記憶すべき事柄ではなく、目で見て確認できるものとなり、答えは75と導かれます。
どのような表現形式が教えるに値するのか
生き残る表現形式とそうでないものを分かつのは、4つの問いであるように思われます。
複数の手順を一つに集約できているか？ 部分を求める、全体を求める、百分率を求める、変化後の新しい値を求める――教科書に並ぶ4つの手順であり、混同しないように整理すべき4つの事柄です。しかし格子の中では、それらは「求めたい数値を丸で囲む」という単一の動作になります。認知負荷は、個々の手順の難易度よりも、独立した手順の数に大きく左右されます。
目に見えない量を可視化しているか？ 前述のとおり、もとにする量のことです。
位置が意味を持っているか？ 格子においては、対角線上にある数で割り、残りの2つの数を掛け合わせます。四隅のどの角を丸で囲もうとも、その規則は変わりません。空間的符号化と言語的符号化を組み合わせた記憶は、言語のみによる記憶よりもはるかに強固に残ります。
人々が省略しがちな段階を可視化しているか？ 格子において、20%の増加は「20」ではありません。100に対する120です。変化量を比へと変換するこの中間ステップこそ、人々が省略してしまいがちな段階です。したがって優れた表現形式は、完成した120をいきなり提示するのではなく、その過程を示してくれます。
Cross-Multiplication Grid はこれら4つの検証基準に基づいて構築されており、その汎用性を単なる主張にとどめず目で見て確かめられるよう、12の計算例が収録されています。
なぜ格子モデルが正当なのか
この手法が、たまたまうまく機能するだけの小細工に過ぎないのだとすれば、ここまでに述べたことは何一つ重要ではありません。その根底にあるのは、相似な三角形についての命題なのです。
地面に1メートルの棒を立てて、その影を測る。その隣にある木の影を測る。太陽は十分に遠くにあるため、その光線は事実上平行に届きます。したがって、棒とその影が作る三角形は、木とその影が作る三角形とまったく同じ角度を持ちます。等しい角を持つことは、対応する辺が比例することを意味します――ユークリッド『原論』VI.4――こうして、誰も手が届かない高さが、誰でも歩いて測れる3つの長さへと変換されるのです。
それこそが、影を使ってピラミッドの高さを測る方法の全容であり、格子に書き込む四角い枠そのものです。比例とは、数値をどこに書くかという単なる取り決めの問題ではありません。それは形についての定理なのです。
認知的理由からある解法を教えるからといって、それを普遍的な手法として教えてよいわけではありませんし、混乱を見せかけの自信と引き換えたところで何の解決にもなりません。しかし、レシートの裏にいつでも再現できる表現形式は、正確に思い出さなければならない公式に勝るものであり、だからこそ、このやり方で学んだ人々は何十年経った後でもそれを使い続けているのです。