Koordinaatgeomeetria uurija

Kaks punkti määravad lõigu ja terve sirge. Lohista punkti ning seo kokku täisnurkne kolmnurk, täpne kaugus, keskpunkt, sihivektor, kaldenurk, sirge võrrandid ja keskristsirge.

Näidisarvutus — Koordinaatgeomeetria uurija

Horisontaalne kaatet Δx	3,0
Vertikaalne kaatet Δy	4,0
Kaugus AB	5,00
Täpne kaugus	5
Keskpunkt	(2,5; 3)
Sihivektor	(3; 4)
Tõus	4/3
Kaldenurk θ	53,1°

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Kauguse valem on Pythagoras kustutatud kolmnurgaga 🖖

Valemit õpetatakse tavaliselt kui midagi pähe õpitavat, ja seda ta ei ole: tõmba ühest punktist horisontaal ja teisest vertikaal, ning need kohtuvad täisnurga all. Kaatetid on Δx ja Δy, lõik on hüpotenuus, ja d² = Δx² + Δy² ongi a² + b² = c² joonistamata kolmnurgaga. See tööriist joonistab selle välja. Proovi eelseadet 3-4-5 — kaatetid 3 ja 4, kaugus täpselt 5 — see on seesama kolmnurk, mis on olnud igal töölehel alates Eukleidesest.

Vertikaalsel lõigul on pikkus ja ei ole tõusu 🖖

Pane mõlemad punktid sirgele x = 3 ja tööriist näitab kaugust 10 ning tõusu määramata. Mõlemad on õiged, ja just nende koosolemine ongi asja iva. Lõik on selgelt olemas ja selgelt 10 ühikut pikk, nii et „määramata“ ei saa tähendada, et sirge puudub või on veider — see tähendab, et Δy ÷ Δx jagab nulliga, ja viga kuulub valemile, mitte sirgele. Vertikaalsel sirgel on endiselt võrrand, x = 3; see lihtsalt ei ole kujul y = mx + c, sest see kuju eeldab, et igale x-ile vastab täpselt üks y.

Keskpunkt on täpne seal, kus kaugus ei ole 🖖

Keskpunkt on keskmine: liida kaks x-i, poolita, tee sama y-idega. See on aritmeetika ja tulemuseks on arv, mille saab täpselt kirja panna. Kaugus vajab ruutjuurt, ja ruutude summade juured on peaaegu kunagi ratsionaalsed. Ühikdiagonaal näitab mõlemat korraga — keskpunkt on täpselt (0,5; 0,5), samal ajal kui kaugus on 1,41 ja jätkub lõputult. Samad kaks punkti, üks vastus täpne ja teine ligikaudne, ja kogu vahe seisneb selles, millise tehte järele tuli haarata.

Keskristsirge on võrdsuse võrrand 🖖

Lülita keskristsirge sisse. Iga rohelise sirge punkt P rahuldab PA = PB. Kauguste ruutuvõtmisel taanduvad x² ja y² välja: näiliselt ruutvõrrandilisest tingimusest saab sirge. 3-4-5 näites on see 6x + 8y = 39.

Ülesanded täielikult lahendatud

Kaugus nullpunktist sirgeni 4x − 3y = 1 7 sammu
Tööriist annab A ja B kaudu kulgeva sirge võrrandiks 4x − 3y = 1 ja lõigu pikkuseks täpselt 5. Küsi sellelt, kui kaugelt möödub sirge punktist, mis ei asu sirgel, nagu näiteks koordinaatide alguspunkt. Masin vaikib. Tuleta see kaugus pelgalt kahe punkti põhjal.
1. Kõik järgnev tuleneb ühest lahutustehtest. B − A tähistab teekonda punktist A punkti B. Kolm ühikut edasi ja neli üles. Täpselt seda näitavad ka kahe kaateti read.
  
  $A B = B - A = (4 - 1, 5 - 1) = (3, 4)$
2. Need kaatetid on vaadeldavat lõiku hüpotenuusina kasutava täisnurkse kolmnurga küljed. Lõigu pikkuse leidmine on seega puhas Pythagorase teoreem. Tegemist on arvupaariga, kus juure alt saame täisarvu. Arv 25 on täisruut ja täpse väärtuse reale ilmub irratsionaalarvu asemel 5.
  
  $∣ A B ∣ = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$
3. Võrrandi koostamisel pole jagamist üldse tarvis. Iga sirgel asuv punkt moodustab punktiga A sama tõusu. Murrust vabanemisel tekib avaldis Δy·x − Δx·y. See on võrdne väärtusega, mille vastav kombinatsioon annab punktis A. Tegemist on lehel esitatud kujuga. Sama kuju peab vastu ka vertikaalsele lõigule, mille puhul võrrandit y = mx + c ei ole võimalik kirja panna.
  
  $Δ y x - Δ x y = Δ y a_{x} - Δ x a_{y} : 4 x - 3 y = 4 (1) - 3 (1) = 1$
4. Uuri nüüd äsja leitud kordajaid. Paar (4, −3) vastab tähistusele (Δy, −Δx). Lõiku on pööratud täisnurga võrra. Vektori pööramine ei muuda selle pikkust. Normaalvektori pikkus on seega 5, täpselt sama palju kui lõigul AB. See pole valitud arvude juhuslik kokkusattumus. Selline seaduspärasus kehtib iga punktipaari korral ja muudab järgmise rea arvutamise vaevatuks.
  
  $n = (Δ y, - Δ x) = (4, - 3), ∣ n ∣ = 4^{2} + (- 3)^{2} = 5 = ∣ A B ∣$
5. Liigu piki normaalvektorit ühe ühiku võrra. Võrrandi vasak pool muutub 5 võrra, mis on normaalvektori enda pikkus. Avaldise väärtus suvalises punktis võrdub seega sirgeni ulatuva kaugusega, mida on korrutatud arvuga 5. Asenda koordinaatidesse alguspunkt. Lugeja taandub arvuks 1 ja nimetajaks jääb seesama 5. Sirge möödub alguspunktist täpselt ühe viiendiku kauguselt.
  
  $d (P) = \frac{∣4 p _{x} - 3 p _{y} - 1∣}{∣ n ∣}, d (O) = \frac{∣0 - 0 - 1∣}{5} = \frac{1}{5} = 0.2$
6. Astu see viiendik edasi ja sa peaksid jõudma otse sirgele. Risti aluspunkt asub koordinaatidel (0,16; −0,12). Asetades need arvud tagasi avaldisse 4x − 3y, saame 0,64 + 0,36 = 1. Punkt asub sirgel ning on sinu alguskohast 0,2 ühiku kaugusel.
  
  $F = O - \frac{n \cdot O - 1}{∣ n ∣ ^{2}} n = \frac{1}{25} (4, - 3) = (0.16, - 0.12), 4 (0.16) - 3 (- 0.12) = 0.64 + 0.36 = 1$
7. Ühe järelduse saame siit täiesti tasuta. Kui kauguse valemi nimetaja on |AB|, siis |AB| korrutatuna leitud kaugusega annab tippudes O, A ja B asuva kolmnurga kahekordse pindala.
  
  $[O A B] = \frac{1}{2} ∣ A B ∣ d (O) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 0.2 = 0.5, \frac{1}{2} ∣ x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A} ∣ = \frac{1}{2} ∣1 \cdot 5 - 4 \cdot 1∣ = 0.5$
Vastus

Sirge möödub alguspunktist 0,2 ühiku kauguselt ja kolmnurga OAB pindala on täpselt ½. Kontrollime pindala teist kaudu, kus me ei maini kaugust kordagi. Gaussi pindalavalem annab ½|x_Ay_B − x_By_A| = ½|5 − 4| = ½. Kaks tuletuskäiku ei jaga pärast esimest lahutustehet enam midagi, kuid jõuavad lõpuks samale arvule. Tööriist teeb asju sinuga kaasa kuni kolmanda reani ja seejärel vaikib. Kaugus punktist, risti aluspunkt ja pindala on kõik suurused, mida masin ise ei arvuta.

$d (P) = \frac{∣ n \cdot P - c ∣}{∣ n ∣}, ∣ n ∣ = ∣ A B ∣ = 5 ⟹ d (O) = \frac{1}{5} = 0.2, [O A B] = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 0.2 = 0.5$
Mida kaatetite näidud võrgu kohta paljastavad 6 sammu
Paneel kuvab Δx = 10,0 ja Δy = −10,0. Selgita välja, mitut võrgusõlme see lõik oma teel läbib, ning otsusta, kas ainult kahest kaatetist piisas selle leidmiseks.
1. Esmalt pikkus, sest seda on hiljem jagamiseks vaja. √(10² + 10²) = √200 = 10√2, mille paneel trükib välja kahel kujul: ümardatult 14,14 ja täpselt 10√2.
  
  $A B = (10, - 10), ∣ A B ∣ = 1 0^{2} + 1 0^{2} = 200 = 102 = 14.14$
2. Kujutame lõiku liikumisena. X(t) = A + t(Δx; Δy) = (−5 + 10t; 6 − 10t), kus t liigub 0-st 1-ni.
  
  $X (t) = A + t (Δ x, Δ y) = (- 5 + 10 t, 6 - 10 t), 0 \leq t \leq 1$
3. Funktsiooni X(t) koordinaadid on täisarvud siis, kui tΔx ja tΔy on mõlemad täisarvud. See juhtub täpselt siis, kui t on murru 1/g kordne, kus g on väärtuste |Δx| ja |Δy| suurim ühistegur. Siin g = SÜT(10; 10) = 10, seega võtab t väärtusi kümnendike kaupa.
  
  $X (t) \in Z^{2} ⟺ t Δ x, t Δ y \in Z ⟺ t = \frac{m}{g}, g = g cd (∣Δ x ∣, ∣Δ y ∣) = g cd (10, 10) = 10$
4. Iga kümnendik viib meid edasi sammu (Δx/g; Δy/g) = (1; −1) võrra, andes otspunktide vahele täpselt üheksa punkti: (−4; 5), (−3; 4) ja nii edasi alla kuni punktini (4; −3). Need paiknevad ühtlaste vahedega, üksteisest √2 kaugusel, sest ka pikkus jagub arvuga g.
  
  $(\frac{Δ x}{g}, \frac{Δ y}{g}) = (1, - 1) : (- 4, 5), (- 3, 4), \dots, (4, - 3) — g - 1 = 9 points, spaced \frac{∣ A B ∣}{g} = 2$
5. Sama jaotus näitab ka seda, millal pikkus osutub täisarvuks. |AB| = g√((Δx/g)² + (Δy/g)²), mis tähendab, et kogu irratsionaalne osa peitub täielikult taandatud paaris. Meie näites on see paar (1; 1) ja miski ei suuda juurt √2 kaotada. Valmisnäites 3-4-5 on g = 1 ja taandatud paariks on (3; 4) ehk Pythagorase kolmiku kaks kaatetit, mistõttu trükitaksegi see kaugus välja täpselt 5.
  
  $∣ A B ∣ = g (\frac{Δ x}{g})^{2} + (\frac{Δ y}{g})^{2} = 10 1^{2} + 1^{2}; (3, 4) : g = 1, 3^{2} + 4^{2} = 5$
6. Keskpunkt ei vaja eraldi arvutamist. See on punkt, kus t = ½, seega satub ta võrgusõlmele parajasti siis, kui ½ on 1/g kordne ehk kui g on paarisarv. Siin g = 10 ja keskpunkt (0; 1) on üheksast viies. Valmisnäites 3-4-5 on g = 1 ning punkt (2,5; 3) jääb võrgujoonte vahele.
  
  $M = (\frac{a _{x} + b _{x}}{2}, \frac{a _{y} + b _{y}}{2}) \in Z^{2} ⟺ Δ x, Δ y both even : (0, 1) ✓, (3, 4) \Rightarrow (2.5, 3) \times$
Vastus

Üheksa, ja jah. Kahe kaateti suurim ühistegur otsustab selle kõik ning mõlemad kaatetid on paneelil kirjas: võrgusõlmede vaheline lõik läbib g − 1 teist sõlme, selle pikkus on ratsionaalne ainult siis, kui taandatud paar on Pythagorase paar, ja selle keskpunkt on võrgusõlm ainult paarisarvulise g puhul. Viimasel kontrollil on tagajärg, mis tasub meelde jätta. Iga võrgusõlm kuulub oma kahe koordinaadi paarsuse järgi ühte neljast klassist, seega peavad mis tahes viie sõlme hulgast vähemalt kaks kuuluma samasse klassi ning just nende kahe keskpunkt satub võrgusõlmele.

$g = g cd (∣Δ x ∣, ∣Δ y ∣) : g - 1 lattice points between, ∣ A B ∣ \in Q ⟺ (\frac{Δ x}{g}, \frac{Δ y}{g}) is a Pythagorean pair$

Õpitee

Kolmnurga reeglid ja kust need tulevad

Allikad (2)

the origin of describing a curve by the coordinates of its points Descartes, R. (1637). La Géométrie, appendix to Discours de la méthode. Leiden: Jan Maire.
the theorem the distance formula is an application of Euclid. Elements, Book I, Proposition 47.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-20

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

3-4-5 - Kaatetid 3 ja 4 annavad kauguseks täpselt 5 — Pythagoras, koordinaatides.
Horisontaalne - Horisontaalne paar: tõus on 0 ja kaugus ongi lihtsalt läbitud vahemaa, 10.
Vertikaalne - 10 ühikut pikk ja ilma igasuguse tõusuta — „määramata“ käib valemi, mitte sirge kohta.
Negatiivne tõus - Läheb alla täpselt sama kiiresti kui edasi: tõus -1, kaugus 14,14.
Ühikdiagonaal - Keskpunkt on täpselt (0,5; 0,5), samal ajal kui kaugus 1,41 ei lõpe kunagi.