See on masintõlge; originaalartikkel on inglise keeles. Loe originaali
Reegel, mis oli tuhat aastat aritmeetika lagi
Ristkorrutamise õpetamise vastu räägib hea matemaatiline argument. Selle poolt räägib parem kognitiivne argument, ja ajalugu seisab teise poole taga.
Abraham Lincoln kirjeldas oma kooliteed lühikeses eluloos, mille ta kirjutas Jesse W. Fellile:
Täisikka jõudes ma muidugi kuigi palju ei teadnud. Ometi oskasin ma kuidagi lugeda, kirjutada ja arvutada kolmereeglini välja; aga see oli ka kõik.
Abraham Lincoln, 20. detsember 1859
Enamiku inimeste jaoks suuremas osas kirjapandud ajaloost oligi kolmereegel matemaatikahariduse lõpp: viimane asi, mille sa õppisid, enne kui õppekava otsa sai.
Reegel ise on lihtne. Kolme suuruse põhjal leia neljas, mis on nendega samas võrdes. Kui 3 õuna maksavad 2,40, mis maksavad 7? Sea neli arvu ruutu, tõmba sellest rist läbi ja vastuse annab kätte see, kus arvud asuvad.
Kirja pandud seitsmendal sajandil
Brahmagupta esitas reegli teoses Brāhmasphuṭasiddhānta 628. aastal m.a.j, ja tema sõnastuse juures torkab silma see, mis sealt puudub: võrrandit ei ole ja tundmatut ei ole.
Ta nimetab kolm suurust, pramāṇa, phala ja icchā, tavapärases tõlkes argumendi, vilja ja nõude. Ta annab reegli nende ühendamiseks ja lisab tähelepaneku, et kolmest kaks on sama liiki asjad ja kolmas mitte. Just see viimane tingimus teeb päris tööd. See keelab õunte jagamise rahaga, ning ruudustikus jõustab keelu geomeetria: samasugune seisab samasuguse all, ja kui ruut on õigesti täidetud, hoolitsevad ühikud enda eest ise.
Sõnastus rändas. Jens Høyrup on jälitanud, kuidas äratuntavalt sama sõnastus ilmub sajandeid hiljem araabiakeelsetes allikates ja siis Itaalia abbaco-raamatutes, kaubandusaritmeetikas, mida õpetati arvutuskoolides pärast Fibonacci 1202. aasta Liber abaci-t. Inglismaale jõudis see „kuldreegli“ nime all. Kentuckysse jõudis see samuti, ja Lincolnini.
Mis selle vastu räägib
Ristkorrutamine on protseduur, ja protseduuri saab sooritada ilma seda mõistmata. Õpilane, kes on ruudustiku selgeks saanud, annab võrdeülesannetele õigeid vastuseid, ilma et tal oleks vähimatki ettekujutust sellest, mis võrdelisus on. Hullem veel: ruudustik varjab ära korrutusliku struktuuri, millele kogu ülejäänud matemaatika toetub. 20% tõus on korrutamine 1,2-ga, järjestikused tõusud korrutuvad, ja see ongi eksponentsiaalne kasv teise nime all. Õpilane, kes mõtleb kordajates, on valmis liitintressiks, radioaktiivseks lagunemiseks ja diferentsiaalvõrranditeks. Õpilane, kes mõtleb 2×2 ruudustikes, on valmis järgmisteks 2×2 ruudustikeks.
Ja see meetod puruneb. Ta töötab ainult siis, kui üks suurus on teise püsiv kordne. Pöördvõrdelisus nõuab teistsugust paigutust. Klassikalised tekstid teadsid seda ja andsid selle ka: vyasta-trairāśika ehk pöörd-kolmereegel, mille Brahmagupta esitab kohe otsese reegli järel. Aus etteheide ei ole seega see, et meetod seal läbi kukub, vaid see, et õppija peab teadma, kummas reeglis ta parajasti on, ja ruudustik ei ütle talle seda kuidagi. Tegelik sein on astmeseosed. Nelja arvu ei saa ruutu paigutada nii, et sealt tuleks välja Kepleri T² ∝ a³.
Miks seda ikkagi õpetada
Vaata, mis läheb valesti ja kuidas, kui kumbagi meetodit poolikult mäletatakse.
Valemi puhul on tüüpiline äpardus valesti meelde jäänud valem, ja valesti meelde jäänud valem kukub läbi vaikselt. Ta annab enesekindla, usutava ja vale arvu, ning vastuses endas ei ole midagi, mis reedaks, et miski läks viltu. Pildi puhul on tüüpiline äpardus see, et pilti ei ole, ja see kukub läbi valjult ning saadab su algtõdede juurde tagasi.
Peaaegu iga protsendiviga, mida inimesed päriselt teevad, on baasiviga: ei teata, mille protsent see protsent on. Küsi kelleltki, mis maksis jakk enne, kui 20% allahindlus viis hinna 60-le, ja väga paljud võtavad 60-st 20% maha ning vastavad 48. Kordaja kuju selle eest ei kaitse, sest kujus uus = vana × (1 + r) on baas kaudne: ta peitub selles, millele vana osutab, ja just seda aetakse segi.
Ruudustikus on 100 üks lahter. Ta on paberil. „Protsent millest“ muutub millekski, mida saab vaadata, mitte millekski, mida peab meeles pidama, ja vastuseks tuleb 75.
Mis teeb esitusviisi õpetamist väärivaks
Neli küsimust näivad eristavat esitusviise, mis püsima jäävad, nendest, mis ei jää.
Kas see surub mitu protseduuri üheks kokku? Leia osa, leia tervik, leia protsent, leia uus väärtus pärast muutust: neli õpikuprotseduuri, neli asja, mida lahus hoida. Ruudustikus on need üksainus tegu, tõmba ring ümber arvu, mida tahad. Vaimne koormus järgib eristuvate protseduuride arvu rohkem kui ühegi üksiku raskust.
Kas see toob nähtamatu suuruse ekraanile? Vaata eespool: baas.
Kas asukoht kannab tähendust? Ruudustikus jagab diagonaal ja ülejäänud kaks korrutavad, ning see reegel on sama, ükskõik millise nurga ümber sa ringi tõmbad. Ruumiline ja sõnaline kodeering koos peavad palju paremini vastu kui sõnaline üksi.
Kas samm, mille inimesed vahele jätavad, on nähtavaks tehtud? 20% tõus ei ole ruudustikus „20“, vaid 120 vastu 100. Just selle vahesammu, muutuse suhteks teisendamise, inimesed vahele jätavad, nii et hea esitusviis näitab seda, selle asemel et anda kätte valmis 120.
Cross-Multiplication Grid on ehitatud nende nelja proovi ümber ja sisaldab kahtteist lahendatud juhtumit, nii et mitmekülgsus on nähtav, mitte väidetud.
Miks ruudustik on õiguspärane
Kõigel sellel poleks tähtsust, kui meetod oleks pelgalt nipp, mis juhtumisi töötab. Nipp ta ei ole: ta on väide sarnaste kolmnurkade kohta.
Torka mõõdulatt maasse ja mõõda ära selle vari. Mõõda kõrvalseisva puu vari. Päike on piisavalt kaugel, et tema kiired saabuvad praktiliselt paralleelselt, nii et latt koos oma varjuga moodustab kolmnurga, mille nurgad on täpselt samad mis puul ja tema varjul. Võrdsed nurgad tähendavad võrdelisi külgi (Eukleides, Elemendid VI.4), ja kõrgusest, milleni keegi ei küüni, saavad kolm pikkust, mille igaüks sammudega üle mõõdab.
Just see on kogu meetod, millega mõõdetakse püramiidi kõrgust tema varju järgi, ja see on seesama ruut, mille sa ruudustikus täidad. Võrre ei ole kokkulepe selle kohta, kuhu arve kirjutada. Ta on teoreem kuju kohta.
Meetodi õpetamine kognitiivsetel põhjustel ei anna luba õpetada seda üldkehtivana, ja segaduse vahetamine vale enesekindluse vastu ei ole võit. Kuid esitusviis, mille saad tšeki tagaküljel uuesti üles ehitada, lööb valemi, mille pead õigesti meenutama, ja seepärast kasutavad inimesed, kes selle nõnda selgeks said, seda kümnendeid hiljem endiselt.