Interaktiivsed matemaatika- ja teadusõppetunnid (ﾉ◕ヮ◕)ﾉ*:･ﾟ✧
Fikseeri mõned reeglid ja tagajärjed ei sõltu enam sinust. See, mis järeldub, on harva see, mida oleksid arvanud, ja siinsed tööriistad näitavad, millise tagajärjega sa hakkama pead saama.
Lühikesed jadad üksikute tööriistade asemel. Iga samm annab järgmisele midagi kindlat, seega tasub need läbida järjekorras.
L1: alused
MATHKolm tööriista, mis moodustavad ühe õppetunni: kokkuvõttev arv on kadudega pakkimine ning pakkimisviis määrab, mille osas kokkuvõte ausaks jääb. Iga samm annab järgmisele edasi kindla piirangu, mis kaasneb andmete kokkuvõtmisega ühte arvu.
L1: alused
MATHKuus tööriista, mis loovad kolmnurga ja ringjoone põhiseosed järjestuses, milles need tegelikult üksteisele toetuvad. Siin ei postuleerita midagi: iga reegel järeldub otseselt eelmisest. Teekond lõppeb esimese seose paigutamisega tagasi koordinaattasandile, kus sellest saab kahe punkti vahelise kauguse valem.
L1: alused
MATHKolm tööriista ja üks mõttekäik: mõnda arvu ei saagi lõpuni kirja panna. Parima lühikese kuju saab üles otsida, mitte ära arvata, ja arvu kärpimisel on hind, mida saab mõõta.
L1: alused
MATHKuus tööriista ehitavad võrrandite lahendamise üles ideede tegeliku sõltuvuse järjekorras, alates sellest, mida teeb miinusmärk, ja lõpetades masinmeetodiga kolmele tundmatule korraga. Iga samm annab järgmisele edasi midagi kindlat: uue teisenduse, piirangu sellele teisendusele või viisi kontrollida, kas see teisendus oli üldse lubatud.
L2: kool
MATHNeli tööriista ühe idee ülesehitamiseks: rahal on erinevatel ajahetkedel erinev väärtus ning korduva makse saab koondada ühte valemisse. Iga siinne samm annab järgmisele edasi midagi kindlat.
L2: kool
MATHKolm tööriista, üks harjumus: kui suurused erinevad kordades, mitte kogustes, lõpeta loendamine ja hakka loendama astendajaid. Esimene ehitab mõõdupuu. Teine sammub sellel. Kolmas määrab arvu täiesti ilma andmeteta.
L2: kool
MATHSünnipäevaprobleem näib seltskonnatrikina, kuid on tegelikult standardne vahend kollisioonide analüüsimiseks. Teises sammus kohtavad arvutiteadlased seda uuesti, teise nime all.
L2: kool
MATHNeli tööriista ja igaüks neist on olemas, sest eelmise võimalused saavad otsa. Tegurdamine toimib, kui nullkohad on ilusad. Valem aitab siis, kui nad seda ei ole. Jagamine töötab teisest astmest edasi ja ratsionaalfunktsioon on see, mida teevad kaks polünoomi, kui üks asub teise peal.
L2: kool
MATHKolm tööriista, ja selle jada tuum on arusaam, et tegemist pole kolme eraldi teemaga. Siinuslaine on ühtlane ringliikumine küljelt vaadatuna, ning võnkuv pendel on seesama pilt olukorras, kus pöörlemise tagab raskusjõud.
L2: kool
MATHViis tööriista, üks idee: sile kõver on piisavalt suurendades sirgjoonest eristamatu. Just seda ainsat tõsiasja tuletis mõõdabki. Taylori rida viib selle kaugemale ja gradient teeb sedasama enam kui ühes suunas. Teekond algab nurgamõõdust, mis hoiab arvutused puhtana, ning lõpeb mäenõlval, kus kõige järsem kalle ületab iga suunda, mida sa tegelikult mõõtsid.
L3: ülikool
MATHKolm tööriista, mis teevad hajutatud punktide pildist arvu, mida saad kaitsta. Teekond sinna kulgeb statistika asemel läbi geomeetria, sest just geomeetria muudab statistika ausaks.
L3: ülikool
MATHÜks küsimus, esitatud neli korda üha napimate tugipunktidega: mida see maatriks ruumiga õigupoolest teeb? Veerud vastavad sellele otsesõnu. Omavektorid annavad vastuse säilivate suundade kohta. SVD aitab siis, kui neid ei leidu, ning PCA suunab sellesama aparaadi mõõtmiste pilvele.
L3: ülikool
MATHNewtoni meetod, Simpsoni valem ja Euleri meetod töötavad samal põhimõttel. Piisavalt väikeses vahemikus loeme kõvera sirgeks. Igaühega neist kaasneb seetõttu tõrge, mis pole programmiviga, ning kasulik on teada, milline tõrge millisele meetodile kuulub. Iga samm annab siin järgmisele edasi kindla nimega vea ja selle kahanemiskiiruse.
Every rule you memorised in algebra is about the same one move
There are two moves in school algebra: add something to both sides, or multiply both sides by something. Adding has never needed a warning, and every rule you had to memorise is about the other one.
The fraction for π that nothing smaller has beaten in 1,500 years
Zu Chongzhi wrote down 355/113 in the fifth century. It is still the best fraction for π that anyone can reach with three digits over three, and the reason is a single large number sitting in π’s continued fraction.
Two countries measured the same border and disagreed by 227 kilometres
Spain put its border with Portugal at 1,214 km. Portugal put the same border at 987 km. Both had measured carefully; they had used different rulers, and a shorter ruler always finds more coast.
π is in the bell curve, and there is no circle anywhere in it
Drop needles on floorboards and you can measure π. Collide two blocks and you can count it. Neither has a circle anywhere in it. π is really about rotation and the sum of two squares; circles are just where most of us meet it first.
You typed one digit. The answer came back with six.
A calculator cannot be more precise than what you fed it, and none of them say so. Here is what the extra digits actually mean, why a reciprocal is the worst place to forget it, and why this site prints them anyway.
Halving the step size should halve the error. The tool says 1.73.
"First order" is a promise about the limit, not about the step size you are running. The gap between the promise and the measurement is itself first order, which is why an error estimate built on the promise is wrong in a predictable direction.
Newton's method can double its mistake every step, and the answer was 0.01 away
The standard way to solve an equation numerically converges so fast it feels like cheating. Give it the cube root and it walks away from the answer, doubling the distance every step, forever.
Primes thin out at a rate you can name
The density of primes near a number n is about one in ln n. That one fact tells you how many primes lie below any bound, why they never run out, and how long a computer must search to find a 1024-bit one.
Twice as tall is four times the paint, and eight times the concrete
Lengths scale as k, areas as k² and volumes as k³. Getting this wrong is probably the most expensive arithmetic mistake ordinary people make.
The rule that was the ceiling of arithmetic for a thousand years
Cross-multiplication is usually dismissed as a procedural trick. It was written down in 628 CE, carried across three continents, and was the end of the mathematics syllabus for most people who ever received one.
Every football has twelve pentagons, and it could not have any other number
Any closed cage of pentagons and hexagons with three faces at each corner has exactly twelve pentagons. Always twelve, whatever size the ball, and the proof never counts a single one.
Pythagoras is not a fact about triangles
a² + b² = c² fails on a sphere and fails the other way in hyperbolic space. What the theorem actually asserts is that the surface you are standing on is flat.
