Sarnaste kolmnurkade labor

Määra kolm külge ja lohista siis skaalategurit. Nurgad seisavad paigal, küljed järgivad k-d ja pindala järgib k × k.

Näidisarvutus — Sarnaste kolmnurkade labor

Küljed	3, 4, 5 → 6, 8, 10
Ümbermõõt	12 → 24 (×2)
Pindala	6 → 24 (×4)
Nurgad	36,87°, 53,13°, 90,00° — muutumatud
Väikese kolmnurga koopiaid mahub	4

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Kaks korda kõrgem on neli korda rohkem värvi 🖖

See on kõige kallim arvutusviga, mida enamik inimesi teeb, ehkki arvutamine ise polegi valesti läinud. Kujundi kahekordseks suurendamisel ei saa sellest kahte eksemplari, vaid neli. Kahekordse läbimõõduga pitsa vastab neljale algsele pitsale. Kaks korda laiema foto jaoks on vaja neli korda rohkem piksleid. Mõõtkavas 1:2 mudelile kulub veerand materjalist, mitte pool. Vali k väärtuseks täisarv ja tööriist ei piirdu enam väitega: suur kolmnurk jaotatakse nii mitmeks koopiaks, kui sinna tegelikult mahub, ning saad need üle lugeda.

Miks neid on täpselt k² 🖖

Jaga skaleeritud kolmnurga iga külg k võrdseks osaks ja ühenda jaotuspunktid külgedega paralleelsete sirgetega. Tulemus katab kolmnurga vahedeta ja kõik tükid on algsega kongruentsed — neid on k², millest k on alumises reas. Selles arutluses ei esine kusagil, mis kujuga kolmnurk oli; seepärast annab kitsas kild sama 16 nagu 3-4-5. Eukleides sõnastab üldise tulemuse Elementides VI.19: „sarnased kolmnurgad suhtuvad teineteisesse vastavate külgede kahekordse suhtena“ — ja „kahekordne suhe“ on tema väljend suhte ruudu kohta.

See on mõõtmine, mida omistatakse Thalesele 🖖

Teivas ja tema vari moodustavad ühe kolmnurga, puu ja tema vari teise. Päike on piisavalt kaugel, et kiired jõuavad kohale paralleelselt, seega on mõlemal kolmnurgal võrdsed nurgad ja järelikult võrdelised küljed — ja kõrgus, kuhu keegi ei ulatu, muutub kolmeks pikkuseks, mida igaüks saab sammudega mõõta. Just nii mõõdetakse püramiidi tema varju järgi, ja see on seesama ruut, mille täidad ristkorrutamise ruudustikus: 3 suhtub 4-sse nagu puu 20-sse. Sarnased kolmnurgad on see, mis teeb selle ruudustiku õigustatuks, mitte trikiks.

Ülesanne täielikult lahendatud

Mitu algse 3-4-5 kolmnurga koopiat mahub suurenduse sisse 5 sammu
Dubleerige 3-4-5 kolmnurga kõiki külgi ja pindala ei kahekordistu. Arvutage välja, mida iga suurus teeb ja mitu algse kolmnurga koopiat mahub suurenduse sisse.
1. Kõigi kolme külje skaleerimine sama teguriga hoiab kolmnurga sarnasena ning 6-8-10 rahuldab ikka Pythagorase teoreemi — nagu peabki, kuna seos on külgede suhtes homogeenne.
  
  $(3, 4, 5) \times 2 (6, 8, 10), 6^{2} + 8^{2} = 100 = 1 0^{2}$
2. Ümbermõõt on pikkuste summa, seega skaleerub see sama teguriga. Kaheteistkümnest saab kakskümmend neli.
  
  $P : 12 \to 24 = k P, A : 6 \to 24 = k^{2} A$
3. Pindala on kahe pikkuse korrutis, seega skaleerub see teguri ruuduga. Kuuest saab kakskümmend neli — siin sama arv mis ümbermõõt, mis on nende konkreetsete külgede kokkulangevus ja hea põhjus mitte järeldada ühe näite põhjal.
4. Nurgad ei muutu üldse. Need sõltuvad ainult külgede suhtest ja skaleerimine jätab iga suhte samaks — mis ongi see, mida tähendab sarnane.
  
  $tan^{- 1} \frac{3}{4} = 36.8 7^{\circ}, tan^{- 1} \frac{4}{3} = 53.1 3^{\circ}, 9 0^{\circ} — unchanged$
5. Nõnda mahub suurenduse sisse neli algse kolmnurga koopiat ja seda on näha: kahekordistatud kolmnurk jaguneb neljaks algsega kongruentseks kolmnurgaks.
  
  $\frac{A ^{'}}{A} = k^{2} = 4 ⟹ 4 copies tile the enlargement$
Vastus

Tööriist näitab küljepikkusi 6, 8, 10, ümbermõõtu 12 → 24, pindala 6 → 24, muutumatuid nurki ja 4 kujundisse mahtuvat koopiat. Reegel mahub ühele reale: pikkus muutub võrdeliselt teguriga k, pindala teguriga k², ruumala teguriga k³ ja nurk teguriga k⁰. Astendaja võrdub mõõdetava suuruse mõõtmega. Seepärast neljakordistub retseptis kaks korda suurema läbimõõduga vormi põhjapindala ja kook ei tule välja. Kaks korda kõrgem loom peab aga kandma kaheksakordset raskust luude neljakordse ristlõikepindalaga, mistõttu tema jalgades tekkiv pinge kahekordistub ning ta ei saa olla lihtsalt iseenda suurem koopia. Kui valid teguriks 3, suureneb pindala üheksakordseks.

$P \propto k, A \propto k^{2}, V \propto k^{3}, angles \propto k^{0}$

Õpitee

Kolmnurga reeglid ja kust need tulevad

Viib edasi Pythagoras mastaabiteguri — suurendamine korrutab iga pikkuse k-ga ega liiguta ühtki nurka.

Allikad (3)

Equal angles give proportional sides: Euclid, Elements, Book VI, Proposition 4 — "In equiangular triangles the sides about the equal angles are proportional." David E. Joyce's edition, Clark University.
The area result, and the phrase "duplicate ratio": Euclid, Elements, Book VI, Proposition 19 — "Similar triangles are to one another in the duplicate ratio of the corresponding sides." David E. Joyce's edition, Clark University.
Thales and the shadow measurement: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, "Thales of Miletus", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews — which sets out the ancient reports of the pyramid measurement and their disagreements.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-11

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

Kahekordista - Küljed 3, 4, 5 muutuvad 6, 8, 10-ks. Ümbermõõt kahekordistub, 12-lt 24-le — kuid pindala läheb 6-lt 24-le ehk neljakordseks, ja suur kolmnurk on joonistatud täpselt 4 väikese koopiaga.
Teivas ja puu - 3 m kõrgune teivas 4 m varjuga ja puu, mille vari on 20 m. Sama päike, sama kolmnurk, seega on puu 15 m. Selle pindala on aga 25-kordne, mitte 5-kordne.
Võrdkülgne - Kõik kolm nurka jäävad 60° juurde, mida k ka ei teeks. Küljed 6 muutuvad 9-ks, ümbermõõt 18 muutub 27-ks ja pindala korrutatakse 2,25-ga.
Poole väiksemaks - Vähendamine on sama reegel tagurpidi. Iga külje poolitamine poolitab ümbermõõdu, 48-lt 24-le, ja neljandab pindala, 96-lt 24-le.
Kitsas kild - Kuju tähendab nurki, mitte välimust. See kild skaleerub täpselt nagu mugav kolmnurk: ×4 külgedel, ×16 pindalal, ja sisse mahub 16 koopiat.