See on masintõlge; algupärane tekst on inglise keeles. Loe originaali
Reegel, mis oli tuhat aastat aritmeetika lagi
Ristkorrutamise õpetamise vastu leidub häid matemaatilisi argumente. Selle kasuks räägivad aga veelgi paremad kognitiivsed argumendid, ja ajalugu toetab just viimaseid.
Abraham Lincoln kirjeldas oma haridusteed lühikeses autobiograafias, mille ta kirjutas Jesse W. Fellile:
Muidugi ei teadnud ma täisealiseks saades kuigi palju. Kuidagi oskasin siiski lugeda, kirjutada ja arvutada kolmikreeglini; ent see oli ka kõik.
Abraham Lincoln, 20. detsember 1859
Enamiku inimeste jaoks suurema osa kirjapandud ajaloo vältel oligi kolmikreegel matemaatikahariduse lõpp-punkt: viimane asi, mida õpiti enne õppekava lõppemist.
Reegel on järgmine: kui on antud kolm suurust, tuleb leida neljas, mis on nendega samas proportsioonis. Kui 3 õuna maksavad 2,40, siis kui palju maksavad 7? Paiguta neli arvu ruutu, tõmba sellest rist läbi ja vastus tuleneb sellest, kus arvud paiknevad.
Kirja pandud seitsmendal sajandil
Brahmagupta pani selle reegli kirja teoses Brāhmasphuṭasiddhānta 628. aastal m.a.j ning tema sõnastuse juures on tähelepanuväärne see, mis sealt puudub: seal pole ei võrrandit ega tundmatut.
Ta nimetab kolm suurust — pramāṇa, phala ja icchā, tavapärases tõlkes argument, vili ja soovitud suurus — ning annab reegli nende kombineerimiseks koos tähelepanekuga, et kaks neist kolmest on samalaadsed asjad ja kolmas mitte. See viimane tingimus teeb ära tõsise töö. See on piirang, mis takistab õunte jagamist rahaga, ning ruudustiku kujul tagab selle geomeetria: samalaadne paikneb samalaadse all ja kui ruut on õigesti koostatud, lahenevad ühikud iseenesest.
Sõnastus rändas edasi. Jens Høyrup on jälginud, kuidas äratuntavalt sama sõnastus ilmub sajandeid hiljem araabia allikates ja seejärel Itaalia abbaco-raamatutes — kaubanduslikus aritmeetikas, mida õpetati arvutusmeistrite koolides pärast Fibonacci 1202. aasta teost Liber abaci. Inglismaale jõudis see „kuldreeglina“. See jõudis Kentuckysse ja Lincolnini.
Argumendid selle vastu
Ristkorrutamine on protseduur, ja protseduure saab sooritada mõistmiseta. Õpilane, kes on ruudustiku selgeks saanud, suudab anda võrdeülesannetele õigeid vastuseid, omamata vähimatki mudelit sellest, mis võrdelisus tegelikult on. Veelgi hullem, ruudustik varjab multiplikatiivset struktuuri, millele toetub ülejäänud matemaatika: asjaolu, et 20% tõus tähendab korrutamist 1,2-ga, et korduvad tõusud liituvad ja et tegemist on varjatud eksponentsiaalsusega. Kordajates mõtlev õpilane on valmis liitintressiks, radioaktiivseks lagunemiseks ja diferentsiaalvõrranditeks. 2×2 ruudustikes mõtlev õpilane on valmis vaid uuteks 2×2 ruudustikeks.
Ja see jookseb ummikusse. See toimib vaid siis, kui üks suurus on teise kindel kordne. Pöördvõrdelisus nõuab teistsugust paigutust ja klassikalised tekstid pakkusid selle: Brahmagupta esitab vyasta-trairāśika ehk pöördvõrdelise kolmikreegli kohe pärast otsevõrdelist reeglit. Nii et aus etteheide pole mitte see, et meetod siinkohal alt veab, vaid et miski ruudustikus ei ütle õppijale, kumma reegli olukorras ta parajasti on. Tõeliseks müüriks on astmelised seosed: pole olemas sellist nelja arvu paigutust ruutu, mis annaks Kepleri T² ∝ a³.
Argumendid selle kaitseks
Mõelgem sellele, mis ja kuidas ebaõnnestub, kui keegi mäletab kumbagi meetodit vaid pooleldi.
Valemi tüüpiline eksimisviis on selle valesti mäletamine — ja valesti mäletatud valem veab alt vaikselt. See annab enesekindla, usutava, vale arvu ja vastuses pole midagi, mis viitaks sellele, et miski läks viltu. Pildi puhul seisneb eksimisviis selles, et seda lihtsalt pole, mis annab veast häälekalt märku ja suunab tagasi aluspõhimõtete juurde.
Peaaegu iga protsendiarvutuse viga, mida inimesed praktikas teevad, on baasi viga: ei teata, millise suuruse protsent see on. Kui küsida kelleltki, kui palju maksis jakk enne seda, kui 20% allahindlus viis hinna 60 peale, lahutavad paljud 60-st 20% ja vastavad 48. Kordaja kuju selle eest ei kaitse, sest valemis uus = vana × (1 + r) on baassuurus varjatud: see peitub selles, millele iganes vana viitab — mis ongi täpselt see, milles eksitakse.
Ruudustikus on 100 eraldi lahter. See on lehel näha. Küsimusest „protsent millest“ saab midagi sellist, mida saab vaadata, mitte midagi, mida peab meeles pidama, ja vastuseks tuleb 75.
Mis teeb esitusviisi õpetamisväärseks
Tundub, et püsima jäävaid esitusviise eristab hääbuvatest neli küsimust.
Kas see koondab mitu protseduuri üheks? Leia osa, leia tervik, leia protsendimäär, leia uus väärtus pärast muutust: neli õpikuprotseduuri, neli asja, mida meeles hoida. Ruudustikus on need üksainus tegevus: tõmba soovitud arvule ring ümber. Kognitiivne koormus sõltub rohkem eraldiseisvate protseduuride arvust kui mis tahes üksiku protseduuri keerukusest.
Kas see toob nähtamatu suuruse nähtavale? Vaata eespool: baassuurus.
Kas asukohal on tähendus? Ruudustikus diagonaal jagab ja ülejäänud kaks korrutavad ning see reegel on sama, ükskõik millisele nurgale ring ümber tõmmatakse. Ruumiline ja verbaalne kodeerimine koos peavad mälus vastu palju paremini kui pelgalt verbaalne.
Kas samm, mille inimesed vahele jätavad, on tehtud nähtavaks? 20% tõus ei ole ruudustikus „20“; see on 120 suhe 100-sse. See vahesamm — muutuse teisendamine suhteks — ongi see, mille inimesed vahele jätavad, seega hea esitusviis näitab seda, mitte ei esita valmis 120.
Cross-Multiplication Grid on üles ehitatud nende nelja kriteeriumi ümber ning see sisaldab kaksteist lahendatud näidet, nii et mitmekülgsus on pigem silmaga nähtav kui pelgalt väidetud.
Miks ruudustik on põhjendatud
Kõigel sellel poleks tähtsust, kui meetod oleks pelgalt trikk, mis juhtumisi töötab. Selle all peitub väide sarnaste kolmnurkade kohta.
Pista maasse meetrine latt ja mõõda selle vari. Mõõda selle kõrval seisva puu vari. Päike on piisavalt kaugel, nii et tema kiired langevad sisuliselt paralleelselt, seega moodustavad latt ja selle vari kolmnurga, millel on täpselt samad nurgad kui puul ja tema varjul. Võrdsed nurgad tähendavad võrdelisi külgi — Eukleides, Elemendid VI.4 — ning kõrgus, milleni keegi ei ulatu, taandub kolmeks pikkuseks, mida igaüks suudab sammudega mõõta.
See on kogu meetod püramiidi mõõtmisel selle varju järgi ning see on seesama ruut, mida täidetakse ruudustikus. Võrdelisus ei ole kokkulepe selle kohta, kuhu arve kirjutada. See on teoreem kuju kohta.
Meetodi õpetamine kognitiivsetel põhjustel ei anna luba õpetada seda universaalsena, ja segaduse vahetamine petliku enesekindluse vastu ei ole võit. Kuid esitusviis, mida saab taastada poekviitungi tagaküljel, ületab valemi, mida tuleb veatult meenutada, ja seepärast kasutavad inimesed, kes selle nõnda selgeks said, seda aastakümneid hiljemgi.