Modulaararitmeetika kell
Vali moodul n ja tehe. Vaata tulemust mooduljäägi kellal ning uuri liitmis-/korrutamistabeleid.
Kongruentsussuhted ja algebralised ringstruktuurid 🖖
Modulaararitmmeetika tegeleb täisarvudega tsüklilise mooduli n all, kirjutatakse a ≡ b (mod n). See algebraline süsteem moodustab kommutatiivse ringi Z/nZ. Kui moodul p on algarv, muutub ring korpuseks, mis tähendab, et igal nullist erineval elemendil on olemas multiplikatiivne pöördelement.
Miks seda kellaaritmeetikaks nimetatakse 🖖
12-tunnisel kellal on 4 tundi pärast kella 11 hoopis 3, mitte 15 — arvud pöörduvad algusesse tagasi, kui nad ületavad 12. Just see ongi modulaararitmeetika: a ≡ b (mod n) tähendab, et a ja b annavad n-ga jagamisel sama jäägi. Seega 15 ≡ 3 (mod 12). Põhimõte on lihtne: modulaararitmeetika hoiab alles vaid jagamise jäägi, ja selle tööriista kell näitab, kuidas arvud ringi käivad.
Üheksaga jaguvuse reegel on peidetud modulaararitmeetika 🖖
Vana reegel „arv jagub 9-ga, kui tema numbrite summa jagub 9-ga“ on puhas modulaararitmeetika. Kuna 10 ≡ 1 (mod 9), on ka iga kümne aste ≡ 1, nii et arv on kongruentne oma numbrite summaga (mod 9). Sama tõsiasi on aluseks üheksaga kontrollimise võttele — sajanditevanusele viisile arvutusi käsitsi üle kontrollida.
Näiteülesanded
- kell mod 12 - Kellaaritmeetika: 13 ≡ 1 (mod 12), seega 13+5 taandub väärtuseks 6.
- algarv mod 7 - Algarvuline moodul: nullist erinevad korrutamisread käituvad permutatsioonidena.
- kordarv mod 6 - Liitarvuline moodul näitab korduvaid ridu, kus gcd(rida,n) > 1.
- Fermat' mod 13 - Fermat' tüüpi muster: a^(p-1) ≡ 1 mod p, kui p on algarv ja gcd(a,p)=1.